%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \begin{center} \psshadow[Tshadowcolor=SeaGreen]{\huge Agrégation interne 1994, épreuve I}\\[10pt] \end{center} \trait Ce travail fait à partir d'une photocopie peut présenter quelques erreurs, me les signaler à l'adresse suivante : \email{jeaneric66(a)gmail.com} (changer (a) en @). Bon courage ! Version du \today\ à\ \heure. %Retrouver ce sujet sur le site : \href{http://membres.multimania.fr/mathjer/}{mathjer} \trait \remplir{17.5cm}{ \adfflowerleft} \trait Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension $n\geq 1$. La norme du vecteur $V$ est notée $\left\Vert V\right\Vert$. L'objectif des parties \textbf{I} et \textbf{II} est de montrer que, étant donné un entier $p\geq 1$ et des vecteurs $V_1,\ V_2,\ \dots, V_p$ de E tels que $V_1+V_2+\dots+V_p=S$, il existe une permutation $\sigma$ des $p$ premiers entiers telle que, pour tout $k$ allant de $1$ à $p$, on ait : $$ \left\Vert V_{\sigma(1)}+\dots+V_{\sigma(k)}\right\Vert\leq \left\Vert S\right\Vert+ n. \sup\limits_{1\leq i\leq p} \left\Vert V_i\right\Vert.$$ (La majoration est donc valable quel que soit le nombre $p$ de vecteurs utilisés.) La partie \textbf{III} est indépendante des deux premières ; dans la partie \textbf{IV}, on étudie une propriété des séris semi-convergentes par modification de l'ordre des termes. Chaque fois qu'on utilise les coordonnées ou les composantes d'un vecteur d'un espace $\GR^p$, il est \textit{sous-entendu qu'il s'agit des coordonnées ou des composantes dans la base canonique.} \begin{center} \textbf{I}\label{090820110924} \textbf{Propriété de l'intersection d'un sous-espace affine et d'un hypercube} \end{center} \vspace{0.1cm} Soient $p$ et $q$ deux entiers tels que $1\leq q
q$ ; $\Calig{B}$ est donc une droite passant par $B$.
On désigne par $(b_1,\ b_2,\ \dots, \ b_p)$ les coordonnées de $B$ et par $(u_1,\ u_2,\ \dots,\ u_p)$ les composantes d'un vecteur $U$ directeur de $\Calig{B}$. \begin{enumerate}[a.]
\item Soit $I$ l'ensemble des réels $\lambda$ tels que, pour $i$ variant de $1$ à $p$, $b_{i}+\lambda u_i\in \Intff{0}{1}$.
Montrer que $I$ est égal à l'intersection non vide de $p$ intervalles fermés de $\GR$ dont l'un au moins est borné et en déduire que $I$ est un intervalle compact de $\GR$.
\item Montrer que l'on peut choisir $\lambda$ de sorte que :
Pour $i$ de $1$ à $p$, $b_{i}+\lambda u_i\in \Intff{0}{1}$ et l'un au moins de ces $p$ nombres vaut 0 ou 1.
\item En conclure que $\Calig{B}$ possède la propriété $\Calig{P}_1$.
\end{enumerate}
\item On suppose $q>1$.
\begin{enumerate}[a.]
\item Montrer que $\Calig{B}$ possède la propriété $\Calig{P}_1$.
\item Montrer qu'il existe un vecteur $V$ non nul, contenu dans la direction de $\Calig{B}$, dont $q-1$ composantes d'indices arbitrairement choisis, les $q-1$ dernières par exemple, sont nulles. (On pourra considérer l'intersection de la direction de $\Calig{B}$ avec le sous-espace engendré par les $p-q+1$ premiers vecteurs de la base canonique de $\GR^p$.)
\item On suppose que $\Calig{B}$ possède la propriété $\Calig{P}_m$, avec $1\leq mn$. $V_1,\ V_2,\ \cdots,\ V_k$ sont $k$ vecteurs de E, formant un système de rang $n$; $W$ est également un vecteur de E. On désigne par $\Calig{S}$ la partie de $\GR^k$ constituées des $k$-uplets de réels $(x_1,\ x_2,\ \dots, x_k)$ tels que :
$$ x_1V_1+x_2V_2+\cdots+x_kV_k=W.$$
\begin{enumerate}[a.]
