Réponses
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Je ne sais pas si ça a été dit plus haut, mais on pourra lire l'article d'Erik Thomas dans le dernier numéro de Quadrature, n°133, sur Michel Talagrand, prix Abel 2024.
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Ce symbole $\Omega$ est très présent en théorie analytique des nombres.
Les définitions du wiki sont parfaitement correctes, on peut toutefois en donner une autre, peut-être plus "imagée" . Soit $f$ une fonction à valeur réelle.Ce n'est pas la convention habituelle : une somme on un produit indicé par $p$ représente une somme ou un produit portant sur tous les nombres premiers.
Si l'on parcourt une partie de l'ensemble des nombres premiers, alors cette pa…L'identité est vraie sans le facteur $\frac{194}{217}$. En effet, soit $\chi_4 = (-4/\cdot)$ l'unique caractère primitif de Dirichlet de module $4$, où $(n/\cdot)$ est le symbole de Kronecker. On a $\chi_4(1) = 1$, $\chi_4(2) = 0$ et, si $n \geqslan…Le but de ce manuscrit n'est pas de fournir un outil miracle qui résoudrait telle ou telle conjecture, mais d'étudier des conditions "minimales" pour obtenir des minorations et/ou majorations, voire des formules asymptotiques, pour des sommes portan…Il y a bien longtemps que je n'avais pas vu passer ici un sujet aussi intéressant.
Les techniques d'Ingham-Haselgrove sont connues depuis des lustres, il m'a paru donc très pertinent de les essayer sur la fonction arithmétique $J_{-1/2}$ …La valeur du résidu $\alpha_0$ calculée plus haut suggère que s'il existe un entier $n_0$ tel que $S_{-1/2}(n_0) > 0$, alors cet entier doit être perché bien plus loin que celui obtenu avec la fonction de Liouville.
Quant à démontrer q…Je remonte ce sujet pour signaler les différentes évolutions des messages, notamment le calcul de $S_{-1/2} (10^9)$.On peut généraliser la méthode de Lehman de la façon suivante.
Soient $1 \leqslant U \leqslant T \leqslant x$, et on note $M(n;y) := \displaystyle \sum_{d \mid n \\ d \leqslant y} \mu(d)$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions arithmétiques qu…Attention, je l'ai modifiée avec deux paramètres au lieu d'un seul.En reprenant l'idée de Lehman, voici ce que je trouve pour $S_{-1/2}$ : pour tous $1 \leqslant U \leqslant T \leqslant x$, on a
$$S_{-1/2}(x) = \sum_{n \leqslant x/T} \mu(n) \left\lbrace R(x/n) - \sum_{m < U} J_{-1/2}(m) \left( \left\lfloor …Pour info, pour la fonction sommatoire $L(x) = \sum_{n \leqslant x} \lambda(n)$ de la fonction de Liouville, et en reprenant les notations ci-dessus, Haselgrove a vérifié qu'avec $T=1000$ et $y= 831,847$, alors $A^\star_T (y) \approx 0,00495 > 0$…Personnellement, je n'en trouve pas (mais je n'ai pas cherché furieusement).Puisque tu as mentionné Haselgrove, je vais aller un peu plus loin (attention, ça va un peu piquer !...).
Je vais tenter d'adapter la méthode d'Haselgrove, ou plutôt d'Ingham-Haselgrove, à l'exemple de cette fonction de Jordan $J_{…Tu supposes $\lambda = \frac{1}{2}$ et donc on joue avec la fonction arithmétique de Jordan $J_{-1/2}$. J'appelle $S_{-1/2}$ sa fonction sommatoire définie pour $x > 0$ par $S_{-1/2}(x) := \sum_{n \leqslant x} J_{-1/2} (n)$.
Je vais ut…Le titre de l'article, finalement paru au journal "Journal of Integer Sequences", a quelque peu changé par rapport au preprint.
Pour ton exemple, je traite le cas où $\lambda \geqslant \frac{1}{2}$ : ici, je n'utiliserais pas Perron, mais…Je continue...
Lorsque $m=3$ dans ton exemple ci-dessus, la fonction arithmétique notée $\lambda_3$ associée à la série de Dirichlet $\frac{\zeta(3s)}{\zeta(s)}$ est donnée par $\lambda_3(n) = \left( \frac{\tau(n)}{3} \right)$, où $\tau$ …Ton exemple correspond à $a_n = \lambda(n) := (-1)^{\Omega(n)}$ la fonction de Liouville.
Effectivement, notamment lorsque la fonction change de signe, on utilise Perron qui est l'outil idoine ici.Comme à chaque fois avec Boécien, ce sujet est très intéressant et a le mérite de soulever des problèmes pas souvent abordés ici.
