Réponses
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Si l'on parle de fonction définies sur $\mathbb R^n$, on peut définir les choses par transformée de Fourier.
Si $f$ est, par exemple, dans la classe de Schwartz $\mathcal S(\mathbb R^d)$, et que la transformée de Fourier de… -
Bonjour kek,
Désolé, je n'ai pas le temps de regarder de manière détaillée, mais je pense qu'il n'y a pas de problème : pour faire vite, dès qu'une équation est linéaire, et qu'on a une suite qui converge pour une certaine norme d'espace… -
Salim,
Je suis également très surpris de ce que tu dis (pas du tout de TP d'info). Je suis moi-même prof en PCSI dans un lycée peu sélectif, où la plupart des élèves intègrent une école des CCP ou des E3A. Pourtant, il y a bien des TP d'… -
à remarque, à propos de ton message de 21:01: même si l'ensemble $\Omega$ est vraiment immonde, l'application $d(\,\cdot\,,\Omega)$ est toujours 1-lipshitzienne, me semble-t-il, non ?
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Un bon moyen d'essayer de démontrer ce genre de chose, c'est d'intégrer l'inégalité "Gronwall-linéaire", en considérant le terme non linéaire comme un second membre (indépendant de y). À partir de là, on peut parfois de nouveau Gronwaliser l'inégali…
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Cela dépend comment on voit la question l'EDP $\|\nabla f\|$ est très fortement non linéaire! Il n'est donc pas pertinent de se restreindre à des solutions de classe $C^1$. Néanmoins (réponse niveau prépas), le sujet 1998 ENS Lyon/Cachan MP fournit …
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Voici un type de solution assez général à cette équation : Si C est un ouvert à bord assez régulier (ou tout simplement une courbe), l'application $x\mapsto d(x,C)$ est une application vérifiant $\|\nabla f\|=1$ sur le complémentaire de C.
Le problème que je vois sur la structure d'espace vectoriel de l'ensemble des fonctions, c'est que:
- le seule élément neutre possible est la fonction nulle (définie sur tout l'ensemble de départ)
- si f n'est pas définie sur tout l'ense…Mes contre-exemples erronés (td) étaient dus à l'erreur que j'avais interprété l'hypothèse par celle qui dit $f(x)<x$... qui s'obtient peut-être par implication (à moins qu'il n'y ait même une erreur là-dedans), mais certainement pas par équival…Autre possibilité: $f(x)=\frac14({e^{-\alpha x}-1+\beta x})$ avec $0<\alpha<\beta<1$.Comme il y a la condition $f(0)=0$, les conditions ne peuvent être simultanément possibles que pour $x>0$. Je propose la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par
$$f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-1+x}{4}$$La condition s'écrit aussi $(\ln f)'(x)<1/x$, les deux autres conditions signifiant que $f$ est croissante et convexe...Par définition de la mesure $\alpha\mu+\nu$, c'est vrai lorsque $f$ est la fonction indicatrice d'un ensemble. Par linéarité, c'est vrai lorsque $f$ est étagée. Par densité, c'est vrai lorsque $f$ est mesurable bornée...Une suite (à bien choisir) qui tend vers 0 est majorée par 1 à partir d'un certain rang...Il faut utiliser que deux formes linéaires ayant même noyau (ou une inclusion d'un noyau dans l'autre) sont proportionnelles.Je suis rassuré...Oups !
C'est peut-être un peu plus subtil, car les ouverts à considérer recouvrent la diagonale de $K\times K$, c'est-à-dire les $(x,x)$ pour $x\in K$, mais pas forcément tout $K\times K$. Mais sur le complémentaire de ces ouvert (qui est comp…Coucou tout le monde,
Je propose de montrer que la fonction localement bornée $(x,y)\in K\times K\mapsto \frac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)}$ est globalement bornée...
- soit en raisonnant par l'absurde et en utilisant la compacité séquent…Victor-Emmanuel écrivait:
> Les courbes étant fermées, il existe un point de
> la courbe au moins en lequel la solution passe au
> moins deux fois (tiens, tiens, rigoureusement,
> comment montrer ça?)