\item Montrer que $\Calig{S}$ est non vide.
\item Dans le cas où $W$ est nul, montrer que $\Calig{S}$ est un sous-espace vectoriel de $\GR$ et préciser sa dimension. On pourra utiliser l'application $\ell$ de $\GR^k$ dans E qui, à $(x_1,\ x_2,\ \dots, x_k)$ associe, $ x_1V_1+x_2V_2+\cdots+x_kV_k$.
\item Dans le cas général, montrer que $\Calig{S}$ est un sous-espace affine de $\GR^k$.
\item On suppose que $\Calig{S}$ contient un $k$-uplet de réels appartenant tous appartenant à l'intervalle $\Intff{0}{1}$.
Montrer qu'il existe aussi un $k$-uplet de réels de $\Intff{0}{1}$, $n$ d'entre eux, au plus, étant différents de 0 et 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{II}\label{090820110925}
\textbf{Majoration en norme d'une somme de vecteurs}
\end{center}
\begin{description}
\item[A. Vecteus de somme nulle.]
\begin{enumerate}[1.]
\item Un exemple : on désigne par $z_1,\ z_2,\ \dots, z_9$ les racines, dans le corps des complexes, de l'équation $z^9-1=0$.
Pour $\ell$ variant de 1 à 9, on associe à $z_\ell$ son image $M_\ell$ dans le plan complexe.
\begin{enumerate}[a.]
\item Montrer que $z_1+z_2+\cdots+z_9=0$.
\item Placer les points $M_1,\ M_2,\ \dots,\ M_9$ sur une figure.
\item Déterminer une permutation $\sigma$ des neuf premiers entiers telle que, pour tout $k$ compris entre 1 et 9, on ait :
$$ \left\Vert\sum_{j=1}^{j=k} \vecteur{OM}_{\sigma(j)}\right\Vert \leq 2.$$
Dans la suite, $V_1,\ V_2,\ \cdots, \ V_p$ sont $p$ vecteurs de E formant un système de rang $n$ et tels que :
$$ V_1+V_2+\dots+V_p=0.$$
On rappelle que $\dim($E)=$n$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $p\geq n+1$. Vérifier que, si $p\leq 2n+1$, on a, pour tout $k$ compris entre 1 et $p$ :
$$ \left\Vert V_1+\dots+V_k\right\Vert \leq n.\sup_{1\leq i\leq p} \left\Vert V_i\right\Vert.$$
Dans les trois questions suivantes, on se propose de généraliser cette propriété et on suppose $p>2n+1$.
\item On désigne par $\Calig{S}'$ la partie de $\GR^p$ constituée des $p$-uplets de réels $(x_1,\ \dots,\ x_p)$ vérifiant :
$$ \begin{cases}
x_1V_1+\cdots+x_pV_p=0\\ x_1+\cdots+x_p=n+1.
\end{cases}$$\begin{enumerate}[a.]
\item Montrer que $\Calig{S}'$ contient un $p$-uplet dont les éléments sont dans $\Intff{0}{1}$.
\item Montrer que $\Calig{S}'$ est un sous-espace affine de $\GR^p$. Quelles sont les dimensions possibles de $\Calig{S}'$ ?
\item Montrer que $\Calig{S}'$ contient un $p$-uplet $(\alpha_1,\ \dots,\ \alpha_p)$ de réels appartenant à $\Intff{0}{1}$, dont les $n+1$ éléments, au plus, sont différents de 0 et 1, et que dans ce $p$-uplet, l'un des éléments au moins vaut 1.
Pour alléger les notations, on suppose dans la suite que $\alpha_p=1$, ce qui revient à faire une permutation sur la liste des vecteurs initiaux $(V_1,\ \dots,\ V_p)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a.]
\item Montrer qu'il existe des réels $\beta_1,\ \dots,\ \beta_{p-1}$ appartenant à l'intervalle $\Intff{0}{1}$ tels que :
$$ \begin{cases}
\beta_1V_1+\cdots+\beta_{p-1} V_{p-1}=V_1+\cdots+V_{p-1}\\ \beta_1+\cdots+\beta_{p-1}=n+1.
