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Réponses

  • Merci à vous tous, c'est plus clair maintenant.
  • J'en prends note, merci pour cette généralité !

    Est-ce que mon raisonnement pour démontrer l' irréductibilité de $Y-X^2$ marchait sinon ? Est-ce qu'en général on raisonneme plutôt en termes d'anneaux quotient comme vous me l'avez proposé …
  • Ok donc on pose $Q=(Y-X^2)R+S$, avec $R,S\in {\bf R}[X,Y]$ et $\deg_Y(S)<1$. Si $Q$ est dans le noyau de $f$ alors $S$ est nul donc le noyau est bien inclus dans l'idéal. La réciproque étant facile on a bien l'égalité voulue. Merci !
  • En vrai je ne tiens pas vraiment à l'écrire, c'était seulement pour être d'accord sur le fait que c'était clair. 

    Quelle division euclidienne effectuer ? Un polynôme $Q$ dans le noyau par $Y-X^2$ ? J'ai du mal à voir comment l'écrire...
  • Oui, dans ma tête j'avais pris $J$ principal...
  • Au passage puisque $A$ est isomorphe à ${\bf R}[X]$, qui n'est pas un corps, on en déduit que $I$ n'est pas maximal. La question que je me pose, c'est quel peut bien être un idéal $J$ tel que $I\subsetneq J\subsetneq A$ ?
  • Trop fort ! Je n'y avais pas pensé mais c'est grâce au morphisme d'anneau (à justifier d'ailleurs) $ f : A\to {\bf R}[X]$ qui, à tout polynôme $Q\in A$ associe $Q(X,X^2)$ (c'est une sorte d'évaluation en $Y$ par rapport à $X$). Par contre comment ju…
  • Compte-tenu de l'erreur d'énoncé, ne veut-on pas montrer que ${\rm Vect}(A) = \bigcap_{ V\ sev\ E \\ V\supset A} V$ ?
  • gerard0
    Oui c'est ce qu'a dit Poirot. Du coup, comment montrer que l'intersection de tous les sous-espaces de E contenant A est bien contenue dans E ?
  • Poirot
    Ok, mais du coup je suis embêté, j'avais pris comme définition que $\mathrm{Vect}(A)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$. Quelle définition de ${\rm Vect}(A)$ faut-il prendre ?
  • Je vous remercie pour votre aide !
    dans Action de groupe Commentaire de un_kiwi July 2023
  • Bonjour,

    C'est plus clair, merci ! Cependant j'ai un blocage ici
    (Quote)
    $S$ contient trivialement $1$ donc ce n'est pas exactement l'ensemble des éléments d'ordre deux.

    dans Action de groupe Commentaire de un_kiwi July 2023
  • (Quote) Bonsoir
    Je n'arrive pas à comprendre, ça va un peu vite pour moi. Pourriez-vous être un peu plus explicite ?
    dans Action de groupe Commentaire de un_kiwi July 2023
  • J'aurais besoin d'aide à présent pour prouver que si $G$ désigne un groupe et $x\in G$ est fini d'ordre $n$, alors pour tout $k\in {\mathbb N}^*$, l'ordre de $x^k$ vaut $n/({\rm pgcd}(k,n))$.
    J'ai commencé par poser…
    dans Ordre d'un élément Commentaire de un_kiwi June 2023
  • Ok c'est bon j'ai réussi à conclure, merci beaucoup !
    dans Ordre d'un élément Commentaire de un_kiwi June 2023
  • (Quote) Pas de soucis à présent avec le fait qu'un ensemble de Cantor admet des sous-ensembles non borélien (j'ai vu deux types de Cantor (maigre et gras)). C'est là où se situe mon dernier problème : selon mon cours, on ne peut pas parler de mesur…
  • Merci pour votre aide !
  • Ah oui, merci je suis allé un peu vite !
  • Ok merci, je pensais tellement qu'on pouvait prendre un raccourcis mais non ! Merci encore
    dans "presque partout" Commentaire de un_kiwi March 2023
  • Ok merci d'avoir éclairci cette subtilité ! J'aurais une autre question.
    Dans mon cours on montre l'équivalence entre $\int_X f\ d \mu =0$ et $f=0$ $\mu$-presque partout ($f : X\to [0,\infty]$ étant une fonction mesurable). Ne peut…
    dans "presque partout" Commentaire de un_kiwi March 2023
  • Ok je crois avoir compris la subtilité : d'après mon cours $f =g$ p.p. si et seulement si $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in X\setminus N$, où $ N$ est une partie mesurable de mesure nulle. Or $\{ x\in X\mid f(x)\ne g(x)\}\subset N$ et si on suppose l…
    dans "presque partout" Commentaire de un_kiwi March 2023
  • Il s'agit de la partie C


