Réponses
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$N_2(P_k) \sim\sqrt \frac{1}{k+1}$
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Si la forme quadratique est $Q=ax^2+by^2+cz^2+2uxy+2vyz+2wxz$ alors dans la décomposition en carrés de Gauss les coefficients des carrés sont
du signe de $a, ab-u^2,a^3c-(av-uw)^2 (ab-u^2)$ Q étant définie positive ces coefficients sont strict… -
En faisant une décomposition en carrés de Gauss de la forme quadratique
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Ce n'est pas une double contradiction ,c'est montrer que si $\Sigma u_n$ converge alors $\Sigma a_n $ converge
et même si $(u_n)$ tend vers 0 alors $\Sigma a_n $ converge -
A partir de $a_n<\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{3}a_{n−1}$ ,on obtient $a_n\leq \frac {a_{n-1}}{2 }$ . cela suffit à conclure (comparaison à une série géométrique convergente )
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Si on cherche non pas y fonction de x, mais x fonction de y , on obtient une équation différentielle linéaire à coefficients constants .
En tout cas $y=ln(2x)$ est solution pour x positif -
$S_n=x \frac{(x^{2^{n+1}-1}-1)}{x^{2^{n+1}}-1}$
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le produit au dénominateur est $\frac{x^{2^{n+1}}-1}{x-1}$ et cela permet de calculer Sn par récurrence
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le couple $(a,a')$ est solution . si $(z,z')$ est solution, $ (jz,jz')$ et $(j^2z,j^2z')$ sont solutions .
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Pour le calcul de la développée puis calculer le centre de courbure en un point de la développée ,il vaut mieux travailler avec les vecteurs du repère de Frenet $(\overrightarrow{T},\overrightarrow{N})$ et l'abscisse curviligne ...
on obtien… -
mon calcul de R en gardant les coordonnées polaires .
malheureusement panne de scanner et ma photo n'est pas terrible
A partir de la relation de départ j'écrirais $dy=\frac{s}{4a} ds $ or $dy=sin(\phi) ds $
donc $s=4asin(\phi)$ $ds=4acos(\phi) d\phi$
de $dx=cos(\phi) ds$ et$ dy=sin(\phi ) ds $ en intégrant on obtient la cycloïde$x=\exp(-1/y^2)$On peut aussi montrer par la même méthode du produit de séries entières que le coefficient de $x^k$ dans le développement en série entière de $\dfrac{1}{(1-x^5)(1-x^2)(1-x)}$ est le nombre de triplets d'entiers $(p,q,r)$ tels que $5p+2q+r=k$Considérer le produit des séries entières de $\dfrac{1}{1-x^2}$ et de $\dfrac{1}{1-x}$penser au produit de 2 séries entières$E=M_m(C)$ donc de dimension finieje n'avais pas compris quelle était ta démarche ...la condition pour que la courbe d'équation $ f(x)=P(x) \exp(-x)$ soit tangente à la droite $Ox$ est que $P$ et $P'-P$ aient une racine commune d'où une première relation entre $A$ et $B $. Le point où la courbe est tangente à $Ox$ n'est pas…@LeVioloniste erreur de calcul
$f"(x)=f(-x) $poser $ u_n=\frac{1}{h_n}$A étant symétrique définie positive est le carré d'une matrice symétrique définie positive C .
$A^{-1} B=C^{-1} C^{-1}B $
$C A^{-1}B C^{-1}=C^{-1}B C^{-1}$ qui est symétrique réelle donc diagonalisable ,il en est donc de même de $A^{-1…pourquoi 3 dans ta formule ? c'est $3^2$ ,,, comme je l'ai écritM=(x,y,z) H son projeté orthogonal sur D .H=(a,a,a) avec OM.OH=0 soit 3a=x+y+z
enfin ||OH||=1/2 |OM|| donne le résultat
Epreuve pratique ENS 1984
Je l'avais posée à mes étudiants , le problème a été la musique , pas les maths ...Ou écrire $\det(I+tA)=\det_e(e_1+tv_1,e_2+tv_2,\ldots,e_n+tv_n)$, où la famille des $v_i$ est la famille des vecteurs colonnes de $A$, et utiliser la multilinéarité du déterminant.
On peut aussi dériver $(1+x)^n$ ,une fois ,deux fois ...puis prendre la valeur en 1$8x^4-8x^2-x+1=(x-1)(8x^2(x+1)-1)$
On vérifie que $8x^2(x+1)-1=0$ a une unique racine l entre -1 et 1
puis méthode analogue pour montrer que ni 1 ni l ne peuvent être limites de la suiteSi r est inférieur à R alors la suite $c_n r^n$ est bornée cela suffit pour conclure pour la première questionPour le changement de variable, j'avais commencé par poser $x=\cos(\theta)$ à cause du $\sqrt{(1-x^2)}$ et ensuite $t=\tan(\theta/2)$.On peut poser $x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
Alors $\displaystyle I=\int_0^1 \ln\Big(\frac{1-t^2}{1+t^2}\Big) dt$
En intégrant par parties $I=(t-1) \ln\Big(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big) \Big]_0^1+ J=J$,
où $J$ est l'intégrale d'une fraction rat…J'avais lu une fois dans une copie "la série est convergente d'après la CSCSA" il parait que cela voulait dire la "Condition Suffisante de Convergence des Séries Alternées"dans Démonstration critère des séries alternées Commentaire de lale May 2022
Poser $x=1+t^2$ et simplifierl'équation du cercle est $ x^2+y^2-2px+q=0$
si $q=mp+h$ c'est à dire si le point M appartient à la droite $y=mx+h$ alors le cercle appartient au faisceau des cercles $C_p$ d'équations
$x^2+y^2+h-p(2x-m)=0$ d'axe radical $x=m/2$
le…Par récurrence sur n en calculant $S_{n+1}-S_n$Après quelques calculs (que je n'ai pas mené au bout), le cas $p=0$ intervient alors $q=-1$
il est donc surprenant que dans la condition écrite plus haut, $p$ ne soit pas en facteur...Mais $f(2)=0$?J'ai cherché P sous la forme $ P(x) =x(x^2-4)^2 Q(x)$ où Q est pair.
Avec $ P(1)=1 $ et $P'(1)=0$ on obtient les valeurs de $Q(1)$ et $Q'(1)$ et en choisissant $Q$ pair et de degré 2 on obtient
$P=\frac{x}{54} (x^2-4)^2(x^2+5)$
…Il y a un polynôme de degré 7 qui convient, mais sans la notion de dérivation je ne sais pas comment on pourrait trouver la solution !
Bonjour!
