Réponses
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@TheBridge : ça m'étonne, d'autant plus que je suis tombé sur Jacod, J., & Shiryaev, A. N. (1998). Local martingales and the fundamental asset pricing theore…
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On peut faire simple (quitte à translater la borne inférieure). Si $(M_n)_{n\in \Bbb N}$ est une martingale locale positive, on sait que c'est une sur-martingale.
On en déduit que c'est une vraie martingale sur tout intervalle de temps … -
Il y a un théorème de Meyer énoncé en page 9 de ce document : http://www.math.hu-berlin.de/~foellmer/papers/Foellmer_Protter_2010.pdf
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Je suis d'accord à Namiswan pour $P(\mathrm{J gagne}) = \frac{1}{4}$.
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Puisque tout le monde s'y met, voici une façon très bête de faire : rappelons que $X_n$ est le nombre de succès d'expériences de Bernoulli de paramètre $p$. Dire que $X_n \leq b$ revient à dire qu'il y a au moins $n-b$ échecs. En majorant très bruta…
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Comme pierre te l'a laissé entendre plus haut, il faut utiliser le fait que si une fonction est continue sur $\R$ et si $[a,b]$ est un segment, alors cette fonction est bornée et uniformément continue sur $[a,b]$.
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Le calcul de l'inverse de $\alpha \neq 0$ correspond à trouver l'unique $x \neq 0 $ tel que $\frac{1}{x} = \alpha$.
Il s'agit donc de résoudre l'équation $f(x) = 0$ pour $f(x) = \frac{1}{x} - \alpha$. La méthode de Newton consiste à considérer… -
Voici pour Thierry le schéma d'une preuve du TCL relativement élémentaire empruntée à W. Feller, Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. II, 2nd ed., 1966, p. 259. À quelques aménagements près, elle pourra aussi intéress…
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Il y a aussi des preuves modernes élémentaires et particulièrement robustes utilisant la Méthode Stein.
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N'ayant pas le temps de faire plus pour l'instant, justifions déjà la convergence. En utilisant le développement asymptotique à deux termes de la série harmonique, nous avons (pour $\gamma$ la constance d'Euler) :
$$
a_n = \frac{(-1)^n \… -
Je tente un preuve nonstandard de ceci pour m'entraîner et m'amuser un peu.
Supposons la suite $(f_n)$ standard. Alors sa limite $f$ est aussi standard. Quel que soit $n$ standard, si $x \simeq y$ alors $|f_n(x) -f_n(y)|\leq k_n |… -
Pas à ma connaissance, mais si tu fournis les énoncés on peut t'aider à les résoudre.
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@daniel : Au vu la question, je trouve que c'est tricher que de prendre deux normes différentes.
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L'existence du théorème de l'isomorphisme de Banach suggère que même dans le cas d'un espace vectoriel normé et d'un isomorphisme linéaire continu, la continuité de l'inverse peut être en défaut...
Prenons par exemple $E=\mathcal{C}_c(\B… -
Sur l'index du forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/index.php, on ne voit plus que de multiples
[size=x-large]Pensez à lire la Charte avant de poster… -
Le premier point $I = \Bbb R$ est assez classique : puisque l'image de $x$ est incluse dans un compact (image du cercle unité par une application continue), on peut montrer que si $x$ était seulement définie sur $]a,b[$ avec $a,b \in ]0,\infty[$ on …
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Comme contre-exemple, on pouvait aussi penser à une suite énumérant les rationnels. Alors tous les réels sont valeurs d'adherence.
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La première réponse donnée par Guego me semble parfaite. Pourquoi ne vous plaît-elle pas ?
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Bah si, car $\ln(x) = -\ln(1/x)$ par changement de variable
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Pour montrer la surjectivité, on peut aussi faire une comparaison série-intégrale :
$$
\ln(n) = \sum_{k=2}^{n} \int_{k-1}^{k} \frac{du}{u} \geq \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}
$$
Il reste alors à justifier la divergence de la série … -
Voici un contre-exemple : sur $\Omega = \{-1,1\}$ on considère $\Bbb Q = \frac{1}{2}\delta_1 + \frac{1}{2}\delta_{-1}$ et $\Bbb P = \delta_{1}$ avec $X_n(\omega)= (-1)^n \omega$.
