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  • Cher Claude,

    Merci beaucoup (encore une fois) pour ton aide!

    Le 1) est la proposition 1, n°2 dans Bourbaki.
    Effectivement, une fois que c'est bien dit, c'est facile à démontrer.

    Vive les anneaux gradués!
  • Je n'ai pas lu la discussion en détail.

    Tout de même, juste un mot clé concernant la dernière question: "Suite spectrale de Grothendieck".

    h…
  • Merci beaucoup pour cette référence.

    C'est très clair maintenant!
  • Merci beaucoup Claude!

    J'ai toujours eu du mal avec Nakayama...
  • Oui, je suis d'accord que $N$ est une fonction un peu bizarre.

    Toujours est-il que c'est elle qui m'intéresse. La véritable question est de savoir comment calculer $N(P)$ pour un $P$ donné...
  • Une condition suffisante suffisante classique est que les polynômes minimaux $\pi_x$ et $\pi_y$ soient premiers entre eux.

    Mais ce n'est bien sûr pas une condition nécessaire
  • As-tu essayé de chercher à lui construire un inverse également polynomial?

    Cela se ramène à un exercice sur les polynômes (ou les séries formelles plus généralement), non?
  • En fait, ce que tu dis est vrai non pas à cause du théorème de Sylvester, mais juste par définition de la propriété de "positivité".

    Une forme quadratique réelle $q$ est positive si pour tout $x$, on a $q(x)\geq 0$.

    Les coeff…
    dans Forme quadratique Commentaire de oblomov October 2018
  • Pour Silverman, mieux vaut commencer par son livre avec Tate:

    "Rational points on elliptic curves"
  • Il me semble que c'est la conséquence des faits suivants:

    1) Si $E$ est un ev de dim $1$, tout endo $u$ de $E$ est une homothétie et l'endo $^{t}u$ de $E^*$ est une homothétie de même rapport.

    2) Si $F$ est de dimension $n$, …
  • Je dirais que c'est la même chose!
    Calculer la transformée de Fourier discrète d'un vecteur et évaluer le polynôme en les racines de l'unité.
    Pour comprendre cela, il faut comprendre qu'un vecteur à n composantes est vu ici comme une fon…
  • Bonjour,

    Il se trouve que "par hasard", "le" groupe fondamental du tore est abélien, mais ce n'est pas pour la raison que tu dis.
    L'égalité entre deux chemins est celle des fonctions: en tout temps, on est au même endroit; l'égalit…
    dans Groupe fondamental Commentaire de oblomov May 2018
  • Bonjour,

    Je crois que GBZM a très bien compris ta question initiale, mais que toi tu ne comprends pas sa réponse.

    Ce que GBZM te dit c'est qu'en changeant le signe de certains coefficients, tu ne changes pas la parité du déte…
  • Une méthode générale pour calculer des déterminants de Hankel (entre autres) à partir de la fonction génératrice est expliquée dans la section 2.7 de:

    Christian Krattenthaler, "Advanced Determinant Calculus"
    dans dérangement déterminant de Hankel Commentaire de oblomov March 2018
  • Je pense que ça va être un peu bancal vu que le phénomène n'est pas vrai en général, mais juste pour $n\leq 6$.

    Bien sûr, tu peux toujours "déplier" ce qui est implicite dans la réduction de Jordan: considérer la suite des dimensions suc…
  • Je ne pense pas qu'il en soit ainsi:
    $$ A=\begin{bmatrix}
    1&1& 0&0\cr
    0 &1& 0& 0\cr
    0& 0&1&0\cr
    0&0&0&1
    \end{bmatrix} \quad \text{ et } \quad
    B=\begin{bmatrix}…
  • Non, car je pense que ce n'est pas surjectif!

    Par exemple, $\begin{bmatrix} -1& 0 \cr 0& -2\end{bmatrix}$ a un déterminant $>0$ mais n'est pas dans l'image de l'exponentielle réelle.
    La bonne condition pour être dans l'i…
  • Aïe. Décidément...

    Merci beaucoup à GaBuZoMeu pour cette correction!

    Enfin, ceci répond pleinement à la question: non!


    For sake of completeness, je traduis ci-dessous l'argument donné dans le lien dans le me…
  • Oups, j'ai complètement craqué sur la base effectivement (td)!!

    Par contre, il me semble qu'il n'en reste pas moins que c'est un module libre, isomorphe (par définition) à $A^{\mathbf N^n}$.
  • Ben oui, presque par construction. Non?

    Une base est donnée par les "multinômes" $X_1^{a_1} ... X_n^{a_n}$.
  • Voici une esquisse de façon de le faire (c'est un peu moyen comme méthode, mais bon, je n'ai pas mieux).

