Réponses
-
"Petit" exercice qui s'inscrit dans le même paysage :(Quote)
-
Pour la réciproque : raisonnons par l'absurde en supposant que tous les termes de la suite $(x_n)_{n\geqslant0}$ soient entiers sans que $u_0$ soit entier. Notons $u_0=\dfrac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers tels que $p>0$, $q>1$ et $p\wedge q=…
-
Il est facile de voir que la suite $(u_n)_{n\geqslant0}$ définie par $u_n=\dfrac{x_n+x_{n+2}}{x_{n+1}}$ est constante. Or, si $A+x_0^2+x_1^2$ (égal à $x_0(x_0+x_2)$) est divisible par $x_0x_1$, on a $u_0\in\N$, et la relation $x_{n+2}=u_0x_{n+1}-x_n…
-
D'accord, je comprends. En faisant tourner mes programmes (moches !) à boucles imbriquées, il ne me semble pas avoir croisé d'autres $(P_1,Q_2,R_2)$ qui marchent. Mais pour que mon ordi ne calcule pas jusqu'à la fin août, je me suis beaucoup limité …
-
@depasse Il y a aussi des termes en $x$, $x^3$ et $x^5$.
-
Sinon, un exercice classique :
(Quote) -
(Quote) Je n'ai pas l'impression que des progrès aient été faits. J'ai posé récemment la question sur dans $t^5-7=x^2+y^2 \;?$ Commentaire de uvdose 20 Aug
-
L'identité en question :
$$(2x^4+38x^2+181)^2+(x^5+18x^3+82x)^2-(x^2+8)^5=-7$$
Je me demande s'il s'agit de "l'ombre" d'une identité polynomiale plus générale, avec plusieurs indéterminées ?
Je l'ai trouvée en tâtonnant et me servant… -
@depasse : merci pour ta participation ! J'ai découvert l'identité polynomiale qui résout le problème un peu par hasard et je ne sais pas du tout si elle est "optimal…
-
$(2\times6^2+4)^5-7=3^3\times13\times7223719$ n'est pas somme de deux carrés...
-
@etanche : tire sur le fil, la solution est au bout !
-
$\bullet$ Existe-t-il trois entiers relatifs $x$, $y$ et $z$ tels que $x^3+y^3+z^3=114$ ?
Voir Wikipédia.
$\bullet$ Tout entier relatif $n$ s'écri… -
Je trouve vraiment ta démonstration épatante, @LOU16.
Si je ne raconte pas de bêtise, elle fonctionne pour des entiers premiers $p\geqslant3$ tels que :
@LOU16 Mais oui, bien sûr, merci !Je n'ose pas ouvrir une nouvelle discussion pour vous soumettre la question (accessoire, mais qui m'amuse) suivante, à laquelle je n'ai pas encore la réponse.
Soit $a$ la suite évoquée plus haut, définie par
@dirikly Merci. Cette équation de Mordell se résout-elle avec des outils "élémentaires" ?J'ai avais l'impression, sans pouvoir encore le prouver, que si $n\in\N$ et $k\in\N^*$,$8^k \;|\; a_n \;\Longleftrightarrow\; n\equiv8^k-7\;[8^k]\,.$
Par conséquent, $a_n=8^k$ entraîn…Pour traiter le cas où $n$ est impair, je ne sais pas si cela est payant d'utiliser les solutions de l'équation de Pell-Fermat$(P) : x^2-8y^2=17\,.$Les solutions positives de $(P)$ s…@Médiat_Suprème Je ne comprends pas ce que tu veux dire.Excusez-moi d'insister, mais cette question m'intéresse... À défaut d'obtenir une réponse de @Joaopa, peut-être dans Intégralité des coefficients binomiaux de Fermat Commentaire de uvdose 22 AprPeux-tu expliquer pourquoi tu baptises ces nombres coefficients binomiaux ? Merci.J'ai été demander des explications au proviseur, qui a effectivement reconnu avoir modifié l'appréciation.
Il l'a fait après avoir reçu l'élève, qu'il a trouvé déprimé (sic), raison pour laquelle il a fait preuve de bienveillance (sic).
<…C'est l'appréciation pour ma discipline.
J'arrive après la tempête ! Une grand merci à tous les participants, avec une mention spéciale à @marco etJe ne comprends pas pourquoi $g\circ g=g$ ?@bd2017 Comment fais-tu pour prouver que $g(y)=y$ sur un intervalle ?Bon anniversaire @Chaurien !Je suis (très) loin de mon ordi, mais il me semble qu'on obtient une obstruction en raisonnant modulo $125\times101$.@jandri : solution simple et efficace. Je m'étais compliqué la vie en raisonnant modulo 125 puis modulo 601dans Un défi pour "experts" Commentaire de uvdose December 2023
(Quote) N'est-ce pas plutôt $e^4-(b^2+d^2)e^2-a^2(b^2+d^2)+\frac12(b^4+d^4)+a^4=0$ (oubli du terme $a^4$) ?En commentaire, dans l'article de l'OEIS, on lit un truc bluffant : $(x+1,x^2+1,x^4+x^3+3x^2+2x+1)$ est une solution (primitive) de $(\mathscr{E}_{x^2+1})$.
Super, merci jandri ! J'étais loin du compte !Par exemple, sauf erreur, si $(u_n)$ est une suite d'entiers $6-$périodique, alors $(a_n)=(u_n^2)$ répond à la question si et seulement si :
$$\left\{\begin{array}{rcl}2u_0^2+u_1^2+u_5^2&=&u_2^2+2u_3^3+u_4^2\\u_1^2+u_2^2&=&u_4^…@LOU16 : Je pense que quelques $(u_n)$ de période $6$, $10$, $12$, $15$ ou $20$, sont passées au travers des mailles de ton filet.
Dans le bouquin de R. K. …Si tu as un jour le temps (et l'envie) de rédiger les détails, je suis preneur.Merci ! Tu as eu recours au théorème de Zannier ou ta démonstration reste-t-elle "élémentaire" ?Pour tout $(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon)\in\N^5$, les $12-$uplets
$$(\underline{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2},\underline{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2},\underline{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2})\,,$$
et
$$(…
Bonjour!