Réponses
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Major aussi aux ENS de Lyon et de Cachan. A Ulm, l'oral spécifique de Mathématiques a un poids tellement disproportionné que les premières places en deviennent assez aléatoires.
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J'ai l'édition de 1976 sous les yeux et je peux confirmer l'erreur.
En fait, il démarre comme dans la preuve classique "abstraite", autrement dit il part de la relation.
${}^t Com(M-XI) *(M-XI)=det(M-XI).I_n$. Ensuite, bizarrement<… -
Réponse à H : utiliser $t^k=t$ pour tout $t \in \{0,1\}$ et tout entier $k \geq 1$.
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Comme je l'ai expliqué dans le message précédent, ton énoncé modifié
est incorrect sans hypothèse supplémentaire (voir mon contre-exemple avec $n=2$ et $N=3$). -
Attention, l'équivalence n'est vraie que pour des algèbres commutatives !
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Pour la deuxième question, une condition nécessaire
est que toute combinaison linéaire des $A_i$ soit diagonalisable.
Malheureusement, cette condition n'est pas suffisante en général.
Elle l'est en revanche pour $n=2$ ou pour $p=\f… -
Si j'ose mettre mon petit grain de sel, la caractérisation des matrices réelles symétriques positifs par l'existence d'une décomposition ${}^tAA$ peut faire l'économie du théorème spectral : pour l'implication non triviale, le procédé de Gauss (ou, …
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Les deux exemples donnés relèvent de la même théorie : celle des algèbres de quaternions.
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Raymond, il y a encore mieux :
toute matrice carrée est combinaison linéaire de trois matrices de projecteurs.
Voir mon article :
http://arxiv.org/pdf/0907.4949.pdf… -
J'ai déjà expliqué la démonstration dans un numéro du bulletin de l'UPS
(dont je n'ai pas la référence à portée de main).
Je signale au passage que figure dans mon livre sur les formes quadratiques
une adaptation de la méthode à la… -
afk : il n'est pas exact que si $\alpha$ est générateur de $\mathbb{F}_q^*$, alors
la famille $(\sigma^k(\alpha))_{0 \leq k \leq n-1}$ est automatiquement une base de $\mathbb{F}_q$
sur $\mathbb{F}_p$.
Par exemple, si $p=2$ … -
Greg, si $A/I$ possède un base, alors on prend un élément quelconque $x$ de cette base
et alors $a \mapsto ax$ (de $A$ dans $A/I$) devrait être injective, contradiction. -
Bon, maintenant que nous avons un contre-exemple, nous pouvons nous concentrer sur le vrai théorème ;-) :
Soit $G$ un sous-groupe de $(M_n(C),+)$.
(a) Montrer que si $\exp(M)=I_n$ pour tout $M \in G$, alors les éléments de $G$ sont… -
Au temps pour moi, cela fonctionne effectivement.
Bravo ! -
Bel exercice. Voici des indications pour le résoudre.
(1) L'hypothèse effectuée assure que $A$ commute avec $\exp(B)$.
Se ramener alors (récurrence sur la taille des matrices) au cas
où $\exp(B)$ est scalaire.
(2)… -
(Quote)
Je le sais bien, et en suis désolé, mais ce n'est plus de mon ressort... -
"On" me signale que la moyenne de la valeur absolue du cosinus
sur une période n'est pas $\frac{1}{2}$ (j'ai bien sûr confondu avec le carré) mais
$\frac{2}{\pi}$, ce qui est encore mieux. On peut donc améliorer
l'inégalité demandé… -
En voilà un bel exo.
Cela revient à prouver qu'étant donné des réels
$a_1,...,a_n$ tous positifs et des réels $\theta_1,...,\theta_n$,
la fonction $t \mapsto \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k |\cos(t-\theta_k)|$
a un… -
N'y aurait-il pas un lien entre les sous-espaces propres de R et ceux de H ?
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Quels sont les sous-espaces propres de R ?
Bonjour!