Réponses
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Bonjour,
Comment montrer simplement que toute distribution de support $\{0\}$ est une combinaison linéaire de Dirac et ses dérivées ?
Merci beaucoup.
[Restons dans la discussion déjà initiée sur le sujet. Greg] -
Bonjour,
On cherche le support de la distribution $T$ qui vérifie l'équation $xT=0$ et je vois que le support de $T$ est $\{0\}$. En général, on regarde les x pour lesquels $\varphi$ font que $T$ n'est pas nulle, et on montre que le complémen… -
Tous les termes sont nuls sauf celui de $m=n$ ce qui nous donne que
$$\langle x^n \delta^{(m)},\varphi\rangle = (-1)^m C_m^m m (m-1)...1 \varphi(0)$$
c'est le bon résultat? -
$ x^0=1$ et sa dérivée est 0. Mais je ne comprend toujours pas où ca nous mène, merci de m'en dire plus.
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Voici ce que j'ai fait:
$\langle x^n \delta^{(m)},\varphi\rangle = (-1)^m \langle \delta , \sum_{k=0}^n C_k^m n(n-1)...(,-(k-1)) x^{n-k} \varphi^{(n-k)}\rangle$
et si $n=0,$^alors $\langle x^n \delta^{(m)},\varphi \rangle = (-1)^m \langl… -
Merci d'avoir essayer.
Est-ce que quelqu'un peut m'aider à voir ce que nous donne:
$$\langle x^n \delta^{(m)},\varphi \rangle = (-1)^m \langle \delta,\sum_{k=0}^m C_k^m (x^n)^k \varphi^{(m-k)} \rangle$$?
Depuis hier je mélange tout… -
$x^0 \varphi = C^1_k \varphi^{(1-k)}$
et voici comment je vois les choses.
1- Si $m=n$, on a
$$\dfrac{d^m}{dx^m} (x^n \varphi) = \sum_{k=0}^n C_k^n (x^n)^{(k)} \varphi^{(n-k)}$$
2- Si $m<n$, on a
$$\dfrac{d^m}{dx^m} … -
C'est fait, avec toutes mes excuses.
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Cas 1: $m=1, n=0$:
$$\dfrac{d}{dx}(x^0 \varphi)= \sum_{k=0}^1 C_k^1 \varphi^{(1-k)} = C_0^1 \varphi' + C_1^1 \varphi$$
Cas $m=0, n=1$
$$x^n \varphi = C^0_k x^{(k)} \varphi^{(-k)}$$
Cas $m=1=n=1$
$$\dfrac{d}{dx}(x\varphi… -
Pour résoudre l'équation $(xT)'=0$, on voit qu'elle s'écrit sous la forme $xT=c$ avec $c$ un réel quelconque.
1- Solution générale de l'équation homogène $xT=0$. Là, tout est une question de support, comment justifier le fait que support de T… -
Si on commence par résoudre l'équation $xT=0$. pourquoi il est clair que le support de T est inclus dans $\{0\}$?
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Bon alors, on écrit:
$$\langle x^n \delta^{(m)},\varphi\rangle = (-1)^m \langle \delta, \sum_{k=0}^n C^m_k n(n-1)...(n-(k-1)) x^{n-k} \varphi^{(m-k)}(x) \rangle = 0$$
Est-ce que c'est bien écrit? Sinon, comment arranger? Je vous prie. -
C'est ce que je ne comprend pas. Pour $m < n$, on calcule normalement, et pour $m >n,$ alors c'est zéro. Mais je ne sais pas si on arrête la somme à n ou m, et si on écrit $C^m_k$ ou $C^k$, c'est ce que je n'arrive pas à comprendre. Merci beau…
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Donc, pour résoudre l'équation $(xT)'=0$ dans $D'(\R)$. Cette équation est équivalente à $xt=c$ avec $c$ un réel quelconque.
On peut considérer les deux cas: $x=0$ et $x \neq 0$.
Si $x=0$ l'équation s'écrit 0=c, ca n'a pas trop de sens p… -
puisque c'est une forme linéaire, on ne peut pas écrire $2T$ par exemple? Pourquoi?
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$$\dfrac {d^m}{d x^m}(x^n \varphi)= \sum_{k=0}^m C_k^m (x^n)^{(k)} \varphi^{(m-k)}$$
et on sait que si $k > n$, alors $(x^n)^{(k)}=0$, ce qui est équivalent au cas où $m > n$, et dans le cas où $k<n$, ce qui est équivalent au cas $m&l… -
J'ai modifié, et merci beaucoup.
