Réponses
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-D je vais te fournir les coordonnées de mon employeur (bon c'est l'État, j'avoue), car il n'a pas l'air d'être au courant. -
@durdur: après ne pas avoir dormi je vais en plus ne pas avoir une journée sereine si je ne boucle pas ce truc illico. D'abord $\varphi(x) = e^{x-1}$ donne un exemple…
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quel étourdi: pourquoi compliquer, il me suffisait de dire de prendre $\varphi(x) = \frac12(1+x)$ pour tous les $x$. Bon bref. Avec $x = e^t$, $\frac12(1+e^t)$ comme somme de fonctions $\log$-convexes en $t$ est $\log$-convexe en $t$. Donc $\log\var…
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c'est un complot pour m'empêcher de dormir?
Je pose $\varphi(x) = \sqrt{x^x}$ si $x>1$ et $\varphi(x) = \frac12… -
il y a un trou dans mes $g$: celles qui ne tendent pas vers l'infini mais ne restent pas bornées non plus. Là, je n'ai pas trop envie d'«investiguer», je ne suis pas sûr que l'énoncé reste vrai pour une fonction $g$ avec $\limsup g = +\infty$ et $\l…
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@durdur: il y a une coquille dans ton avant-dernier message, c'est $\varphi(x) \geqslant x^B$ pour $x>1$.
Bon, tu supposes donc $\varphi$ strictement cr… -
si ça marche pour un $B$ donné et tous les $C$ alors comme les matrices unitaires forment un groupe ça marche pour tous les couples. Ton indication te suggère de prendre $B = A^{+1/2}$.
[Edit: corrigé selon tes indications. Eric] -
clairement il faut exiger que $\varphi(x)>1$ pour $x$ suffisamment grand, sinon ça ne peut pas marcher, Par exemple posons $\varphi(x) = x^{- \frac1x}$ pour $x\geq e$ et $ = e^{-e^{-1}}$ sinon de sorte que $\log\varphi(x) = -\frac1x \log x$ a un …
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l'énoncé est étrange car $log x$ s'annule pour $x=1$, donc c'est comme si on ne s'attendait pas à avoir à considérer $\phi(f)$ pour $f\leq 1$, encore moins pour $f\to0$. Donc en fait je suppose que ce qui est demandé suppose $f = o(g)$ ET $g\to\inft…
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soit f définie par f(0) = -1 et f(x) = 1 pour tout x non nul. Alors f(f(x)) vaut toujours 1 et est donc croissante et f(f(f(x)) vaut toujours 1 et est donc décroissante. Par contre f n'est ni croissante ni décroissante.
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@gb: non, car si fof n'est pas supposée strictement croissante on ne peut pas conclure que f(x) < f(y) est exclu.
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raisonnement par l'absurde (mais moi je m'y prends sans doute mal, car pour le moment je dois supposer que fof est strictement croissante, ou que fofof est strictement décroissante)
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@jpnl: soit $h_N(x)=\sum_{n=2}^{N}\frac{e^{-(n-1)x}}{n^2-1}$. Pour tout $\epsilon>0$ donné et pour $N$ suffisamment grand, on a pour tout $x$, $h(x) - \epsilon \leq h…
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@chris93: bonjour et je demande l'indulgence pour la coquille dans mon texte il fallait lire $\langle Bx,z\rangle + \langle Bz,x\rangle = 0$ (la fin de la preuve repo…
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dans ce cas précis tu peux mettre un $e^{-x}$ de côté avec le $dx$. Du coup la convergence normale justifiera la permutation série intégrale puisque $\int_0^\infty e^{-x}\,dx < \infty$. Faut toujours garder à l'esprit non pas l'énoncé mais les pr…
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si $\langle Ax,x\rangle \in\mathbb R$ pour tout $x$, alors la partie anti-hermitienne $B = (A - A^*)/2$ de $A$ vérifie aussi $\langle Bx,x\rangle \in\mathbb R$ pour tout $x$. Mais $\langle Bx,x\rangle = -\langle x,Bx\rangle$ est imaginaire pur, donc…
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\begin{equation*} x_n = (n+\frac12) \coth\frac a2 - \frac{\mathop{\mathrm{sh}} a}{24(n+\frac12)} \left(1 - \frac{\mathop{\mathrm{sh}}^2(\frac a2) \big(11\mathop{\mathrm{ch}}^2(\frac a2) + 16\mathop{\mathrm{sh}}^2(\frac a2)\big)}{60(n+\frac12)^2}+ o…
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en fait la formule qui suggère peut-être la bonne façon de procéder pour plus de termes c'est \[ \frac12 - \delta = - \frac1{24}\frac{S'(1) - S'(0)}{S(1) - S(0)} + O\big((n+\tfrac12)^{-3}\big)\]
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En fait \[ x_n = n \coth\frac a2 + \frac12\coth\frac a2 - \frac{\mathop{\mathrm{sh}} a}{24(n+\frac12)} + O(n^{-3})\]
Le résultat ci-dessus est la conséquence de celui-ci: \[ \frac12 - \delta = \frac{\frac18{S''(\frac12)} - \frac1{12}({S'(1) -… -
@ev, incognito, zephir et al.: j'ai repris votre méthode de la somme de Riemann et j'obtiens: \[ x_n = n \coth\frac a2 + \frac12\coth\frac a2 - \frac{\mathop{\mathrm{sh}} …
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bravo JLT! pendant ce temps là j'essayais de faire mon apprenti Eisenstein en manipulant f au carré, mais bon... ça paraissait facile pourtant quand je l'ai lu il y a longtemps, et maintenant... il ne reste plus rien...
