P.Fradin3

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  • Avec l'indication que j'avais donnée, on peut s'en sortir!

    Soit $ze^z=Z$ ($Z$ donné), on pose $Z=e^{a+ib}$ avec $a$ réel et $b\in]-\pi;\pi]$. On regarde l'équation $u+e^u=a+ib$ (il suffira ensuite de rendre $z=e^u$). En posant $u=x+…
  • Je m'avance peut-être un peu beaucoup, mais j'ai l'impression qu'il est plus facile de montrer que l'équation $e^u+u=a+ib$ avec $-\pi\leq b
  • Poser $u=x-a$ (réponse $\frac{(b-a)^3}6$).
  • La preuve de Philippe Malot est mieux, elle fait intervenir la notion dérivée suivant le vecteur h.
  • On a $f(x+h)-f(x)=df_x(h)+\|h\|\alpha(h)$ avec $\alpha(h)\to 0$ si $h\to 0$.
    Soit $\varepsilon>0$, il existe $\lambda>0$ tel que $\|h\|\leq \lambda \Rightarrow \|\alpha(h)\|\leq \varepsilon$. Soit $h$ non nul quelconque, et soit $h_0…
  • Un tout petit peu plus simple:
    en posant $u=\pi a$, $v=\pi b$, $f(u)=\frac{1}{\sin(u)}-\frac1u$, $f$ est $C^1$ au voisinage de 0 et $f'(0)=\frac16$.
    L'expression demandée est (à un facteur $\pi^2$ près):
    $$\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=…
  • Bonsoir,

    Ce ne serait pas plutôt +1/(ab)? Et la limite: $\frac{\pi^2}{6}$?

    Sinon, si c'est deux limites séparées: en posant $u=\pi a$ et $v=\pi b$, le premier terme (à un facteur $\pi^2$ près) est le taux d'accroissement …
  • Oups, petite erreur de signe:
    $$(2q-p^2)+\alpha[2-pq]=0$$
    ce qui ne change pas la suite
  • Supposons $r\neq 0$, on peut imposer alors $r=1$.
    On a deux équations: $$(E_1)\ p+\alpha q+\alpha^2=0$$ et une équation obtenue en multipliant par $\alpha$: $$(E_2)\ 2+\alpha p+\alpha^2q=0$$
    En faisant $2E_1-pE_2$ on en déduit l'é…
  • Le polynôme $X^3-2$ annule $\alpha=\sqrt[3]{2}$ et est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$, c'est donc le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb{Q}$.
  • Elle serait équivalente en $+\infty$ à un $kx^n$ avec $k>0$ et $n>0$, or $\ln(x)$ est négligeable devant $x^n$ en $+\infty$...
  • elle n'est pas de moi.... mais je la trouve jolie aussi!
    dans partie entière Commentaire de P.Fradin3 April 2006
  • Il y a une autre démonstration de ce résultat, soit

    $$g(x)=\sum_{k=0}^{n-1} {\rm E}(\frac{x+k}n)$$
    alors on vérifie facilement que:
    1) si $x\in [0;1[$ alors $g(x)=0$.
    2) pour tout x, $g(x+1)=g(x)+1$, on en déduit qu…
    dans partie entière Commentaire de P.Fradin3 April 2006
  • Bonjour,

    Puisque vous disposez de sin et cos, il y a aussi la méthode Newton (pour résoudre tan(x)=a avec x où il faut...), ce qui donnerait:

    var
    x,a,u,v:real;
    j,sg: integer;
    inv:boolean;
    begin
    w…
    dans Algorithme arctan Commentaire de P.Fradin3 April 2006
  • Il me semble que color est à remplacer par xcolor et que times est obsolète (ou en tout cas déconseillé) mais je ne sais plus par quoi le remplacer (personnellement j'utilise lmodern). Tu peux aussi poser la question sur fr.comp.text.tex (ou même fa…
  • Poser $x=\sin^2(t)$ et on tombe sur du Wallis...
  • Règle de Bioche: poser $u=\tan(x)$.
    dans une intégrale... Commentaire de P.Fradin3 April 2006
  • L'exercice posé en fait un cas particulier du suivant: soit f continue sur [0;1] et dérivable en 0, montrer que:
    $$\int_0^1 f(t^n)\,dt \to f(0)$$

    Soit $u_n=\int_0^1 [f(t^n)-f(0)]\,dt$, le changement de variable $u=t^n$ (sur $]0;…
  • On aurait pu aussi remarquer que la suite $u_n=\frac{n^n}{(n!)^2}$ est décroissante...
  • Il vaut mieux utiliser l'inégalité:

    $$|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\leq \sqrt{|a-b|}$$
    et là ça doit marcher (en prenant $a=1-x^n$ et $b=1$)...
  • Oups! désolé! je n'ai pas lu l'énoncé correctement!
  • Accroissements finis (avec $x\in[0;1]$):

    $$|\sqrt{1+x^n}-1|\leq \frac{x^n}2$$
  • Pour vérification, autre preuve du lemme 5: avec $n=p^k$ où p est premier avec k>0 si p est impair et k>1 si p=2:

    Soit $\mathbb{A}$ l'anneau quotient: $\mathbb{F}_p[X]/(X^n-1)$,
    on pose $\omega=\bar{X}$ la classe de $X$, on a…
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