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Pour le calcul de $\dfrac{d^k}{dx^k} (x^n)$, on a:
si $k=1$: $(x^n)'=n x^{n-1}$,
si $k=2$: $(x^n)''= n(n-1)x^{n-2}$
si $k=n$: $(x^n)^k= n(n-1)(n-2)...(n-(k-1))$
si $k>n$: $(x^n)^k=0$.
On conclut qu'en général, on aJ'ai fait tous les calculs à mon post de 10:45 hier, et il me manque un dernier détail qui m'empêche de finir le calcul correctement. Celui qui veut m'aider, pouvez vous regarder mon poste d'"hier 10:45, et merci beaucoup par avance.une piste? Merci beaucoupJe n'ai pas trop compris. Ma question est comment écrire cette somme correctement? à partir de la formule obtenue dans mon avant dernier post. Merci beaucoup.Pour la question 1:
Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$. On a:
$\langle x^n \delta^{(m)},\varphi \rangle = \langle \delta^{(m)},x^n \varphi\rangle = (-1)^m \langle \delta,\dfrac{d^m}{d x^m}(x^n \varphi)\rangle$.
Calculons $\dfrac{d^…C'est fait.1- Qu'est-ce qui ne va pas dans la réponse que j'ai proposée à la question 1 ?
2- Si $n=0$ et $m=1$ dans l'équation $x^n \delta^{(m)}$, alors on retrouve l'équation $\delta = 0$, ce qui veut dire que $\delta$ et une des solutions de l'équation…Non, c'est ok. C'était pour être sûre.
gustav comment tu as vu directement que c'est "la" solution élémentaire? Merci beaucoup.Alors même si on fait un changement de variables, on garde $\dfrac{\partial}{\partial y}$ et $\dfrac{\partial}{\partial x}$?Bonsoir,
j'ai réglé le problème de signe, mais j'ai quelques questions. Après le changement de variable, on obtient que
$$\langle T,\varphi \rangle = \displaystyle\int_0^{+\infty} [\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (t,t) + \dfrac{\par…gustav, comment tu as deviné que c'est $2 \delta$ qu'il faut trouver, sans faire de calculs?gustav, comment as-tu su le résultat sans avoir fait le calcul? Merci beaucoup.oui, justement, c'est après que je me suis rendu conte qu'il y'a un moins en plus, mais je repète les calculs et je ne vois pas où le problème. Où est le problème?Ok, j'étais tellement déçue de vous décevoir remarque que j'ai dédoublé ma concentration et j'ai fait le vide en oubliant toutes les autres propositions. $h$ est bien évidemment la direction de la dérivée. Alors voilà ce que je viens de rédiger.
La misère est que je ne retrouve pas mon cours sur le sujet, et sur le net, en cherchant dérivée d'une fonction composée, je n'ai rien trouvé d'autres... (j'avais déjà en tête la dérivée composée, mais j'ai oublié ces histoires de h). Pouvez vous m'…On note $\theta(t)=\varphi(t,-t)= (\varphi \circ w)(t)$ avec $w(t)=(t,-t)$, et $\varphi: \R^2 \to \R$, $(x,y) \to \varphi(x,y)$.
On a $$\theta'(t)= d\varphi(w(t)) w'(t)$$ Comme $\varphi$ est une fonction à deux variables réelle, on a $$d \varp…Alors $\theta(t)=\varphi(t,-t)$ implique $\theta'(t)=\varphi'(t,-t)$
et $\varphi(t,-t)= (f \circ w)(t)$ implique $\varphi'(t,-t)= w'(t) f'(w(t))$
en conclusion, $\theta(t)=w'(t) f'(w(t))$ Après ca, je ne sais pas comment faireDonc, $\varphi'(x,-x)=\partial_x \varphi + \partial_y \varphi$, je suis un peu perduegustav, pourquoi $(\partial_x - \partial_y) \varphi = \varphi'$?lydioa7 c'est ce que j'ai fait, mais au lieu de le noter $w$ comme tu le proposes, je l'ai noté $\theta$. Je ne comprend pas ce qui ne va pas.Alors,
$\partial_y \theta(x)= \partial_y [(f \circ \varphi)(x,-x)] = \partial_y \varphi(x,-x) \partial_r f[\varphi(x,-x)]$
et $\partial_y f = -1$, donc $\partial_y \theta(x)= - \partial_y \varphi(x,-x)$
mais en fait ca revient au m…$\partial_x \varphi(x,-x)=\theta'(x)$ et $\partial_y \varphi(x,-x)=\partial_y \theta(x)=0$.Pardon pour les erreurs de signe, je les ai corrigé. Où a-t-il été traité? Quel post ? Je vous prie.
Bonjour!