Réponses
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@gebrane : Je pense sans trop me mouiller, que \[\forall x\in [-4,0], \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2 \binom{2n}{n}} = 2\text{argsh}\left(\frac{\sqrt{-x}}{2}…C'est surtout surprenant que ce ne soit pas plus connu !
À l'oral de Polytechnique, comme aux ENS, il n'est pas rare que l'ultime exercice serve uniquement à inciter au dialogue entre le candidat et l'examinateur.Ici, un candidat qui commencerait par dire qu'il espère prouver que les solutions …Pour égayer un peu votre soirée, je propose de généraliser un peu l'exercice précédent.
On note $D$ l'ensemble des suites décroissantes de réels strictement positifs dont le premier terme est $1$.
Pour $x\in D$ et un réel $p$ stricte…La subtilité est tout de même toute relative... Je n'avais pas bien les yeux en face des trous pour ne pas avoir vu que la fonction $S$ est minorée par $1$.
Moi je sais, m'sieur... les fonctions constantes.
Bon y'en a p'têt d'autres.
@LOU16 : Bravo !Je ne vois pas à quel moment l'hypothèse de décroissance des suites $x$ de $\mathcal S$ est utilisée.Est-ce pour justifier qu…Il s'agit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz associée à CE produit scalaire.Si tu essaies d'appliquer une autre inégalité de Cauchy-Schwarz, ça ne fonctionnera pas.Je redis la même chose que @bd2017, mais différemment.Les fonctions $f_i$ dont tu as besoin sont toutes égales à la même fonction qui est la fonction i…Pour la question 2, si la série de terme général $u_n$ converge alors, d'après 1), $a_n$ tend vers 0 et on peut alors écrire que $a_n=o(u_n)$, ce qui permet de conclure que la série de terme général $a_n$ converge également et donc de répondre à la …Quand on veut donner un contre-exemple, on doit le faire de façon explicite pour deux raisons : la première, c'est que c'est souvent bien plus simple de donner UN exemple que de les donner TOUS, et la deuxième, c'est que très souvent, en voulan…@lourran : C'est ce que j'ai fait... Le problème, c'est qu'il est tout-à-fait possible de dépasser largement $16$ sans passer par $16$.
Encore une fois,Dans le cas énoncé au départ, il faudrait modifier la définition de $T$ en $\inf\left(\{n\leq 8, T_n \in\{0,16\}\}\cup \{8\}\right)$ si j'ai bien compris ce que tu voulais dire.Ensuite, on peut tout calculer à la mai…Je suppose que tu voulais dire $\delta_{-2}$ et non $\delta-2$, @Gabriel_04 .Il me semble qu'il y a alors un problème de définition de $T$ car la p…Tu as fait une erreur en recopiant les formules de tes fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ dans tes fonctions Python : tu as mis un signe $-$ devant les deux dernières et pas devant la première alors que ce devrait être le contraire.
@mdc2 : Pour mieux comprendre ce que tu appelles les "clusters" et comment je les raccorde entre eux, je t'invite à LIRE le pdf fourni dans le post initial, en part…Je suppose que dans la suite de la preuve du théorème 3.1, l'auteur a besoin d'utiliser le fait que ces "constantes" $a(\lambda)$ et $b(\lambda)$ dépendent de $\lambda$, ce qui n'était pas évident dans la notation utilisée dans le lemme 2.2.
J'ai finalement trouvé un moyen détourné.J'ai constaté que la recherche de solutions "contraintes" était fortement dépendante de la case choisie comme point de départ : dans certains cas, on trouve une solution avec très peu de backt…La série $\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}$ est absolument convergente dans le $\Q$-espace vectoriel normé $(\Q, |...|)$ mais pas convergente.
On peut aussi dire que $\{k+ln, l\in\Z\}$ est l'écriture in extenso (ou en extension) de l'ensemble, décrivant un par un la totalité des éléments de l'ensemble, tandis que $\{x, \exists l\in\Z, x=k+ln\}$ est une écriture en compréhension qui …Mince, me voilà démasqué !