\end{cases}$$
On pourra chercher les $\beta_i$ sous la forme $\beta_i=(1-\lambda) \alpha_i+ \lambda$, où $\lambda$ est un réel.
\item Justifier brièvement qu'il existe des réels $\gamma_1,\ \dots,\ \gamma_{p-1}$ appartenant à l'intervalle $\Intff{0}{1}$, l'un au moins valant 1, tels que :
$$ \begin{cases}
\gamma_1V_1+\cdots+\gamma_{p-1} V_{p-1}=V_1+\cdots+V_{p-1}\\ \gamma_1+\cdots+\gamma_{p-1}=n+1.
\end{cases}$$
\end{enumerate}
\item Montrer qu'il existe une permutation $\varphi$ des $p-1$ premiers entiers telle que :
$$\left\Vert|V_{\varphi(1)}+V_{\varphi(2)}+\cdots+V_{\varphi(p-1)}\right\Vert\leq n.\sup_{1\leq i\leq p} \left\Vert V_i\right\Vert.$$
On ne demande pas d'expliquer la suite du processus, qui permettrait, par compositions des permutations utilisées, d'obtenir une permutation $\sigma$ des $p$ premiers entiers telle que, pour tout entier $k$ entre 1 et $p$ on ait :
$$\left\Vert V_{\varphi(1)}+\cdots+V_{\varphi(p)}\right\Vert\leq n.\sup_{1\leq i\leq p} \left\Vert V_i\right\Vert.$$
\end{enumerate}
\item[B. Cas général.]
La somme $S=V_1+\cdots+V_p$ est quelconque.
\begin{enumerate}[1.]
\item Si le système $(V_1,\ \dots,\ V_p)$ est encore de rang $n$, exhiber un système, simple, de rang $n$, à $(p+1)$ vecteurs, auquel on pourra appliquer l'étude du A. précédent.
On de demande pas comment il faudrait adapter cette étude pour obtenir une permutation $\sigma$ des $p$ premiers entiers telle que, pour tout entier $k$ entre 1 et $p$ on ait :
$$\left\Vert V_{\varphi(1)}+\cdots+V_{\varphi(p)}\right\Vert\leq \left\Vert S\right\Vert +n.\sup_{1\leq i\leq p} \left\Vert V_i\right\Vert.$$
\item Si le rang du système est strictement inférieur à $n$, le résultat précédent est-il encore valable ?
\end{enumerate}
\end{description}
\begin{center}
\textbf{III}\label{090820110926}
\textbf{Parties convexes}
\end{center}
le produit scalaire de deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ de E est noté $\vecteur{u}.\vecteur{v}$.
On désigne toujours par $n$ la dimension de E. On munit E de sa structure canonique d'espace affine ; un élément de E peut donc être considéré soit comme un point, soit comme un vecteur. On rappelle que la distance du vecteur $\vecteur{u}$ à la partie $\Calig{P}$ non vide de E est la borne inférieure de l'ensemble $\{ \left\Vert \vecteur{u}- \vecteur{v}\right\Vert,\ \vecteur{v}\in \Calig{P}\}$.
On considère une partie convexe non vide $\C$ de E. On suppose $\C$ distincte de E ; \textbf{on admettra} qu'il en résulte que l'adhérence $\overline{\C}$ de E est également une partie convexe de E, distincte de E.
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer qu'il existe un élément $\vecteur{u}$ de E dont la distance $d$ à $\overline{\C}$ est strictement positive.
\item $\vecteur{u}$ étant choisi, montrer qu'il existe $\vecteur{v_0}$ appartenant à $\overline{C}$ tel que $\left\Vert\vecteur{v_0}- \vecteur{u}\right\Vert=d$.
\item On suppose qu'il existe un élément $\vecteur{v}$ de $\overline{\C}$ tel que $(\vecteur{v}-\vecteur{v_0}).(\vecteur{u}-\vecteur{v_0})>0$.
Montrer l'existence d'un réel $\lambda$ appartenant à l'intervalle $\Intoo{0}{1}$ tel que $\left\Vert\vecteur{v_0}+\lambda (\vecteur{v}-\vecteur{v_0}-\vecteur{u}\right\Vert