  • Mon niveau d'étude s'arrête en L3. J'ai déjà entendu parler de solution maximale, c'est une solution définie sur un intervalle qui n'admet pas d'autre prolongement qu'elle-même.
  • Bonjour, oui je me rends compte que j'ai oublié de taper un mot, je voulais dire "y a-t-il un autre moyen de résoudre cette équation différentielle".
  • Effectivement, je me suis un peu hâté. Une solution est une fonction vérifiant cette équation différentielle, mais où voulez-vous en venir, je ne comprends pas.
  • Et bien trouver une solution à l'équation différentielle $y'=1+y^2$.
  • Juste par curiosité, y a-t-il un moyen de résoudre une telle équation différentielle ?
  • Ok, du coup je dois avoir en posant $u=y$, avec $y:=y(x)$ et $y_0:=y(x_0)$
    $\displaystyle \int_{y_0}^y \frac{1}{1+u^2}\ {\rm d} u$.
  • (Quote) Par contre, j'ai un petit problème de rigueur concernant les bornes.
    $\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{y'}{1+y^2}\ {\rm d} t = \int_{?}^? \frac{{\rm d} y}{1+y^2}$
    Comment y remédier ?
  • Et pourvu que pour tout $x$, $x-x_0$ appartienne au domaine de définition de la fonction tangente !
  • Ok effectivement c'était tout bête !
    En conclusion je trouve $\arctan(y)=x-x_0$ donc $y=\tan(x-x_0)$, avec $x_0$ une constante arbitraire.
    Merci beaucoup !
  • D'accord mais le "$+1$" me gêne, je n'arrive pas à le gérer...
    Je suis arrivé à
    $\displaystyle \forall x_0\in \mathbb{R}, \ \forall x>x_0,\qquad \int_{x_0}^x \frac{y'}{y^2+1}\ {\rm d} t = x-x_0$.
    Mais j'a…
  • Il faudrait donc vérifier que réciproquement ces fonctions trouvées sont bien solutions !

    Je ne comprends pas cette subtilité : pourquoi c'est $A(v)\sqrt{u}$ qui doit être de classe $\mathscr{C}^2$ et non pas seulement $A$ ?
    J'avou…
  • Du coup, les solutions on les as toutes. Elles sont de la forme

    $\displaystyle (x,y) \mapsto A\left( \frac{\pm x}{ \pm y } \right) \sqrt{ (\pm x)( \pm y)} + B( (\pm x)( \pm y) )$, avec $A$ et $B$ de classe $\mathscr{C}^2$, non ?
  • Bonsoir,

    En primitivant, je trouve que $F(u,v)=A(v) \sqrt u + B(u)$ donc logiquement je devrais avoir $\displaystyle f(x,y)=A \left( \frac x y \right) \sqrt{xy}+ B(xy)$.

    Les fonctions $(x,y) \mapsto f({-x},y)$, $(x,y) \mapst…
  • Bonsoir, me revoilà. Alors finalement, je trouve que les fonctions $f \in \mathscr{C}^2 ( ({\bf R}_+^* )^2,{\bf R})$ solution de $(E)$ sont de la forme $f(x,y)= A(x/y) \sqrt{xy} +B(xy)$, où $A$ et $B$ sont de classe $\mathscr{C}^2$ sur ???

  • Ok, c'est bon, je trouve la bonne équation, les calculs étaient long mais ca marche, je vous remercie pour votre aide, je poursuis la résolution.
  • Ok donc je trouve bien comme vous

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= y \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{1}{y} \frac{\partial F}{\partial v} $.

    Mais c'est la que ça coince.

    En re-dérivant par rappor…
  • Ok, alors je n'ai peut-être pas compris les formules que je manipule...

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial …
  • Je ne comprends pas où j'ai fait une erreur alors.

    J'ai

    $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =
    \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \frac{\partial^2 F}{\partial u^2}
    +2 \frac{\partial u \partial v }{\part…
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