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  • Hello,
    si tu écris $1=1_{Y_{n+1}=Y_n} + 1_{Y_{n+1}=Y_n+1}$, alors : 
    $$\mathbb E [X_{n+1} \mid \mathcal F_n] =  \mathbb E [X_{n+1}1_{Y_{n+1}=Y_n} \mid \mathcal F_n] + \mathbb E [X_{n+1}1_{Y_{n+1}=Y_n+1} \mid \mathcal F_n]$$
    et bingo
  • Merci beaucoup pour ton message.
    Pour la première chose : aucun problème, car les deux représentations sont isomorphes. Une nouvelle fois, deux manières de le voir : d'une part, la version géométrique (qui est celle que tu as proposée…
  • Je réanime ce fil ; je veux ici expliquer pourquoi cette interprétation m'intéresse.
    On a une représentation de $\mathfrak S_n$ sur les formes $n$-linéaires de $\mathbf C^m$ (par permutation des variables) ; les formes symétriques s'i…
  • Hello à vous deux,
    et merci @Math Coss pour ton message très clair.
    En fait, ma question portait plutôt sur ta première phrase :
  • Pour répondre à Guégo et Math Coss, je pense que "à isomorphisme près" suffit et est plus maniable (la conjugaison dans $\text{GL}_n(\mathbf Z)$ ne me donne pas très envie).
    Oui effectivement Amédé.
    Merci noix de toto pour l…
  • Et pourquoi $G^{ab}$ n'a pas de torsion ?
  • En fait, ce n'est pas $\mathfrak S_3$ que l'on regarde, mais le groupe diédral $\mathcal D_3$ ! En général, pour $p$ premier, $\mathcal D_p$ vérifie la propriété, avec $r=2$...
  • La propriété dont je parle est :
    "$\exists r \ge 1, \, \forall S \subset G, \langle S \rangle = G \implies [\mathrm{Card}(S) \ge r \text{ et } (\exists S' \subset S, \mathrm{Card}(S')=r  \text{ et } \langle S' \rangle = G) ]$"<…
  • Ce n'est pas vrai pour $\mathfrak S_n$ si $n\ge 4$ : la partie $\{(1,2), (2,3), \ldots, (n-1,n)\}$ est génératrice, mais on ne peut pas en extraire une partie génératrice à deux éléments !
  • En effet, en plus j'y avais pensé. J'allais répondre que ton exemple marchait "grâce" au cardinal faible de $G$, mais je pense que cela fonctionne aussi bien pour les $(\mathfrak S_3)^n$ (je n'en suis pas tout à fait sûr cependant).
    <…
  • Merci pour l'exemple, je n'y avais pas pensé
    Et il y a un moyen simple de le démontrer ? Si je sais que tout sous-groupe d'un groupe libre est libre, alors c'est ok (prendre un morphisme $\mathbb F_{S} \to \mathbb Z$ envoyant $S…
  • On peut montrer que toute matrice $M \in \mathrm{GL}_2(\mathbf Z)$ d'ordre fini est d'ordre dans $\{1,2,3,4,6\}$, avec des égalités. Par exemple, la matrice compagnon de $X^2-X+1$ est d'ordre $6$ ; elle n'est pas diagonale, ni antidiagonale
  • Merci !
    En fait on montre même que si $F$ (resp $G$) sont des $n$-foncteurs de la catégorie des $\mathbf C$-espaces vectoriels, alors toute transformation naturelle de $F$ vers $G$ induit un morphisme de représentations $F(V_1, \ldots…
  • Après avoir un peu regardé la page wikipédia de la définition d'une transformation naturelle, je peux reformuler ma question ainsi :
    Soit $\mathcal C$ la catégorie des $\mathbf C$-espaces vectoriels de dimension-finie, et $\mat…
  • Hello, la condition donnée par Renart (à savoir : $E' \to F'$ injective) est vérifiée dès que $F \subset E$ est dense.
    C'est le cas pour les espaces de fonctions usuels.
  • @RLC : C'est une idée générale quand on regarde les racines d'un polynôme, de trouver un groupe qui agit dessus : on peut penser à la théorie de Galois.
    Ici, la con…
  • Je note $S$ l'ensemble des solutions de ta double équation.
    L'ensemble $S$ est invariant sous l'action de $z \mapsto 1-z$ (les deux équations sont échangées), et sous l'action de $z \mapsto \overline z$.
    De plus, $S$ est contenu dans les…
  • Bonjour, je vous remercie pour vos réponses.
    En cherchant un peu, j'ai trouvé qu'en notant $D=k \frac{d}{dk}$, on a :
    $$D^2 \cdot K= k^2 (D+1)^2 K.
    $$ Je faisais tout cela pour calculer $K\left ( \frac 1 {\sqrt 2} \right)$ avec la …
  • Hello, $P_{\alpha}$ est la projection sur l'espace $Vect(\Phi_{\alpha})$. Si c'est une projection orthogonale par rapport au produit scalaire de $L^2(\mathbf R^n)$, alors on peut l'exprimer par :
    $$P_{\alpha}g = \langle g, \Phi_{\alpha} \rangl…
    dans Projection Commentaire de nimajneb September 2021
  • Comme souvent pour les questions autour des intégrales dépendant d'un paramètre, la condition «être dérivable» est une condition locale, donc il suffit de travailler localement autour de $a$ pour éviter $-1$ et $1$.
  • C'est plus connu sous la forme : $$\sin(\theta)=\frac{2 t}{1+t^2} $$
    où $t$ est la tangente de l'angle moitié
  • Non je parlais juste du calcul avec $f$ en général
  • Intéressant.
    Je signale une autre manière de faire : on peut écrire $\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\mathrm d(\arctan (x))$ et conclure en posant $u=\arctan(x)$
  • Oui c'est très général comme principe, dans sa version la plus générale on peut dire que cela localise où le couple $(f,\widehat f)$ (avec $f$ une fonction d'un certain type : $L^2$, $L^1$, $L^\infty$ etc) ne peut pas être.

