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(Quote)dans Somme de variables aléatoires suivant une loi uniforme indépendantes Commentaire de girdav July 2023
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Les variables aléatoires $(S_j)_{j=1}^n$ ne sont pas indépendantes.Si $T(\omega)>n$, que peux-tu dire de $S_n(\omega)$ ? Et réciproquement ?dans Somme de variables aléatoires suivant une loi uniforme indépendantes Commentaire de girdav July 2023
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Bonjour,on peut calculer la fonction caractéristique et supposer que $\sigma_X=\sigma_Y=1$ (en remplaçant la variable par $t/(\sigma_X\sigma_Y)$). Le théorème de Funbini montre que la fonction caractéristique de $W$ est $t\map…dans Différence de deux variables aléatoires suivant une même loi du $\chi^2$. Commentaire de girdav June 2023BonjourVoici une approche alternative, sans utiliser de théorème de convergence. On pose $g=\lvert f\rvert^p$. Comme $g$ est positive et intégrable, on peut trouver un entier $N$ des sous-ensembles mesurables de $X$, disons $A_…On demande la fonction de répartition de $U_i$, pas de $M_n$.
Bonjour
Effectivement, sans le caractère bornée dans $\mathbb L^2$, je ne suis pas sûr que $Y_t$ soit forcément de carré intégrable. En prenant un processus de la forme $X_t=t^2\mathbf{1}_{\left]\frac 1{t+1},\frac 1t\right[}$ pour $t>0$…$N_n^2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathbf{1}_{A_i\cap A_j}$ dont l'espérance est $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathbb{P}(A_i\cap A_j)$ et l'espérance de $N_n$ est $\sum_{k=1}^n\mathbb P(A_k)$.
Tout d'abord, si $M:=\sum_{n=1}^\infty\mathbb P(A_n)<\infty$, on ne pourrait pas utiliser (a) pour $x$ tel que $x>M$. Ensuite Jensen dit seulement que $\mathbb E[N_n^2]/(\mathbb E\left[N_n\right]^2)\geqslant 1$. De plus, je ne vois pas la prov…Oui, l'hypothèse de la divergence de $\mathbb E[N_n]$ est nécessaire. Sinon, on ne pourrait pas déduire que $\mathbb E[N_n]/(\mathbb E[N_n]-x)$ tend vers $1$ et on ne serait même pas sûr de pouvoir trouver $n$ tel que $\mathbb E[N_n]>x$.
Pour la première égalité : on prend une suite $(\ell_k)$ telle que $\lim_{k\to\infty}\mathbb P[N_{\ell_k}<x]=\liminf_{n\to\infty}\mathbb P[N_n<x]$. Pour chaque entier $k$, $\mathbb P[N<x]\leqslant\mathbb P[N_{\ell_k}<x]$.Bonjour
On part de $\mathbb P[N<x]\leqslant \liminf_{n\to\infty}\frac{\mathbb E\left[N_n^2\right]-\mathbb E\left[N_n\right]^2}{(\mathbb E\left[N_n\right]-x)^2}$. Comme $\mathbb E\left[N_n\right]\to \infty$, on a$\limin…Pour chaque entier $k$, on peut trouver $R_k>R_{k-1}$ tel que $\mathbb P(\lvert X\vert\geqslant R_k)\leqslant 1/k$. De plus, pour chaque $k$, on peut trouver $N_k$ tel que pour $n\geqslant N_k$, $\left\lvert \mathbb P(-R_k<X_n<R_k)- \m…@Positif Certes mais ensuite comment passer de $\mathbf{Pr} ( | X - k/n | > a | X_n = \frac{k}{n} )$ à $\mathbf{Pr} ( | X - k/n | > a)$ sans indépendance ?@posix968 Dans l'étape $$\mathbb P\left(\left\lvert X-\frac kn\right\rvert,X_n=\frac kn\right)=\mathbb P\left(\left\lvert X-\frac kn\right\rvert\right)\mathbb P\left…(Quote) Cette égalité est vraie si $X$ est indépendante de $X_n$.
Bonjour
Sans contexte, ce sera difficile de répondre. Pouvez-vous nous dire où vous avez rencontré cette notion ?Bonjour
Pour pouvoir déterminer si une suite de variables aléatoires $(X_n)$ est convergente en probabilité, il faudrait dans un premier temps déjà pouvoir être en mesure de dire quelque chose sur le caractère Cauchy en probabilité et donc…Bonjour
Il suffit de montrer que pour tous $\epsilon_1,\dots,\epsilon_n\in\{0,1\}$, $\mathbb P\left(\bigcap_{i=1}^n\{Y_i=\epsilon_i\}\right)=2^{-n}$. Pour cela, on remarque que$\mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^n\{Y_i=\epsilon_i\}\…Bonjour
Le Lemme 4.6.5 dans le livre de Bogachev https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-34514-5 peut être utile.Vous vous doutez que l'on ne fera pas l'exercice à votre place. Quelle est votre question exactement ?