Joli contre-exemple ! 👍
Pour tout $x_0\in\R$ et tout $x\neq x_0$, on peut commencer par écrire que pour tout $N\in\N$ : \[\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\geq \sum_{n=0}^{N}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\] car tous les taux d'…Je suis tombé encore sur deux cas dans chaque situation, suivant que $\alpha$ est plus grand ou plus petit que $\beta$... Est-ce qu'il faut continuer ou bien ça fait déjà trop de cas ?
Je n'ai pas encore la solution mais je dirais qu'il y a au moins deux cas suivant que $a$ et $b$ sont colinéaires ou non.
Une autre façon de prouver le résultat demandé est de récrire la fonction $f$ sous la forme : \[f:(x,y)\mapsto \frac{1}{2}\left(3x^2+y^2-1+|x^2+y^2-1|\right)\], ce qui permet de conclure qu'elle est continue comme somme et composée de fonctions cont…Par ailleurs, puisque l'équation est très simple et le nombre de cas à tester très faible, un minimum de programmation te donne la bonne réponse.def test(base: int) -> li…
Non, ce n'est pas correct (au minimum, ce n'est suffisamment détaillé pour savoir si ton raisonnement est correct ou non).Comment as-tu obtenu ces résultats ?Sais-tu que les objets de l'ensemble $\mathbb{Z} / 34\mathbb{Z}$ ne s…La première est plutôt réservée aux familles sommables tandis que la deuxième relève plutôt de la sommation des séries... mais ici, cela ne colle pas car il s'agit d'une somme double.
Cependant comme c'est une somme de réels positifs, on se fic…Je reviens faire une intervention concernant le "hors programme" en classe prépa, ainsi que la "reproduction de la catégorie socio-professionnelle".Les programmes officiels sont censés encadrer ce qui doit être…Je pense qu'une animation Geogebra convaincra la plupart des élèves.
Si en plus, on peut faire varier le rapport $R/r$, tu obtiens suffisamment d'attention et de conviction.
Est-ce volontaire d'avoir exclu $y=0$ de l'équation ?
Oups, j'ai oublié d'ajouter une vérification sur les chiffres en base B, vous avez raison...En modifiant la ligneif to_base_10([0] + l, B)…
[mode troll]
En fait, @Oshine est une version humaine d'un vérificateur de preuves comme Coq.
Tant que tout n'est pas réduit à des axiomes, il ne peut pas av…En fait, il y a au total 11 solutions si l'on s'autorise à prendre $a$ nul, seulement 7 solutions si $a\neq 0$ et $b,c$ quelconques, et plus que 5 si l'on élimine les solutions où $b$ ou $c$ sont supérieurs ou égaux à 10.
Il est facile d…Je parie que ce que tu ne comprends pas est simplement ce qui n'est pas détaillé dans le théorème 28 (mais qui doit l'être dans le théorème correspondant pour les suites), à savoir dans quel cas la fonction possède une limite finie et dans quel cas …Il me semble que l'ordre lexicographique, à savoir \[z\preccurlyeq z' \Leftrightarrow \left(\Re(z) < \Re(z') \, \text{ou}\, \left(\Re(z)=\Re(z') \,\text{et}\, \Im(z) \leq \Im(z')\right)\right),\] est compatible avec l'addition et la multiplicati…Je ne pense pas puisque l'on a ordonné les valeurs propres pour que ce ne soit pas le cas.
Pour tout $k$ entre $1$ et $n-1$, $a_k<a_{k+1}$ et $b_k<b_{k+1}$ donc pour tout $t$ entre $0$ et $1$, $(1-t)a_k+tb_k<(1-t)a_{k+1}+tb_{k+1}$.
En fait pour le cas général, ce n'est pas si dur.Soit $A$ et $B$ deux matrices réelles ayant $n$ valeurs propres réelles distinctes que l'on notera respectivement $a_1<\cdots<a_n$ et $b_1<\cdots<b_n$. On …Bonjour!