    D'ailleurs c'…
  • Pour montrer que $g \circ f$ donne l'identité sur les sous-groupes de $G$, il te suffit de montrer :
    $$\forall H < G, \qquad \bigcap_{\chi \in H^{\perp}} \ker(\chi)=H .
    $$ Or c'est justement l'énoncé de la proposition 2 que tu envoie…
  • Peux-tu vérifier les hypothèses du théorème de Banach-Steinhaus avec les opérateurs $(T_n)$ ? Qu'en déduis-tu ?
  • Que vaut $Uf_n$ ? Et que donne l'information : $\forall n, \, \langle Ux, Uf_n \rangle = 0$ ?
    dans Base de Hilbert Commentaire de nimajneb August 2021
  • Il faut utiliser le principe de l'arc moitié, c'est le même principe que la formule $1+e^{2i \theta} = e^{i \theta} (2\cos(\theta))$
    dans Une somme Commentaire de nimajneb August 2021
  • Que se passe-t-il si tu calcules $Uf_n$ ?
    dans Base de Hilbert Commentaire de nimajneb August 2021
  • Le centre de $t$ et $1-t$ est $\frac 1 2$.
    Le centre de $1+x$ et $1-x$ est $1$.
    Il te suffit de trouver un changement de variable convenable pour «recentrer»
  • Il faut transformer le $(-1)^n-e^{-2inb}$ pour coller à ta première expression
    dans Une somme Commentaire de nimajneb August 2021
  • Essaie avec $n=1$, $n=2$ ?
    Essaie d'utiliser les questions précédentes ?
  • Bonjour,
    à partir du moment où une distance $d$ est définie sur un ensemble $E$, on peut parler de la boule :
    $B(a,r)=\{x \in E\mid d(x,a)<r\}$. ($a$ est un centre de la boule, $r$ un rayon).

    En particulier, sur $\mathbb R…
  • Pas besoin de «dériver un déterminant» (j'imagine que tu pensais à la formule de la différentielle du déterminant avec la comatrice), il faut juste savoir que le déterminant est linéaire en la première colonne.
    On trouve $D'(x)=C(x_1,x_2)(x-x_…
    dans Déterminant Commentaire de nimajneb July 2021
  • Hello,
    $D'(x_1)=D(x_2)=D'(x_2)=D''(x_2)=0$, on en déduit $D'$ puis $D$ et enfin $D(x_1)$ (mais c'est identique à la preuve donnée plus haut)
    dans Déterminant Commentaire de nimajneb July 2021
  • Bonjour, pourquoi se restreindre aux sous-groupes de $GL_n(\mathbb K)$ ?

    Si $G$ est un groupe de Lie, alors l'ensemble des champs de vecteurs invariants à gauche (c'est-à-dire les $X$ champs de vecteurs sur $G$ vérifiant $dL_g . X…
  • Écrire $b=\frac{1}{4a} + \varepsilon$

    D'ailleurs, es-tu sûr que la transformée de Fourier de $x \mapsto e^{-ax^2}$ est bien $y \mapsto e^{-\frac{1}{4a}y^2}$ ?
  • On peut montrer plus simplement ce que tu as montré en utilisant Beurling, à savoir :
    $$\int_{\mathbb R^2} e^{-ax^2- \frac{1}{4a}y^2+|x||y|} \mathrm dx \mathrm dy=\infty.
    $$ Il suffit juste d'écrire :
    $$-ax^2 - \frac{1}{4a}y^2-|x|…
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