Sous $\Bbb Q$, $X_n$ est un suite de variables aléatoires … -
Bonjour,
On peut définir une injection $X_n \hookrightarrow \Bbb N^n$ en associant à toute partie $\{x_1,\dots,x_n\} \in X_n$ le vecteur $(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$ où $\sigma$ est l'unique permutation de $\{1,\nots,n\}$ telle … -
Si $a_n f_n\to 0$ presque partout, alors
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{2^n}f_n < \infty
$$
presque partout. C'est bon pour le M1 ? C'est toi qui me prépare mes diplômes aléa ? -
Je note $\mu$ la mesure finie pour clarifier. Par positivité des $f_n$, il suffit de trouver des $a_n > 0$ tels que $\limsup_n a_n f_n \leq 0$ presque partout.
Soit $n$ fixé. Puisque $X = \bigcup_{M \geq 1} \{f_n \leq M\}$, on a $\lim… -
Il s'agissait effectivement du théorème Taubérien de Hardy. Afin de ne pas tout gâcher tu peux réfléchir à l'exercice (plus simple) qui consiste à le déduire de l'énoncé suivant :
Théorème Taubérien de Littlewood. On considè… -
L'exercice a très récemment été posé sur le forum sous une forme un peu différente : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,845541
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Salut skyffer, je vois que tu travailles bien mais que tu n'as pas encore démontré le troisième énoncé. Veux-tu des indications ?
(Quote) Je préfère ce mode de fonctionnement. D'ailleurs j'ai déjà un "vrai" compte mais je ne l'utilise plus. -
C'est déjà très bien. Le troisième cas est nettement plus difficile.
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Voici quelques compléments qui devraient t'intéresser skyffer3 :
1) On suppose $a_n = o(1/n)$. Montrer que la série de terme général $a_n$ converge vers $\ell \in \Bbb R$ ssi
$$
\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \sum_… -
@b.b J'étais un peu tatillons dans mon message précédent. Ce que Thierry donne, c'est la suite de fonctions des sommes partielles associée à la série entière que tu décris.
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Ceci n'est pas une série entière Thierry.
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Salut. Sauf erreur, il suffit d'écrire $f \, \mathbf 1_{|f| \leq 1} + f\,\mathbf 1_{|f| > 1}$. En effet, on a $$
\int_{|f| \leq 1} |f|^2 \leq \int_{|f| \leq 1 } |f|^p < \infty \qquad \text{et}\qquad \int_{|f| > 1} |f| \leq \int_{|f| &… -
Bonsoir,
1) A priori, il n'y a pas de raison pour que $\{X=Y, X \in F\} = \{X=Y, Y \in F\}$ soit dans $\mathcal{A}$ : l'hypothèse sur la mesurabilité de $Y$ indique seulement $\{Y \in F\} \in \mathcal{A}'$. De toute façon c'est $\mathcal… -
Il me semble avoir expliqué que du point de vue de l'espérance conditionnelle
$$
\Bbb P(X \geq 0 \mid X = x) = \begin{cases}1 & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text{sinon}\end{cases}\quad P_X(dx)-\text{p.p.}
$$
Dans ce ca… -
Oups ! je me cache. Quelqu'un peut supprimer le message précédent ?
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Ça m'étonnerait ! Que penser de $\Bbb Q \cap [0,1]$ dans $(\Bbb Q, |\cdot |)$ ?
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(Quote)
La question de l'indépendance était peut-être bizarre mais nécessaire et mathématiquement juste (correspond à une définition précise). Dire que $\mathbb{P}(X\geq 0\mid X=x)=\mathbb{P}(X\geq 0)$ pour tout $x$ est juste bizarre et da… -
Bah oui ! ils sont indépendants sous $\Bbb P$.
Quelques rappels sur l'espérance conditionnelle : $Y$ est une variable positive ou $L^1$ et je veux calculer $\Bbb E(Y)$ en conditionnant selon $X$. Je vais écrire $\Bbb E(Y) = \Bbb E( \Bbb … -
Si $X \sim \mathcal{N}(0,1)$, ça fait bizarre d'écrire $\Bbb P(X \geq 0 \mid X = 1) = \frac{1}{2}$. Non ?
Bonjour!