Réponses
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$$ne^{i\theta}(1+e^{i\theta})^{n-1}=-i\frac{d}{d\theta}(1+e^{i\theta})^{n-1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}ke^{ik\theta}.$$ D'où, en prenant les parties réelles :
$$n2^{(n-1)/2}\cos \frac{(n+1)\theta}{2}\times \left(\cos(\theta/2)\right)^{n-1}=\s… -
Si $p_k$ est borné, alors il existe une sous suite convergente $p_{\phi(k)}$ qui converge. Soit $r$ sa limite. Alors
$p_{\phi(k)}^2$ converge vers $r^2.$ Mais aussi $p_{\phi(k)}^2$ converge vers $p^2.$ Donc $r^2=p^2.$ De plus comme $p_{\phi(k… -
Tes $n$ sont à plusieurs sauces. Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $L(E),$ $S(E)$, $P(E)$ et $O(E)$ ses endomorphismes , symétriques, définis positifs ou orthogonaux. Le produit scalaire sur $L(E)$ est $\mathrm{trace}(ab^*)=\langle a,…
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Tack.
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Pour Saturne. Si $a$ et $b$ sont des vecteurs de l'espace euclidien $E$ on note souvent par $a\otimes b$ l'endomorphisme de $E$ défini par
$$x\mapsto (a\otimes b)(x)=a\langle b,x \rangle $$ -
Le deuxième encadré vient du fait que ou bien $S_n\leq S\leq S_{n+1}$ ou bien $S_{n+1}\leq S\leq S_n$ puisque les suites $(S_{2k})_{k\geq 0}$ et $(S_{2k+1})_{k\geq 0}$ sont adjacentes.
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Mais la Wishart est la généralisation naturelle du chideux! Si je comprends bien, tu aurais voulu une généralisation en dimension 2,4,5,7,8,9,11 etc alors que Wishart est en dimension 3,6,10,... n(n+1)/2.
Il existe des propositions de l… -
Comment 'reconnaitre' une densité en dimension 1 dans une densité de dimension $n(n+1)/2?$ Saporta veut sans doute dire: regardez, si je fais $n=1$ dans ma formule, je trouve un chideux classique.
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On ne peut faire plus élégant. Merci Pappus. Si $s_1=a+b+c+d,$ $s_2=ab+ac+ad+bc+bd+cd$ et $\epsilon=\pm1$ j'arrive à l'équation des deux paraboles sous la forme $$(z-\epsilon \overline{z})^2-zs_1-\overline{zs_1}+s_2+2\epsilon=0$$ (le premier membre …
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Heu, quelle formule? Le lien entre une chi deux et quoi? Les Wishart sont des généralisations des Gamma, comme expliqué dans mon post 1.
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J'aurais souhaité que quelqu'un le fasse à ma place, certainement. Je vais faire ce que tu me dis, probablement très maladroitement. Merci Bruno
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Bigre, ça se décante. Auriez vous dans vos sacs une expression analytique des deux paraboles en fonction de $a,b,c,d$ ?
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Une va de Wishart $X$ de paramètres $(a,\Sigma) $ à valeurs dans $P_n$ est définie par sa transformée de Laplace
$$\mathbb{E}(e^{-\mathrm{trace}(\theta X)})=\left(\det(1-\Sigma^{-1}\theta)\right)^{-a}$$ avec $a\in\{1/2,2/2,\ldots,(n-1)/2\}\cup… -
Obscur. Les lois gamma dont les chideux sont un cas particulier sont des lois sur $(0,\infty)$. Les lois de Wishart sont des lois sur le cône $P_n$ des matrices carrées d'ordre $n$ qui sont symétriques et semi définies positives. Si $n=1$ ce sont le…
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Pour compléter: si $e^{iA_j}$ avec $j=1,2,3,4$ sont les affixes de 4 points du cercle unité, alors il existe deux paraboles d'axes parallèles aux axes OxOy si et seulement si
$$A_1+A_2+A_3+A_4\equiv 0 \ \mathrm{modulo}\ 2\pi.$$ -
Si $\liminf n^2u_n<\infty$ alors $v_n$ ne tend pas vers zéro. Si $\lim n^2u_n=\infty$ la convergence de $\sum v_n$ est équivalente à celle de $\sum\frac{1}{n^2u_n}.$ Mais
$$\infty>\sum\left(\frac{1}{n^2u_n}+u_n\right)=\sum\frac{1}{n}\lef… -
On utilise un peu trop de structures euclidiennes en statistique à mon avis : la matrice de covariance d'une va $X=(X_1,X_2,\ldots)$ étant symétrique, c'est que $X$ est considérée comme va d'un espace euclidien, monde idéal qui arrange le calculateu…
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Merci pappus. La réponse à ma question est maintenant complète.
