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  • Major aussi aux ENS de Lyon et de Cachan. A Ulm, l'oral spécifique de Mathématiques a un poids tellement disproportionné que les premières places en deviennent assez aléatoires.
  • J'ai l'édition de 1976 sous les yeux et je peux confirmer l'erreur.

    En fait, il démarre comme dans la preuve classique "abstraite", autrement dit il part de la relation.
    ${}^t Com(M-XI) *(M-XI)=det(M-XI).I_n$. Ensuite, bizarrement<…
  • Réponse à H : utiliser $t^k=t$ pour tout $t \in \{0,1\}$ et tout entier $k \geq 1$.
  • Comme je l'ai expliqué dans le message précédent, ton énoncé modifié
    est incorrect sans hypothèse supplémentaire (voir mon contre-exemple avec $n=2$ et $N=3$).
  • Attention, l'équivalence n'est vraie que pour des algèbres commutatives !
  • Pour la deuxième question, une condition nécessaire
    est que toute combinaison linéaire des $A_i$ soit diagonalisable.
    Malheureusement, cette condition n'est pas suffisante en général.
    Elle l'est en revanche pour $n=2$ ou pour $p=\f…
  • Si j'ose mettre mon petit grain de sel, la caractérisation des matrices réelles symétriques positifs par l'existence d'une décomposition ${}^tAA$ peut faire l'économie du théorème spectral : pour l'implication non triviale, le procédé de Gauss (ou, …
  • Les deux exemples donnés relèvent de la même théorie : celle des algèbres de quaternions.
  • Raymond, il y a encore mieux :
    toute matrice carrée est combinaison linéaire de trois matrices de projecteurs.

    Voir mon article :
    http://arxiv.org/pdf/0907.4949.pdf
  • J'ai déjà expliqué la démonstration dans un numéro du bulletin de l'UPS
    (dont je n'ai pas la référence à portée de main).
    Je signale au passage que figure dans mon livre sur les formes quadratiques
    une adaptation de la méthode à la…
    dans applications Commentaire de dSPautaf June 2012
  • afk : il n'est pas exact que si $\alpha$ est générateur de $\mathbb{F}_q^*$, alors
    la famille $(\sigma^k(\alpha))_{0 \leq k \leq n-1}$ est automatiquement une base de $\mathbb{F}_q$
    sur $\mathbb{F}_p$.

    Par exemple, si $p=2$ …
  • Greg, si $A/I$ possède un base, alors on prend un élément quelconque $x$ de cette base
    et alors $a \mapsto ax$ (de $A$ dans $A/I$) devrait être injective, contradiction.
  • Bon, maintenant que nous avons un contre-exemple, nous pouvons nous concentrer sur le vrai théorème ;-) :

    Soit $G$ un sous-groupe de $(M_n(C),+)$.
    (a) Montrer que si $\exp(M)=I_n$ pour tout $M \in G$, alors les éléments de $G$ sont…
    dans Trigonalisation Commentaire de dSPautaf November 2010
  • Au temps pour moi, cela fonctionne effectivement.
    Bravo !
    dans Trigonalisation Commentaire de dSPautaf November 2010
  • Bel exercice. Voici des indications pour le résoudre.

    (1) L'hypothèse effectuée assure que $A$ commute avec $\exp(B)$.
    Se ramener alors (récurrence sur la taille des matrices) au cas
    où $\exp(B)$ est scalaire.

    (2)…
    dans Trigonalisation Commentaire de dSPautaf November 2010
  • (Quote)
    Je le sais bien, et en suis désolé, mais ce n'est plus de mon ressort...
  • "On" me signale que la moyenne de la valeur absolue du cosinus
    sur une période n'est pas $\frac{1}{2}$ (j'ai bien sûr confondu avec le carré) mais
    $\frac{2}{\pi}$, ce qui est encore mieux. On peut donc améliorer
    l'inégalité demandé…
  • En voilà un bel exo.

    Cela revient à prouver qu'étant donné des réels
    $a_1,...,a_n$ tous positifs et des réels $\theta_1,...,\theta_n$,
    la fonction $t \mapsto \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k |\cos(t-\theta_k)|$
    a un…
  • N'y aurait-il pas un lien entre les sous-espaces propres de R et ceux de H ?
  • Quels sont les sous-espaces propres de R ?
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Bonjour!

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