Réponses
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Je suis d'accord. Je trouve bien $\rho '(0) = - \frac{1}{2}$ donc la pente (en différenciant y par rapport à x) sur le dessin en $(1,0)$ devrait valoir -2, ce qui a l'air cohérent.
Merci à tous ! :-) -
Effectivement, le calcul est même un peu plus facile.
On voit sur ton dessin que la courbe n'est même pas dérivable, mais cela n'a pas d'importance.
Je soutiens d'ailleurs toujours que l'on peut se restreindre au quadrant supérieur droit… -
Merci beaucoup :-)
J'ai juste une petite interrogation : est-ce une puissance $\frac{-1}{2}$ plutôt que $\frac{-1}{4}$ ? J'ai peut-être fait une erreur dans mon calcul. -
Peut-être as-tu raté mes éditions, j'y explique pourquoi je pense que l'on peut se restreindre à $a,b,c,d \geq 0$. En considérant en fait les valeurs absolues des coordonnées $a',b',c',d'$, on constate que la première inégalité que j'ai écrite doit …
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$a,b,c,d$ désignent en fait les valeurs absolues des coordonnées respectives de $x$ et $y$. On peut donc se restreindre à $(x,y) \in \left( \mathbb R_+\right) ^2$, non ?
EDIT : Donc, il faudrait plutôt montrer $(a+b+c+d) \sqrt{a^2 + b^2 … -
L'inégalité (1) est équivalente à $(a+b+c+d) \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ac+bd)} \leq (a+b)\sqrt{a^2 + b^2} + (c+d) \sqrt{c^2 + d^2} + 2\sqrt{(a+b)(c+d)\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}}$, en posant $x=(a,b)$ et $y=(c,d)$.
Muirhead ou Sc… -
Bonjour,
Merci pour votre intérêt porté à ma question.
On aimerait procéder ainsi dans le cas quelconque, où $N : x \mapsto \sqrt{N_1(x) N_2(x)}$.
$N(x+y) = \sqrt{N_1(x+y) N_2(x+y)} \leq \sqrt{(N_1(x) + N_1(y)) (N_2(x) … -
Bonsoir,
J'ai l'impression que vous majorez $N(x+y)^2$ alors qu'en fait vous vouliez minorer cette quantité... -
Justement, j'avais d'abord essayé avec ces deux vecteurs mais je trouve bien $N(x+y) = \sqrt{3\sqrt 5} \leq \sqrt{2\sqrt 2} + 1= N(x) + N(y)$, sauf erreur de ma part.
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Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme $n! + 1$ ?
Si oui, alors le théorème de Wilson fournit une solution à ce problème.
Edit : $11!+1$ est apparemment premier donc $n=11, m=11!$ est également solution. On peut é… -
Il faut que tu trouves une puissance qui soit congrue à $1$ et non à $a$. Autrement, la suite ne serait pas périodique mais périodique à partir d'un certain rang.
Écrit tel quel, tu montres qu'on retombera sur une puissance antérieure, m… -
Il s'agit effectivement d'une épreuve du baccalauréat, donc c'est du niveau Terminale, si je ne m'abuse. L'élève n'est certainement pas très familier avec le concept de récurrence et c'est probablement tout à fait normal.
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Tu supposes que $P(n)$ est vraie et tu veux montrer que $P(n+1)$ est vraie. Essaie de formuler $P(n+1)$.
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Bonsoir.
Je pense que tu voulais imposer $m \neq m'$.
$a$ et $ra$ peuvent tout à fait avoir le même reste si $a=1$. Mais c'est ce que l'on veut.
L'étape "en continuant les calculs" peut être un peu délicate. Peut-être q… -
Disons que montrer que la convergence uniforme entraîne la convergence simple est assez directe.
Il paraît naturel d'écrire la convergence uniforme, c'est-à-dire pour la norme infinie. Comment traduire le fait que la suite $(f_n)$ conver… -
Si la suite de fonctions converge uniformément, peut-être qu'elle converge également dans un sens plus faible.
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Si tu veux montrer par récurrence que la propriété $(P_n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb N$, il faut montrer que $(P_0)$ est vraie, puis que si $(P_n)$ est vérifiée pour un entier $n\in \mathbb N$, alors $(P_{n+1})$ est vraie.
Tu pe… -
Est-ce que la définition de crochet est $[A,B]= AB -BA$ ?
Dans ce cas-là, on pourrait prendre l'ensemble des homothéties j'ai l'impression. Et $H$ n'est pas une homothétie... -
D'accord. Qu'en est-il de la définition de norme ? Est-ce qu'ils prennent des scalaires $\lambda \in \mathbb R$ pour l'homogénéité ?
