aurelpage0

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  • Bonjour
    Quel type de fonctionnalités cherches-tu ? Par exemple pour des opérations bas niveau très efficaces, il y a FLINT. Pour des calculs de théorie des nombres il y a PARI.
    Amicalement,
    Aurel
  • $\newcommand{\p}{\mathfrak{p}}$Bonsoir,
    Pas besoin d'application d'Artin ici, tu peux construire une préimage à la main. Que vaut l'extension locale $(K\otimes_{F} F_\p) / F_\p$ ? Comment s'exprime la norme dans cette extension ?
  • Bonsoir
    Le plus simple est d'utiliser le vocabulaire des formes quadratiques. La forme quadratique $x^2+y^2-z^2$ donnée par la matrice de Gram $G$ est non-dégénérée, isotrope de rang $1$ (dimension des sous-espaces isotropes max…
  • Bonjour
    En notant $G$ la matrice diagonale $(1,1,-1)$, ta relation est équivalente à $M^t G M$ diagonale. Mais ton exemple satisfait $M^tGM = G$. Est-ce que c'est cette relation plus précise que tu voulais ? Si oui, ce groupe a un nom, $O(…
  • Bonjour
    Soit $V$ un espace vectoriel. Pour tout $p$ entier naturel, on a la puissance $p$-ième symétrique $S^p V$ de $V$, qui est le quotient du produit tensoriel $p$ fois de $V$ modulo les relations qui font commuter les tenseurs. Cette c…
  • Bonjour,
    Note : la réponse est trivialement non quand on connait un peu de théorie algébrique des nombres, mais évidemment dans ce contexte il faut faire sans.
    Après avoir élevé au carré, il faut vérif…
  • Salut
    Je te mets les commandes pertinentes. Note : il y a un unique idéal premier au dessus de $2$ et il est totalement ramifié.

    ? nf = nfinit(y^2-2);
    ? rnf = rnfinit(nf, (x^2-1)^2+1);
    ? nf2 = nfinit(rnf);
    ? …
  • Ca a l'air de marcher en effet. Cependant, je te conseillerais d'étudier les versions plus théoriques, qui t'apprendront quelque chose et te permettront de traiter des cas plus difficiles.
    Le théorème classique que tu mentionnes est d…
  • Salut,
    Je vois deux manières de le prouver.
    La première est d'analyser le groupe d'inertie (et si on veut, celui de décomposition aussi).
    Ton corps biquadratique $K$ a pour groupe de Galois $G = C_2 \times C_2$. Le…
  • De rien !
  • Bonsoir,
    La fonction setsearch suppose que le vecteur est trié (que c'est un "Set").
    Amicalement, Aurel
  • Salut
    On peut placer ce résultat dans un cadre plus large.
    Ce résultat (sous la forme générale $H^1(K,\mathrm{GL}_n)=1$ qui marche pour n'importe quel corps $K$) est aussi parfois appelé Théorème 90 de Hilbert dans la …
  • $\newcommand{\ida}{\mathfrak{a}} \newcommand{\modu}{\mathfrak{m}}
    \newcommand{\prm}{\mathfrak{p}} \newcommand{Cl}{\mathrm{Cl}}
    \newcommand{\gene}{\mathrm{gene}}  \newcommand{\cond}{\mathfrak{f}}$
    Bonsoir,
  • $\newcommand{\ida}{\mathfrak{a}} \newcommand{\modu}{\mathfrak{m}}
    \newcommand{\prm}{\mathfrak{p}} \newcommand{Cl}{\mathrm{Cl}}
    \newcommand{\gene}{\mathrm{gene}}$
    Salut,