dans Cotangente hyper - bolide. Commentaire de gottfried0 December 2011 -
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bonsoir je dois rater un truc évident, mais comment voyez-vous que les racines du numérateur de la dérivée sont imaginaires pures? (je sens que je vais manger mon chapeau). Sinon, je crois que j'ai une preuve de la décroissance mais c'est un peu com…
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bonjour, la fonction $g$ vérifie exactement (si $f(0)=0$): $\int_0^1 g(x)dx = \frac12\int_0^1 f(x)dx$. En prenant $f$ déjà convexe par exemple, et pas identiquement nulle sur $[0,1[$, on voit donc que $g$ n'est pas (en général) la même chose que l…
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@JLT: la condition sur la dérivée tierce, issue de ton inégalité, est $f'''f' - \frac32(f'')^2\geq0$: c'est précisément dire que la dérivée Schwarzienne dans Monotonie dans S_n^+(E) Commentaire de gottfried0 December 2011
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@JLT: On sait donc que $f$ est de classe $C^1$, voici comment montrer que $f'$ est convexe, sans supposer que $f^{(3)}$ (ni même $f''$) n'existe. On s'y ramène par régula…
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@JLT: j'explique comment combiner ta méthode avec un résultat plus élémentaire pour prouver qu'une fonction $f$ vérifiant la condition donnée pour les matrices $2\times2$…il y a tout de même un lien avec la concavité: si $0<x<y$ l'inégalité revient à dire que le taux d'accroissement entre $0$ et $y-x$ est supérieur à celui entre $x$ et $x+(y-x) = y$. C'est vrai pour toute fonction concave: le taux d'accroisseme…@capesard: et qu'est-ce que je disais sur le fait que ce n'était pas «évident» sans les outils du calcul différentiel? (:P)@capesard: c'est très loin d'être «évident» sans les outils du calcul différentiel!@zephir: désolé je suis resté trop elliptique. Je pensais que ev qui a posé la question avait peut-être aussi la réponse, vu le titre du fil! (qui est au minimum proph…JLT a démontré le joli théorème suivant: si $A$ est une matrice $n\times n$ symétrique dont toutes les entrées $a_{ij}$ sont $\pm1$ alors elle ne peut être positive que si elle est de rang un: $a_{ij} = \epsilon_i \epsilon_j$ avec $\epsilon_j=\pm1$.…bonjour, pour $a\leq0$ on a \[ \frac1{n-x_n} \geq |a| + \sum_{k=1}^{2n} \frac1k\;,\] donc $x_n = n - O((\log n)^{-1})$, en particulier $n-x_n\to 0$. Et dans un deuxième temps \[\frac1{n-x_n} \leq |a| + \frac1{x_n-n+1} + \sum_{k=1}^{2n-1} \frac1k\] …la méthode de la dérivée permet de donner des formules de récurrence passant de $n$ à $n+1$ (tandis que multiplier par $e^x-1$ donne des récurrences dans l'autre sens). Ainsi je trouve (sauf erreur) $\displaystyle a_2 = (-1)^n (1+\frac12+\dotsb+\fra…bon je m'emballe peut-être. Sans doute Galois aurait eu l'idée de dériver en espérant que cela fasse passer de $n$ à $n+1$. Oui, on peut trouver le résultat ainsi. Mais on rate le lien avec Lagrange. Lui, Lagrange il a laissé un Théorème pour les mi…ah oui... mais quelle arnaque cet exo: on peut s'intéresser à la somme $\dfrac1{(e^x-1)^{n+1}}+\dfrac1{(e^x-1)^{n}}$. Que peut-on dire d'intéressant sur cette somme? (penser «dérivée»). En déduire une relation de récurrence entre deux $a_1$ successi…difficile donc de donner une indication comme $x=\log(1+y)$ en pensant que la personne qui n'a jamais vu l'inversion de Lagrange saura aller jusqu'au bout: il faut que je dise aussi de multiplier par $x'(y)$ et de s'imaginer alors faire un développe…
Bonjour!