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Un produit scalaire au sens usuel (donc "réel") doit être $\mathbb R$-linéaire. Ici, je ne vois pas qu'il est mentionné que l'ensemble $\mathbb K$ désigne le corps de base, même si je reconnais qu'il s'agit de la notation habituelle.
Usu… -
Mon idée n'a pas l'air d'avoir été plaisante... Qu'en est-il de $\langle f \ | \ g \rangle = \int_a^b \left(Re ( f) \ Re (g )+ Im (f) \ Im (g) \right)$ ?
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Si $z=(x,y) \in \mathbb R ^2$, on a $\| z \| ^2 = x^2 + y^2$.
Si $z=x +iy \in \mathbb C$, on a $| z | ^2 = x^2 + y^2$.
De plus, si $f$ est continue, alors ses parties réelle et imaginaire sont continues d'après les règles usuelles.
… -
En fait, tu peux regarder comment faire dans le cas $K = \mathbb R ^n$ avec des sommes par exemple. "La" norme euclidienne peut être définie par $\| x \| = \sqrt { \sum_{k=1}^n x_k^2 }$.
Il s'agit alors de savoir quelle forme pourrait avoir le… -
Parce que $(f \ | \ g ) = \int_a^b fg$ ne définit pas un produit scalaire dans ce cas. Par exemple, si $f:t \mapsto e^{\pi it} $, on a $(f \ | \ f ) = \int_0^1 e^{2 \pi it} \ dt = 0$.
Edit : Oui, c'est bien de chercher avant... En tout c… -
J'imagine que l'on peut séparer partie réelle et imaginaire et calculer les deux intégrales obtenues de manière classique.
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Combien y a-t-il de nombres entiers entre $i$ et $n$ ?
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Ok. Alors regarde en quoi $a^n = 1 + kb$ implique que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. On pourra considérer un diviseur commun à $a$ et $b$.
Bon courage ! -
Une période ne peut pas être nulle, donc il faudrait imposer $n \neq m$.
Ensuite, on veut que la suite soit périodique, et non périodique à partir d'un certain rang.
Par conséquent, si ladite suite était périodique, il faudra… -
En fait, même si on renforce avec l'hypothèse $m\neq n$, le résultat reste vrai même si $pgcd(a,b)=1$. Il suffit d'appliquer le principe des tiroirs à l'ensemble $\{ a^i \pmod b \ \mid i \in \mathbb N \}$.
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Est-ce que tu as d'autres hypothèses ?
Écrit tel quel, on peut prendre $m=n=k=0$ et la proposition serait vraie même si $pgcd(a,b) =1$... -
Je n'ai pas l'énoncé exact de ton exercice, mais es-tu sûr que l'ensemble à $n$ éléments $D_b^a$ désigne une seule diagonale, à $(a,b)$ fixé ?
Si tel est le cas, il suffit de s'intéresser à l'unique élément d'abscisse $k=1$ dans chacun des $D_… -
Quand $a$ est fixé ou quand $a$ et $b$ sont fixés ?
Tu peux regarder avec des petits exemples, comme toujours. Par exemple avec une grille de taille $2\times 2$ ou $3\times 3$.
Tu peux visualiser le point $(k, ak + b \… -
C'est l'idée naturelle, effectivement :-)
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Regarde le cas $a=2$, $b=3$ et $a'=b'=5$.
Il doit certainement manquer des hypothèses importantes sur $a'$ et $b'$. -
Très intéressant, merci Chaurien ! Je ne pensais pas que l'on pouvait exhiber un contre-exemple explicite aussi facilement.
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N'hésite pas à regarder ce que donnent tes conjectures pour des "petits" exemples. Par exemple, on voit assez facilement que $\mathbb{Z/4Z} \times \mathbb{Z/4Z}$ n'admet aucun élément d'ordre $8$.
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Tout à fait. Maintenant, je pense que tout y est !
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Je suis d'accord avec ce que dit Guego.
@Lee sin : Pourquoi t'intéresses-tu au cas $b>0$ ? À priori, on peut avoir $b\leq 0$, non ? Dans ce cas-là, les term… -
Pour la fermeture, on peut regarder les polynômes caractéristiques et utiliser Bolzano-Weierstrass ainsi que les relations coefficients-racines dans un polynôme, si je ne m'abuse.
L'idée est de dire que les coefficients respectifs des po… -
Non, en fait les deux démonstrations fonctionnent mais la tienne n'utilise pas la fonction $g$ (dans le sujet, on demande de déduire que $f$ est strictement convexe en considérant $g$). Je préfère la tienne toutefois, elle montre notamment que la fo…
Bonjour!