J'ajoute une remarque supplémentaire : le $\varepsilon$ dans la majoration $\ll x^{\sigma + \varepsilon}$ n…Pour une démonstration, voir par exemple O. Bordellès, Arithmetic Tales Advanced Edition, Springer, 2020, Corollary 4.3.
Tu peux bien sûr changer "$a(n) \geqslant 0$" par "$a(n)$ garde un signe constant".
Sous cette hypothèse, …Je pense que tu voulais dire $\ll x^{\sigma + \varepsilon}$.
On a le résultat suivant : Si $a(n) \geqslant 0$, la série de Dirichlet $L(s,a)$ converge dans le $\frac{1}{2}$-plan $\textrm{Re}(s) > \sigma \iff \forall \varepsilon > 0,…Si ça t'intéresse, on peut légèrement améliorer la borne dans le cas $\lambda < 0$ : en reprenant les étapes ci-dessus, mais en utilisant le TNP sous la forme $\sum_{n \leqslant x} \mu(n) \ll x \delta(x)$, avec $\delta(x) := \exp \left( - \frac{1…Oui :
\begin{align*}
\sum_{n \leqslant x} v(n) &= \sum_{d \leqslant x} u(d) \sum_{k \leqslant x/d} \mu(k) \\
& \ll x \sum_{d \leqslant x} \frac{|u(d)|}{d} \\
& = x \left( \frac{1}{x} \sum_{d \leqslant x}…Oui si $\lambda > 0$, $\ll x \log x$ si $\lambda = 0$, $\ll x$ si $-1< \lambda < 0$.Merci à Gai Requin et à John_john, et bravo à Pozzar pour sa HC.Estimer le nombre de classes et/ou le régulateur d'un corps de nombres est un problème éminemment algébrique (classifications AMS = 11R27 et 11R29).
Maintenant, quid des outils utilisés ?
Avant l'avènement des travaux de Stark …Même s'ils conservent leurs adeptes, les théorèmes taubériens "analytiques", c'est-à-dire ceux qui fonctionnent à partir de propriétés de la série de Dirichlet $L(s,f)$ de la fonction arithmétique $f$ étudiée, sont peu à peu tombés en désuétude, sup…Oui.
Plus précisément, mes domaines de recherche appartiennent à la théorie analytique des nombres, dont entre autres :
(i) la théorie multiplicative (ordres moyens de fonctions multiplicatives, convolution de Dirichlet, sommation d…De rien !
Désolé pour le délai de réponse, mais je ne viens plus que très rarement ici.Pour des estimations effectives (c'est-à-dire avec expression d'un terme d'erreur), on utilise plutôt le théorème de Freud-Karamata, ou bien celui d'Onishi, plutôt que le Ikehara-Wiener (qui fut historiquement l'un des premiers résultats de ce type,…Je confirme, s'il en était besoin, et je complète de la façon suivante : le résultat reste vrai si l'on suppose $u_n \in \mathbb{C}$, sa série de Dirichlet $L(s,u)$ converge absolument dans $\sigma > c$, se prolonge méromorphiquement dans $\sigma…C'est une majoration, pas la valeur exacte, c'est plus simple à estimer.Le terme d'erreur n'excède pas
$$\sum_{k=1}^{\infty} \ \sum_{p_1 < p_2 < \dotsb < p_k \leqslant x} 1 = \sum_{k=1}^{\pi(x)} {\pi(x) \choose k} = 2^{\pi(x)}-1.$$Ou alors, ce qui revient au même :
$P(5 \leqslant T \leqslant 9) = P (4 < T < 10) = P(|T-E(T)| < 3) \geqslant 1 - \frac{V(T)}{9} = \frac{2}{3}$.
Néanmoins, je critiquerais la formulation de cet énoncé avec le mot "ent…Les fonctions LC ?
Dans le preprint que j'ai mentionné plus haut, on trouve l'identité suivante :
$$L(m,\chi) = \frac{(-1)^{m-1}}{2(m-1)!} \, \left( \frac{\pi}{q} \right)^m \ \sum_{k=1}^{q-1} \chi(k) \cot^{(m-1)} \left( \frac{k \pi…Si tu parles des fonctions $L$ de Dirichlet, et si l'on suppose le caractère $\chi$ de Dirichlet primitif, alors tu peux utiliser son équation fonctionnelle :
$$L(s,\chi) = i^{-\delta} \tau(\chi) \left( \frac{q}{\pi} \right)^s \frac{\Gamma \le…Oui, tout à fait.Une prépublication arXiv de Louboutin vient juste de sortir à ce sujet, en particulier concernant les (importantes) valeurs moyennes.
Ça t'intéresse ?Salut John_john,
J'ai oublié les références :Hermann Weyl, Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transformation, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 35 (1949), 408--411.
Bonjour!