Réponses
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Salut Georges, je passe par hasard et vois que personne ne t'a répondu. Je ne sais pas si cette catégorie a un nom, mais elle a une notation: $C'\times_C C_{O/}$.
Les catégories de la forme $C_{O/}$ (ou dans l'autre sens) s'appellent des … -
Julia, je crois que tu fais une erreur : suivant la Def1, on a bien $(a.1_B)x = 1_B(a.x) = a.x$ de sorte que l'action par $a$ est bien donnée par la multiplication par $a.1_B$
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$K$ est contenu dans $A/M$ ;-)
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Pas besoin de théorie des topos pour se convaincre que la cohérence relative ne suffit pas: la théorie contradictoire prouve la cohérence de Peano et est pourtant finiment axiomatisable :-D
En moins idiot, la théorie des classes de NBG est fin… -
Malheureusement pas vraiment, je ne me suis jamais vraiment renseigné sur l'homotopie des C*-algèbres...
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Si tu tiens à avoir $E,F$ dans ta fonction, tu peux faire comme Schwartz puis simplement considérer $\{(X,Y,Z)\in \{E\}\times\{F\}\times \mathcal P(E\times F) \mid Z \in \textrm{l'ensemble de Schwartz}\}$
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La construction par classes de couples est très naturelle, elle a une version générale qui est la "groupe-complétion" d'un monoïde commutatif. C'est un présentation, ou une construction du groupe (abélien) libre sur un générateur dans…dans Morphisme(s) de groupes de $\Z$ dans un groupe donné, et plus... Commentaire de Maxtimax October 2022
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Voir ici pour une variante de la construction de Cartier, que je trouve très claire (et intuitive !)
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Pour les exemples (quand tu fais des groupes finis, ou de présentation finie; ou des anneaux "contrôlés" par des données finies, ...) les logiciels d'algèbre peuvent être très pratiques.
Je n'en ai encore jamais utilisé, mais il y a peu … -
stfj : ça a un intérêt pédagogique pour les gens qui apprennent les catégories, pas pour les gens qui apprennent ce qu'est $\mathbb Z/2$ :-)
Ta catégorie est équivalente à la catégorie discrète sur l'ensemble $\mathbb Z/2$ (i.e. que des … -
Les exemples dépendront de ce que tu connais. Par exemple, connais-tu la notion de produit tensoriel ? Si oui, ça peut donner un très bel exemple.
Un exemple du même genre que celui de flipflop (vu que tu aimes bien les anneaux !) c'est le fon… -
$R= k[x_i, i\in \mathbb N]/(x_ix_{i+1} = x_i)$, et $A=$ l'idéal engendré par les $x_i$. Il est clair que $A^2= A$, puisque tous les générateurs sont dans $A^2$. Pourtant, $A$ n'a pas de neutre: on montre facilement que si $P\in A$ est un polynôme, a…
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raoul : oui, il faudrait en principe ajouter ces relations. Comme le dit Math Coss, l'auteur définit $K\otimes_\Z (L\otimes_A M)$ qui est, en général, différent de $L\otimes_A M$.
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Je réponds à tes questions dans l'ordre.
1- En principe, oui, mais pas forcément en pratique. Je m'explique : la théorie des catégories "basique" est complètement auto-duale, comme tu l'as repéré, à cause de l'opération $C \leftrightarro… -
De manière générale, les gens se fichent d'étendre les scalaires dans ces cas pour les raisons suivantes:
1- Comme tu l'as remarqué on a un morphisme canonique d'algèbres (et donc d'algèbres de Lie) $L_k(V)\to L_K(K\otimes_k V)$
2- Ce mor… -
Je t'avoue que j'avais vu ta relance, mais j'étais très occupé et j'imaginais qu'on te répondrait, donc je n'ai pas fait gaffe. Désolé pour ça, j'espère que ça ira mieux maintenant :-D
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HT : rapidement, l'intérêt d'écrire $ad_{\mathfrak g'} $ et non pas $ad_\mathfrak g$ ou juste $ad$ est que tu vas ensuite l'appliquer à $s$ ou $\varphi(s)$, qui n'est plus dans $\mathfrak g$ a priori. De même, l'énoncé trivial que $ad(x)$ est à vale…
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Il y a une preuve très conceptuelle dans l'article de Dold et Puppe "Duality, trace and transfer", mais c'est un peu fortement catégorique. Je suis pas sûr autrement.
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Soit $f : A\to B, g: B\to A$ toutes deux injectives. Alors $f$ induit une injection $\leq_A\to \leq_B$, et similairement pour $g$. Puisque les deux sont finis, $f$ induit une bijection $\leq_A \to \leq_B$. En particulier, $f$ est une bijection et si…
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b.b. : tu ne définis pas un nouvel anneau ni même, comme le dit aurelpage, une nouvelle $k$-algèbre, mais tu définis bien une nouvelle $k[[x]]$-algèbre.
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Qu'est-ce qui ne te satisfait pas dans cette explication ?