    Je considère une partition de l'ensemble $X=\mathcal P_3(5)$ qui a la propriété que tu rappelles plus haut et dont au moins une clas…
  • Pour ta question sur la dimension, $M_A$ est effectivement de dimension $I-1$.
    En effet, l'application linéaire canoniquement associée à $A$ est injective par hypothèse et $M_A$ est l'image par cette application de l'espace de $\{\alpha, \ \su…
    dans Ré-écriture Commentaire de oblomov July 2017
  • Une façon de le voir (tirée du Perrin) est la suivante:

    $O(3)$ est engendré par les réflexions et un produit de 2 réflexions est aussi un produit de 2 retournements en remarquant que la composée de -id et une réflexion est un retournemen…
  • Le discriminant d'un polynôme $P$ est à un signe près (que je te laisse vérifier) le résultant de $P$ et $P'$.
    Du coup, en utilisant le fait qu'ici $P'=rX^{r-1}$ et en utilisant les propriétés bien connues du résultant (que tu retrouveras là:<…
  • Pour tenter de te faire comprendre ce que dit Claude:
    1) Une base de $K'$ est donnée par les classes des monomes de degré < deg(P)
    2) La structure de $K'$-ev est donnée en faisant agir (la classe de) $X$ comme $u$.
    3) Prends une…
  • Pour $a=4, b=7 $ et $ a+b-2=9$, on dirait que ça ne marche pas.

    Plus généralement, ça ne marche pas dans lorsque $b=a+(a-1)=2a-1$.

    Par contre, pour $b=a+(a-2)$, alors a est nécessairement impair et on a le chemin:
    $b=2a…
  • dfshr8 écrivait:
    > Heu il y a quand meme d' autres choses à savoir
    > il me semble...
    > 1) Quel est le cadre le plus général ? Si je me
    > place sur un ev E je peux déjà parler de
    > projecteur et donc de s…
  • Pour voir que $\C$ et $\C^*$ ne sont pas homéomorphes, il suffit de constater que l'un a un seul "bout" alors que l'autre en a deux.
    Je vous renvoie à wikipédia: dans Homotopie cachée : $\mathbb{C}(^*)$ Commentaire de oblomov March 2017
  • Tout sous-espace $F$ admet un orthogonal $F^\perp$ qui n'est en général pas un supplémentaire.

    Mais tout de même, ce qui est vrai est que pour un sous-espace $F\subset E$ sur lequel la restriction de la forme bilinéaire $b$ est non-dégén…
  • Je résume donc: on est d'accord sur [le résultat de ]l'algorithme de GS. C'est un bon début.

    [Je reconnais par ailleurs que la façon dont on décrit l'algo de GS que j'ai donnée n'est pas conventionnelle et que je l'ai décrit par lignes, …
  • GaBuZoMeu écrivait:
    > @oblomov : je vois que tu n'est finalement pas sorti de ce fil, mais que tu modifies ton message
    > suite à mes objections, sa…
  • GaBuZoMeu écrivait :
    > Je t'avais demandé ce que tu entendais par "mais on pourrait imaginer un "cas 2" dans GS (en
    > dualisant le cas 2 de Gauss)". Je n'ai pas eu de réponse. De mon côté, j'ai explicité d'une
    > manière qu…
  • Oui, j'avais oublié un verbe; c'est corrigé.

    Il me semble que ce que tu dis correspond bien à ce que je dis: ton algorithme construit la matrice P par lignes (tu as données les $p_{1,j}$, soit la première ligne). Alors que GS la construi…
  • Je pense que cette version n'est pas si faible.
    Elle implique l'existence d'une infinité de premiers congrus à $m$ modulo $n$.

    Tu commences par construire un $p_1$ congru à $m$ modulo $n$. Puis tu prends $r$ assez grand pour que $r…
  • GaBuZoMeu écrivait :
    > P.P.S. Même quand le "cas 2" ne se présente pas, l'algorithme de "pivot de Gauss symétrique" ne se
    > déroule pas de la même façon que Gram-Schmidt : à la première étape par exemple, on ne modifie
    > p…
  • Pour redire autrement ce que j'ai écrit plus haut.

    L'algorithme de Gram-Schmidt c'est une version "duale" du "cas 1" dans l'algorithme de Gauss.
    On se limite aux formes définies pour n'avoir jamais à parler du "cas 2" (mais on pour…
  • Bonjour,

    Gauss et Gram-Schmidt: même combat!

    C'est exactement la même chose mais le point de vue n'est pas le même.
    Pour les comparer, je prends un point de vue matriciel (c'est plus efficace). Je me donne donc une form…
  • Si je comprends bien la question, ton problème est de vérifier que $\psi$ est continue.

    Dans ce cas, ce que ton prof a dû dire est que pour vérifier que $\psi$ est continue revient (par définition de la topologie produit à vérifier que $…
  • Ici, il faut être un peu plus précis que de juste regarder le degré des polynômes.

    Indication : ce que tu dis est vrai sur chaque monôme d'un $P_iX^{i+1}Y^i$.
    Tu pourrais par exemple commencer par montrer que $I_2 \neq I_3$ si tu n…
  • Bonjour,

    Comme tu le dis $X_a$ est le vectorialisé de $X$ en $a$. Il s'appelle vectorialisé car il est muni d'une structure d'espace vectoriel justement.

    Le truc des espaces affines, c'est que c'est presque un espace vectorie…
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