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Si $a_n$ et $a'_n$ égalent 0 ou 1, alors $0=\sum_{n=1}^{\infty}3^{-n}(a_n-a'_n)$ n'est possible que si $a_n=a'_n.$ En effet sinon, soit $n_0=\inf\{n; a_n\neq a'_n\}$ alors
$\pm 3^{-n_0}= \sum_{n=1+n_0}^{\infty}3^{-n}(a_n-a'_n).$ Mais $$\left|\… -
Bon les gars, j'ai oublié il y a 50 ans le bon usage des points cycliques et des involutions . Mais, en réfléchissant, je ne suis pas encore entièrement satisfait, car mes deux paraboles doivent avoir des axes parallèles à Ox et Oy et ce n'est do…
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OK, très bien. Pas si différent quand même. Et quelle est ta démonstration du fait que c'est impossible si $(G_1,G_2)$ est gaussien de corrélation non nulle?
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Bruno, génial! es tu en train de me dire que la réponse à ma question est
ABCD inscriptible dans un cercle? -
Oui, c'est bien ce livre.
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Jacquot, difficile de te répondre : c'est un message qui flotte un peu partout, me dit l'amie brésilienne qui me l'a transmis.
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Il y a l'épouvantable livre de Cramer et Leadbetter.
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Pas commode. Si $\mu(dx)$ et $\nu(dy)$ sont deux lois et si $M$ est l'ensemble des lois $\alpha(dx,dy)$ de marges $\mu$ et $\nu$ l'image de $M$ par $\alpha(dx,dy)\mapsto \beta(dz)$ avec $\beta(dz)$ image de $\alpha$ par $(x,y)\mapsto z=x+y$ est myst…
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Je considère la suite $u_0=u_1=\ldots=u_6=0.$ Trouver $u_7.$ Réponse $u_7=7!$. Démonstration : $u_n=n(n-1)\ldots(n-6).$ On perd un peu son temps sur ce fil, non?
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a) Dire que $(X,Y,Z)$ est gaussienne est une hypothèse plus forte que de dire que$ X,Y,Z$ sont individuellement gaussiennes. Par exemple si $X\sim N(0,1)$ est indépendante de $S$ avec $\Pr(S=1)=\Pr(S=-1)$ alors $Y\sim N(0,1)$ mais $(X,Y)$ n'est pas …
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Si $a_1G_1=a_2G_2$, ca marche (et $(G_1,G_2)$ est gaussien...).
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Tu as oublié de nous dire que $(X,Y,Z)$ est gaussienne ? Rappel pour faire tout ton exo : si $X=(X_1,\ldots,X_n)^*\sim N(m,\Sigma)$ alors
1) $$\mathbb{E}(e^{\langle t,X\rangle})=e^{\langle t,m\rangle+\frac{1}{2}t^*\Sigma t}$$ (c'est la meille… -
Rien à voir avec les probas. La mesure $dN$ n'est autre que $\sum_{i=1}^{\infty}\delta_{T_i}.$
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N'est ce pas une brave intégrale gaussienne
$$\int_0^{\infty}\cos(tr)e^{-\frac{t^2}{4s}}\frac{dt}{\sqrt{\pi s}}=
\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{4s}+itr}\frac{dt}{\sqrt{\pi s}}=e^{-sr^2}?$$ -
Les valeurs propres de la symétrie de $\mathbb{R}^2$ de matrice représentative $S=\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]$ sont $\pm 1.$ Pas étonnant que la matrice que tu nous donnes en exemple et qui s'écrit par blocs $\mathrm{di…
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Bof. Si $J$ est la matrice carrée d'ordre $2n+1$ avec des 1 partout, elle est de rang 1 et donc ses valeurs propres sont $2n+1$ (multiplicité un) et 0 (multiplicité $2n$). Donc les valeurs propres de $A=J-I_{2n+1}$ sont $2n$ (multiplicité 1) et $-1$…
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Ô sourcilleux alsacien, tu as raison. Pour le pavage en carré, j'ai vu ça dans les livres sans arrêter. Comme 'Combinatoire et graphes' a peu de visiteurs, je me demande si un gentil organisateur pourrait déplacer ma question en algèbre, en ajoutant…
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Tu voudrais un équivalent de $R_n$ sans hypothèses supplémentaires sur $(\epsilon_n)?$
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$\displaystyle n^{\alpha-1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(n+k)^{\alpha}}\xrightarrow [n\to\infty]{}\frac{1}{\alpha}$ par comparaison série intégrale. Or $\displaystyle \epsilon'_n=n^{\alpha-1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\epsilon_{k+n}}{(n+k)^{\alpha}}.$<…
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Jandri, ah j'étais bête en effet. Donc donc l'inégalité n'est pas optimale si $n\geq 2?$ Futile, mais intéressant tout de même.
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Il faut saluer le très ingénieux accomplissement de Jandri.
Question pour etanche : où as tu trouvé cette question?
Remarque de probabiliste: plutôt que de parler artificiellement de fonctions continues
pour mettre le problème à … -
pour $n=1$ je pose $m_k=\int_0^1f(x)^kdx$ et j'observe, sans savoir généraliser
$$0\leq\int_0^1\left(f(x)^2+3m_1f(x)-\frac{9}{2}m_1^2\right)^2dx=m_4-\frac{27}{4}m_1^4.$$
Bonjour!