Note qu'on a bien $k[[t]]\cong k[[t^n]][y]/(y^n-t^n)$ en tant que $k[[t^n]]$-algèbres (preuve : tu as bien sûr un morphisme canonique de la seconde vers la première, qui envoie $… -
Thierry : Comme l'a dit tout le monde jusqu'ici, on peut toujours toujours définir la catégorie opposée d'une catégorie, et comme l'a justement dit Foys, c'est un jeu d'écriture. Il s'avère que ce jeu d'écriture porte beaucoup de fruits, mais il n'y…
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Tu peux montrer que $\leq_A$ et $\leq_B$ ont la même taille, et conclure par le fait que : si $f: X\to Y$ est une injection entre ensembles finis de même cardinal, alors $f$ est une bijection.
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bisam : tu envoies $[0,1]$ dans $[0,1/4]$ et $[2,3]$ dans $[3/4, 1]$
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Elle n'est effectivement pas abélienne (penser au morphisme "identité" de $\mathbb R$ muni de la topologie discrète vers lui-même muni de sa topologie usuelle). Cet exemple montre par ailleurs que même pour "localement compact" on ne s'en sort pas. …
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topopot : Non c'est juste que savoir si "multiplier à droite" correspond à une opération "sur les colonnes" ou "sur les lignes"... je ne saurais pas te le dire sans reposer le calcul et me demander ce qu'est une colonne et ce qu'est une ligne :-D (i…
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Renart : merci pour la correction - j'ai oublié une grosse partie de l'analyse complexe, et ce résultat était le seul que je croyais connaître :-D
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Faisons du reverse-engineering un peu: deux fonctions analytiques sur un ouvert de $\mathbb C$ et qui coïncident en une infinité de points sont égales. On ne savait peut-être pas ça à l'époque (j'avoue que je ne sais pas...) mais c'était déjà vrai :…
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HT : si $P$ est irréductible et divise $\mu$, tu peux écrire $\mu = PQ$ donc $\mu' = P'Q + PQ'$. Donc, si $P$ divise aussi $\mu'$, $P$ divise $P'Q$. J'ai choisi $P$ irréductible, donc $P$ divise $P'$ ou $Q$. Dans le second cas, $P^2$ divise $…
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Les $T_{i,j}(\lambda) = I_n + \lambda E_{i,j}, i\neq j$ engendrent $SL_n(\mathbb K)$ - il est aussi bon de savoir que multiplier par $T_{i,j}(\lambda)$, selon que c'est à gauche ou à droite, correspond à faire l'opération $C_i \leftarrow C_i + \lamb…
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Manda: en plus je me disais que ça semblait bizarre, que je manquais quelque chose mais je prenais des racines $p$-èmes sans m'en soucier... grr merci - d'ailleurs ton exemple donne un contre-exemple non seulement à la preuve mais à l'énoncé (puisqu…
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1) L'application est continue en tant que restriction d'application continue (laquelle ? )
2) La réciproque est continue car tu peux l'écrire explicitement : $x\mapsto (N(x), \frac{x}{N(x)})$ -
La condition "sans facteur carré" ne dépend pas du corps de base : si $P\in k[X]$ et $L/k$ est une extension de corps, si $P= Q^2 R$ dans $L[X]$, alors il existe $M,N\in k[X]$ tel que $P = M^2N$.
C'est équivalent à "$P$ et $P'$ ont un fa… -
Oui, et l'automorphisme d'ordre 2 n'existe que dans une extension, mais j'imaginais qu'il dirait d'autres trucs dans ce papier (dans le "background"). Mais bon, si ça n'y est pas...
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(je mets des petits arguments, au cas où: On remarque que $\hom_K(V\otimes_K K, W\otimes_k K)\cong \hom_k(V,W\otimes_k K)$ par la propriété universelle de l'extension des scalaires, donc il suffit de montrer que pour un $k$-espace vectoriel $M$ quel…
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Ouais, comme tu dis je vois pas comment définir $\min(X)$ (puisque $S$ n'est pas définissable dans $\mathcal M$ et $X$ non plus, donc on ne peut pas tricher comme ça).
Pour ton idée précédente, l'intersection des $C_\alpha$ est vide puisque le… -
A tout hasard (j'ai lu le mot "dimension" à plusieurs reprises, et je ne comprends pas pourquoi), le morphisme canonique $\hom_k(V,W)\to \hom_K(V\otimes_k K, W\otimes_k K), f\mapsto f\otimes_k K$ est injectif pour toute extension $K/k$ (de corps, bi…
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J'ai jeté un rapide coup d'oeil en ligne. Il y a un papier de Cohen, "Automorphisms of set theory", qui devrait t'intéresser - je ne l'ai pas trouvé mais si tu le trouves...
Ce que je trouve en ligne ça a plutôt l'air de parler d'extensions de… -
Oui, elle est localement petite.
Et oui, sans cette hypothèse ton exemple convient (et puis, pourquoi pas l'addition ? ça marche aussi
Pourquoi ton $j$ est bien défini dans le cas de $\alpha$ entier non standard ? Il me semble que si $\mathcal M$ n'est pas $E$-bien fondé, cette formule n'a pas de raison de définir un $j$, si ? (je parle du "inductivement", pas du $j(\alpha)$) )
Bonjour!