Effectivement. En résumé, si $X$ a des points stationnaires sur la courbe de niveau, c'est perdu (il n'y aura pas de trajectoires périodiques dans le cas d'une courbe de niveau connexe). Si $X$ n'a pas de point stationnaires sur la courbe de niveau,…Bonjour,
L'exemple de Guego me paraît quand même singulier.
Pour la dernière question de Victor-Emmanuel, si jamais une trajectoire était strictement incluse dans une courbe de niveau (qui est une vraie courbe si F est à grad…Une simple à recherche sur google conduit à cette page.C'est sûr qu'il n'y en a pas tout court : tu peux chercher des contre-exemples avec des fonctions $f$ et $g$ chacune de la forme $\displaystyle\frac{1}{t^\alpha}$...Il me semble que, si $p\not=\infty$, ce n'est pas possible.... car $|f|^2\,|g|^2$ ne sera peut-être même pas $L^1_{\mathrm{loc}}$....Cela ne semble pas juste, vu que les deux membres n'ont pas le même degré d'homogénéité en $f$. Par ailleurs, pour mieux comprendre, ce serait mieux de noter avec des simples barres (c-a-d: $|f|$) la norme sur $\R^3$....Pas toujours... on ne peut pas définir en toute généralité un produit de distributions, et donc a fortiori un inverse.Bonjour Damien,
Effectivement l'existence d'une base de vecteurs propres est un résultat du cours seulement pour un opérateur compact. Mais si $A=\Delta$ (avec un condition de Dirichlet ou de Neumann au bord), et que l'ouvert $\Omega$ su…Connais-tu la transormée de Fourier (elle montre que oui dès que $\displaystyle\frac1{\hat f}\in \mathcal{S'}$) ?Je crois que le problème revient exactement à montrer que la fonction à valeurs dans $\mathcal{D}'$, $\Phi:h\in\R^*\mapsto \frac{\phi(h+y+\cdot)-\phi(y+\cdot)}{h}$ converge vers $\phi'(y+\cdot)$ lorsque $h\to0$, la convergence ayant lieu dans $\mat…J'ai encore dit une bêtise (je ne suis plus à cela près
) car le membre de gauche est $1$-homogène en $\lambda$
En …L'inégalité est bien invariante de part et d'autre en $u\mapsto\lambda u$ (les deux côtés sont homogènes de degré 0)
Si tu pensais davantage à $u(x)\mapsto u(\lambda\ x)$, on est sur le tore (c'est-à-dire qu'on travaille avec des fonctio…Pardon, il faut lire $\norme\|u\|_{\dot H^1}:=\|u'\|_{L^2}$ partout, au lieu de $\|u\|_{H^1}:=\sqrt{\|u\|_{L^2}^2+\|u'\|_{L^2}^2}$ (il s'agit de la norme Sobolev Homogène)
Mea culpa.
Plus précisément, à partir de l'énoncé original,…Et pourquoi pas ? Je n'ai pas vérifié si tu as fait une erreur de calcul, mais une telle estimation ne me paraît pas a priori extra-terrestre.Remarque: on peut voir mon découpage à $\sqrt{x}$ un peu comme du Césaro effectif... :)oJamais entendu parler. Peux-tu préciser davantage le contexte ? Autour de quelle EDP ce vocabulaire apparaît-il ?On a $(-i)^2=(-1\times i)^2=(-1)^2\times i^2$.Ayman, je t'avais pourtant mis mon poly en pièce-jointe sur ce fil-là ? L'as-tu consulté (j'ai fait référence au poly de Droniou explicitement a…C'est du poly de Jérôme Droniou dont je me suis inspiré pour faire le mien (donc on parle dans le fond de la même chose).
Sur le fond, il est extrêmement fréquent dans les articles de ne pas s'embêter sur la construction rigoureuse de $L…Il y a de l'idée, mais il serait pertinent de préciser de quelle dualité il s'agit (y compris si les "fonctions" sont à valeurs dans $\R$ ou dans $\R^3$). Par ailleurs (c'est très important), il faut préalablement vérifier que le produit $(f_i\cdot …Pour $n< 0$, on fait le même raisonnement avec $\big(q^{|n|}z^{-1}\big)^{|n|}$
Bonjour!