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  • Grand merci, noix de totos !
  • Exactement, si l'on ne dit pas que le point de contact est sur le grand axe, il y a une infinité d'ellipses possibles.
  • Très noble Sire Piteux de Gore,
    la solution générale est baillée, par exemple sur $\R_+^*$,  par $t\mapsto{\rm e}^{M\ln t}C$, où $M=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\7&-6&0\end{pmatrix}$. La suite est laissée aux manouvriers …
  • Bonjour, Vassilia,
    fichtre ! Je me doutais que les formules allaient être compliquées pour les foyers, mais pas à ce point !!! Comme c'est sans doute un logiciel de calcul formel qui a fait le calcul, il reste la possibilité qu'il soit passé à …
  • stjf : j'appelle théorie générale le socle commun des connaissances enseignées au lycée et dans les premières années d'enseignement supérieur. Pour ce qui concerne mon exo, les indications que j'ai données dans mon dernier message, ainsi que …
  • Par parenthèse : il me semble que les foyers de l'ellipse de Steiner inscrite s'appellent les points de Lucas du triangle ; en nombres complexes, ils ont pour affixes les zéros de la dérivée du polynôme de degré $3$ s'annulant en les trois so…


  • Bonjour, Stéphane,
    en attendant que le bébé grandisse, tu peux traiter l'exercice à sa place ; par exemple, dans le cas d'une ellipse, il s…
  • Bonjour, Stéphane,
    un cadeau pour le bébé : les six projections des foyers  d'une conique à centre sur les côtés d'un triangle inscrit sont cocycliques (une démonstration par la théorie générale est possible).

    dans Coniques inscrites dans un triangle Commentaire de john_john 24 May


  • Bonjour,
    comme on le voit, le triangle vert a un so…
  • J'ai rectifié le Morley supra, dans lequel quelques ${\rm j}$ s'étaient perdus ; alors, effectivement, le centre de gravité a pour affixe $g$ tel que

    $$3g(a-{\rm j}b)=v(a+b+c)(1-{\rm j})+(bc+{\rm j}ca+{\rm j}^2ab)$$

    Comm…
  • Bonjour, Timo,
    le dessin ne me paraît pas tout à fait clair : le point de contact semble appartenir à l'axe horizontal (de coordonnées issu du centre du cercle) ; est-ce le cas ?
  • pappus : siehe Abbildung est désormais plus sympathique et inoffensif  que Ausweis et que Feuer
  • (Message modifié).
    J'avais pensé à la même chose que gai requin mais je pense que cela ne doit pas être la bonne réponse : comme les rôles de $B$ et de $C$ sont permutables, le point $\Omega'$ devrait jouir de la même propriété. Or, dans la fig…


  • Bonjour à tous,
    Si $\Omega$ est à l'intersection de…
  • Bonjour à tous,
    je l'avais fait en Morley circonscrit : si $a,b,c$ sont les affixes des sommets du triangle initial inscrit dans le cercle unité, on choisit un complexe $v$ dont l'image appartienne à $(AB)$ et, pour un triangle équilatéral dire…
  • Le sujet de Centrale M1991, 2è épreuve, traitait de triangles équilatéraux inscrits dans des courbes de toute sorte (voir par exemple https://prepas.org/index.php?module=Sujets)
  • L'EDO est homogène en $y;y',y''$ ; on peut en abaisser l'ordre en posant $y'=zy$ et donc $y''=(z'+z^2)y$, d'où $2x(z^2+z')+z(1-xz)=0$, qui est une EDO de Bernoulli (pose $Z=1/z$).
    dans Paraboles Commentaire de john_john 22 May
  • Oui, l'axe orthique est la polaire triangulaire de l'orthocentre ! Pour résumer, le meilleur point de vue fut le tien : se référer à un triangle harpon puisqu'il règle aisément tous les cas particuliers (y compris celui d'une conique dégénérée, cara…
  • L'image cherchée devrait être l'axe orthique. What else ?
  • Avec les notations classiques pour le triangle $ATU$ ($A$ renommant $P$), c'est-à-dire qua $a$ est la longueur du côté $TU$, $\hat A$ l'angle en $A$, etc., la conique $(\gamma)$ passe par l'orthocentre $H$ de $PTU$ si, et seulement si, 
    $$2a'bc…
  • Bon ! Nous allons écrire qu'elle passe par l'orthocentre du triangle harpon.
  • Hélas, Piteux_gore, les MathSup, pas plus que les Spé, ne connaissent plus que les EDO linéaires ; et encore : seulement à l'ordre $1$ en Première année. Quant aux paraboles, je ne suis même pas sûr qu'il soit nécessaire de savoir les reconnaître au…
    dans Paraboles Commentaire de john_john 22 May