    Je ne connais pas les notations du livre que tu mentio…
  • Salut
    L'anneau $S = k[[x^{1/n}]]$ est bien le même que (isomorphe à) $R = k[[x]]$. Par contre, l'extension $k[[x^{1/n}]]/k[[x]]$ n'est pas la même que l'extension $k[[x]]/k[[x]]$. Autrement dit, $S$ est isomorphe à $R$ en tant que $k$…
  • Salut
    Je n'ai pas le temps de vérifier en détails, mais note que deux formes quadratiques non isomorphes peuvent avoir des groupes orthogonaux isomorphes, et c'est peut-être ce qui se passe ici : regarde si par hasard on ne pourrait p…
  • Haha oui tu n'as pas tort. Bon, pour donner une certaine substance à ma dernière phrase, je vais préciser.
    La méthode "marche" (au sens où on peut se ramener à des sous-corps) si et seulement si le groupe des automorphismes contient u…
  • Oups, j'aurais dû définir ma notation : j'utilise $\Z_K$ pour désigner l'anneau des entiers de $K$, et $\Z_K^\times$ est donc bien le groupe des unités. C'est la notation dite "bordelaise", que j'utilise sans même m'en rendre compte.
    Ça ma…
  • Je précise mon "la théorie dit facilement". Soit $x\in K^\times$, que vaut
    $$\frac{ N_{K/\Q(\sqrt{2})}(x) N_{K/\Q(\sqrt{11})}(x) N_{K/\Q(\sqrt{22})}(x) }{ N_{K/\Q}(x)} \quad?$$
    Si $x\in \Z_K^\times$, montrer que l'expression…
  • Tu as parfaitement raison : les unités des sous-corps sont très utiles. La théorie te dit facilement que dans ton cas les unités des sous-corps engendrent un sous-groupe d'indice une puissance de $2$. Je t'ai indiqué deux racines carrées que tu peux…
  • Salut
    En général, une bonne idée est de fabriquer plein de petits éléments du corps (en prenant des combinaisons linéaires à petits coefficients de ta base d'entiers), de décomposer en produit d'idéaux premiers les idéaux engendrés pa…
  • Salut
    Je suis d'accord que $\alpha$ est un élément primitif du corps. Par contre, en effet, la signature est incorrecte, donc le rang des unités aussi. Les unités que tu as exhibées en provenance des sous-corps sont bien multiplicativ…
  • Ce n'est pas littéralement ce que j'avais en tête, mais ça marche tout à fait !
    Bonne soirée,
    Aurel
  • Si tu veux retrouver l'algo tout seul, un indice : fais un pivot normal, mais en utilisant toujours comme pivot l'élément de la ligne (ou de la colonne suivant le sens dans lequel tu pivotes) de plus petite valuation.
    Aurel
  • Bonjour
    Oui, par l'algorithme de la SNF (forme normale de Smith), qui est d'ailleurs encore plus simple en $p$-adique que sur $\Z$.
    $$ \begin{pmatrix}1 & 1/2 \\ 0  & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 &a…
  • Bonjour Heinz
    De rien, avec plaisir ! À vrai dire, je n'avais pas vraiment fait attention non plus à cette question de $W_\R$ scindé ou pas, et je n'avais pas remarqué le problème à ma première lecture. dans Représentation induite d'un caractère d'un sous-groupe d'indice 2 Commentaire de aurelpage0 May 2022
  • Bonjour Heinz,
    Oui tu as raison pour le sens du transfert (j'ai édité mon message). C'est simplement le calcul du déterminant en utilisant la forme par blocs des matrices de la représentation induite, mais une fois qu'on a la formule …
  • Bonjour
    J'ai aussi essayé de faire le calcul, et je trouve que le déterminant de $V(a)$ envoie $j\mapsto (-1)^{2a+1}$ (ce qui le caractérise complètement car il est d'ordre fini car $V(a)$ est d'image bornée).
    Pour ça …
  • Bonsoir Maraichu
    Le polynôme caractéristique de $\xi_N$ est (par définition) $\mathrm{Norme}(X-\xi_N)$, donc il suffit de l'évaluer en $1$. Par contre tu as raison, le polynôme cyclotomique n'est pas toujours irréductible sur $\Q_p$. …
  • Bonjour Maraichu
    Tu dois pouvoir faire quelque chose comme ça, même si ça ne m'a pas l'air d'être le plus simple. Par contre je te conseille de ne pas utiliser la même notation pour la norme et l'ordre de ta racine de l'unité. Calcule…
  • 5) en fait je pense qu'on peut le prouver assez rapidement de la manière suivante. On écrit $N = p^kM$ où $M$ n'est pas divisible par $p$. $\Q_p(\xi_M)$ est non ramifiéé d'anneau des entiers $\Z_p[\xi_M]$ : en effet dans une extension assez gra…
  • Bonjour,
    1) $I(W_K^{ab})$ est l'image de $I_K$ dans $W_K^{ab}$.
    4) Pour répondre à Poirot, dans le cas général on peut construire les extensions abéliennes correspondantes en utilisant la théorie de Kummer. Et c'est aussi co…
  • @MarvinV De rien, je suis content qu'il te plaise aussi ! Il y a une discussion courte sur les quasi-caractères p.243-244. Il n'y a de toute façon pas grand chos…
  • Bonjour
    J'avais bien aimé lire Fourier analysis on number fields, qui contient en particulier la thèse de Tate.
    Dans un autre style, si ça t'aide de manipuler les objets explicitement, je viens avec un collègue d'impl…
  • Dannie,

    si tu n'es pas familier avec la réduction des endomorphismes, tu devrais peut-être ignorer cette seconde solution (encore une fois, tu peux montrer par un calcul direct que~$u$ vérifie la relation que j'affirme, mais tu n'apprend…
  • Au cas où ça te parle plus, je te propose une autre preuve sans série formelle :

    Soit~$E$ l'espace des suites à valeurs dans ton corps~$K$. Soit~$\sigma$ l'opérateur de décalage, qui à une suite~$v$ associe la suite~$\sigma(v)$ telle que…
  • Je n'ai peut-être pas bien expliqué ma notation : $(\text{polynôme de degré } \le 2)$ ne désigne pas toujours le même polynôme, mais simplement un polynôme de degré au plus 2, qui peut varier d'une ligne à l'autre. Du coup, je l'utilise pour absorbe…
  • Bonjour,

    Désolé, j'aurais dû détailler un peu plus.

    La preuve que je propose comporte deux parties
    1/ je prouve une relation de récurrence pour~$u_i$, qui dépend des paramètres. Pour cela j'utilise les séries formelles.…
  • Bonjour,

    Un polynôme~$P$ est dit "homogène de degré~$n$" si~$P(ax_1, \dots, ax_k)=a^nP(x_1, \dots, x_k)$, et simplement "homogène" s'il est homogène d'un certain degré. Les formes linéaires sont les polynômes homogènes de degré~$1$, mais…
  • Bonjour,

    je te propose ceci :
    Pour simplifier les notations, soient~$a=g^x$, $b = g^\alpha$, $c=g^y$ et~$d = g^\beta$, de sorte que~$u_i=ab^i+cd^i$.
    Comme séries formelles on a~$\sum_{i\ge 0}u_iX^i = \sum_{i\ge 0}ab^iX^i+cd^i…
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Bonjour!

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