Bonjour
Si vous cherchez à établir que pour tout $x\in\mathbb R^2$ fixé, $\left(X_n(x)\right)_{n\geqslant 1}$ converge, alors la convergence de $(K_n(x,x,))$ suffit par le résultat mentionné par Fulgrim.Si on veut établir…dans Suite de champs gaussiens et suite de fonctions de corrélations Commentaire de girdav January 2023Salut,
Si je comprends bien, tu as montré que $E[f(X_1,X_2)\mid U_n]=U_n$ et tu voudrais montrer que $\mathbb E[f(X_1,X_2)\mid \mathcal F_n]=U_n$. Soit $\mathcal F_{n}^m$ la tribu engendrée par les variables aléatoires $U_n,\dots,U_m$. A…Bonjour Steevy,
Est-ce que tu peux écrire explicitement (avec une formule) le processus que tu veux étudier, ainsi que le type de transformation recherchée ?Ah oui, c'est l'interprétation que je cherchais. Merci.
C'est une bonne initiative de mettre un peu d'animation dans la partie probas du forum.Oui effectivement il manquait un carré.
Je n'y ai pas beaucoup réfléchi, mais j'imagine qu'il doit y avoir une interprétation géométrique de ce résultat.On peut utiliser les fonctions caractéristiques.
Lemme. Si $N$ est de loi normale centrée réduite et $Y$ une variable aléatoire indépendante de $N$, alors la fonction caractéristique de $N\cdot Y$ est la fonction $t\mapsto \mathbb E\left…Bonjour,
Est-ce que tu as essayé de traiter le cas $n=2$ ? De procéder par récurrence ?Bonjour,
En fait le membre de droite de l'équation où $B-S(x)$ intervient n'est pas imaginaire. La somme est prise sur les $n\in\mathbb Z$ non nuls (il faut étendre la notation $\varepsilon_n$ aux $n$ négatifs par $\varepsilon_{-n}:=\var…Je t'en prie Zazou ! Oui je voulais dire $\alpha\geqslant 3/2$ (je devrais poster à des heures plus raisonnables).1) En fait avec cette définition il est plus facile de montrer la stabilité par passage au complémentaire.
2) Effectivement, si on se restreint dès le départ aux boréliens de $[-R,R]$, on n'a pas besoin de $n_0$.
En revanche…Bonjour,
Si $\alpha\geqslant 3/2$, on peut démontrer que $Y_n:=\int_{2^{-n}}^{2^{-n+1}}\lvert B_s\rvert s^{-\alpha}ds$ ne converge pas presque sûrement vers $0$. En fait, $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ ne converge même en probabilité vers $0$. E…Ah je crois que j'ai oublié de dire dans le premier message que l'on travaille dans $[-R,R]$ au lieu de la droite réelle entière (pour être sûr que tout soit de mesure finie). On peut voir que $\mathcal S$ contient les fermés de la manière suivante …"1) Es-tu sûr que c'est l'union pour k>=n0? N'est-ce pas k<=n0? ".
En effet, j'ai corrigé. J'ai également ajouté des détails.lechat 1958 : j'imagine que tu as démontré que $\mathcal S$ est stable par union finie. Voici comment montrer la stabilité par union dénombrable. Si $A_n, n\geqslant 1$ sont des éléments de $\mathcal S$ et $\varepsilon>0$ est fixé, soient pour ch…Bonjour,
on peut démontrer que la collection $\mathcal S$ des sous-ensembles de $\mathbb R$ définie par
$$
\mathcal S=\{A\subset \mathbb R\mid \forall \varepsilon >0,\ \exists F_{\varepsilon}\mbox{ fermé et }O_\varepsilon \mbox…Bonjour Mehdi,
Est-ce que tu as tenté quelque chose ? Par exemple, le cas où $X_n$ est déterministe ?
De plus, il faut préciser ce que tu entends par une convergence presque sûre d'ensembles. On peut formaliser le concept de …Bonjour Estelle,
Afin de pouvoir appliquer le théorème de Fubini à $\rho$ fixé, on doit démontrer que
$$
\int_{[0,1]^d}\sum_{n\geqslant 0}\left\lvert \rho^n\left(\varphi_{\varepsilon_1}(x)\right)^n\right\rvert dx<\infty.Si je me souviens bien, c'est fait dans
M. J. Wichura. Inequalities with applications to the weak convergence of random pro-cesses with multi-dimensional time parameters.Ann. Math. Statist., 40:681–687, 1969Bonjour,
Oui la normalisation par $n$ va marcher. Le processus limite va être un drap brownien standard, c'est-à-dire un processus gaussien tel que $\operatorname{Cov}\left(G(t_1,t_2),G(t'_1,t'_2)\right)=\min\{t_1,t'_1\}\min\{t_2,t'_2\}$…
Bonjour!