  • Bonjour à tous,
    pour avoir un cercle $(\gamma)$, no…


  • Parant de l'équation de $(\gamma)$, c'est-à-dire $2a'YZ-…
  • Plus répandue : ben oui, mais s'il y a à côté de cela un $\varepsilon$ qui tend vers $0$, faut-il l'appeler $\eta$ ?
    dans Paraboles Commentaire de john_john 21 May
  • Pour moi, la notation $\pm$ est ambiguë lorsqu'elle est utilisée plusieurs fois dans une formule ; je l'ai indexée pour dire qu'il y a deux valeurs pour chaque $\pm$ (et non pas égalité des deux valeurs, ce qui ne donnerait que la moitié des parabol…
    dans Paraboles Commentaire de john_john 21 May
  • Merci, Rescassol,
    pour résumer, le lieu de $N$ est une sextique et il était prévisible qu'elle soit rationnelle (unicursale) puisque les coordonnées de $U$ et de $C$ sont rationnelles (pour un paramétrage rationnel du cercle). 

  • J'allais citer aussi le principe de redérivation, mais P.2 l'a déjà fait ; il convient alors de justifier que toute solution est effectivement ${\rm C}^4$, ce qui est immédiat.

    Cette méthode est bonne lorsqu'une décomposition classique (c…
  • Bonjour  à tous,
    pappus : je n'avais pas répondu à ta question sur l'homologie puisque j'avais lu la prompte réponse de gai requin en même temps. Je te remercie de ta proposition de macro(s), mais, en fait, je les ai déjà toutes car je manipula…
  • Oui ; ce n'est pas trop dur : si $u$ est de rang $1$, on choisit une BON adaptée à l'image d'icelui, dans laquelle la matrice soit de la forme (description par colonnes) : $(\lambda C_1,0,0,...0)$, où $C_1$ est une colonne unitaire. De ce fait, $u$ …
    dans Somme d'isométries Commentaire de john_john 21 May
  • J'amende légèrement mon message d'hier : l'endomorphisme de $\R^2$ euclidien de matrice ${\rm Diag}(\lambda,0)$ correspond  à $\displaystyle z\mapsto\frac\lambda2(z+\overline z)$ et c'est donc plutôt $\lambda/2$ qu'il faut décomposer en somme de com…
    dans Somme d'isométries Commentaire de john_john 21 May
  • Effectivement, pappus : la construction du point $A:B:C$ se trouve dans mon livre, par l'intermédiaire de l'isotomie qui transforme la conique en la droite d'équation $AX+BY+CZ=0$. Cela dit, avec les outils de Géogébra qui incluent (sans nécessiter …
  • Bonsoir à tous,
    gerard0 : j'étais au lycée au même moment que toi, donc, et je n'ai pas eu l'impression de cette préoccupation de réciproque. Il est vrai toutefois que l'usage des points à l'infini était bien commode lorsqu'il s'agissait de com…
  • On doit pouvoir aussi procéder comme il suit : la décomposition polaire nous ramène au cas où $u$ est symétrique. Si dSP te dit que c'est faux pour $n=1$, crois-le sur parole dans Somme d'isométries Commentaire de john_john 20 May
  • Bonjour,
    oui, pour cette famille ; on peut la paramétrer par $t\in\R\mapsto(\pm_1t^2,\pm_2(Ct+D)^2)$ puis éliminer $C$ et $D$ entre $y,y'$ et $y''$. L'équation est homogène en la fonction inconnue car la famille est laissée stable par les homot…
    dans Paraboles Commentaire de john_john 20 May
  • Bonjour, pappus (et à tous),
    je n'avais pas, à l'époque, suivi la longue conversation sur les triangles harpons ; j'ignore en particulier ce que tu appelles le perspecteur de $(\gamma)$. S'agit-il du point fixe d'une homologie involutive…
  • Merci, Héhéhé ! Curieusement, wikipédia donne d'emblée un exemple de lieu qui n'en est pas un (l'épitrochoïde est une trajectoire et n'est définie qu'à rotation près). 
  • Bonjour, mav,
    au surplus, il me semble que, dans les ouvrages anciens,  il n'était même pas question de réciproque.
  • Merci à tous les deux !
    Soc : peut-être aussi s'agit-il d'un terme archaïque antérieur au terme d'ensemble (de même que les proba ont conservé une terminologie propre).
    JLT : impeccable ! pappus va-t-il proposer à présent une homogr…
  • Bonsoir, pappus,
    on trouve, sauf erreur, l'équation de $(\gamma)$ : 

    $$\lambda(-c'xy-b'xz+2a'yz)=0$$ et donc une matrice pas trop compliquée : 

    $$M=\frac{\lambda}2\begin{pmatrix}0&-c'&-b'\\-c'&0&2a'\\-b'&am…
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