Réponses
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Je n'ai pas de réponse à ta question, mais j'ai une autre question qui est proche : peut-on retrouver un graphe symétrique (à renumérotation près des sommets) uniquement à partir du polynôme caractéristique de sa matrice d'adjacence ?
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Il faut évidemment lire $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ dans la première inégalité...
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Bon, là j'ai le bon énoncé. En fait, il faut transformer l'étude asymptotique menée par bisam en inégalités. Pour cela, on vérifie à l'aide de Taylor-Lagrange que
$$1-\frac{x}{2}\leq \frac{1}{1+x}\leq 1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8}x^2$$
Ceci … -
Tu as tout à fait raison. J'ai travaillé sur un énoncé complètement différent... Sympa, mais complètement différent. Ouin.
Laotseu, qui du coup réfléchira aussi au vrai énoncé... -
Au passage, j'oubliais de préciser que $nu_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$. Remarque amusante : si on prend $v_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$, alors je pense par les mêmes arguments que $v_n$ est décroissant…
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En fait, il s'agit d'une inégalité de convexité. La fonction $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ est convexe, et pour tout $k$ on a
$$\frac{k}{n}=\frac{n-k}{n}\times \frac{k}{n+1}+\frac{k}{n}\times \frac{k+1}{n+1}$$
On en déduit dans la doul… -
S'il s'agit d'une matrice de corrélation, elle est symétrique et positive avec une diagonale de $1$. Ses valeurs propres sont donc positive, leur somme vaut $n$ et on cherche à majorer le produit. L'inégalité arithmético-géométrique permet alors d'a…
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Le plus rigolo, c'est qu'on a même utilisé les mêmes notations...
AD, pour la case Latex, le pire c'est que je l'ai cochée, mais le phorum n'a pas l'air navigateur-indépendant, et ce encore plus sur Mac... En tous cas, merci de l'avoir c… -
Désolé, je me suis fait griller sur le vif. On peut enlever le message précédent (ainsi alors que celui-ci ?)
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En fait, l'exercice est équivalent au théorème de Kronecker. Pour le voir, il suffit de prendre le polynôme P du thm et considérer la matrice compagnon associée.
Pour résoudre l'exercice sans trop passer par les polynômes symétriques, on… -
Bonjour. Il y a la réponse à la question dans un article de la RMS 116-2 de l'an dernier. Il y faut 6 pages assez denses et une application récursive du théorème de Baire. La démonstration transite par la notion de fonction "presque continue", ce qu…
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Poly très complet. Concernant les séries de Fourier c'était pas une bonne idée, c'était juste la densité des polynômes trigonométriques qui était nécessaire.
LaoTseu. -
Cher Victor-Emmanuel,
Je ne sais pas d'où je viens.
Je ne sais pas où je vais.
Je transcende les turpitudes par une ataraxie minimaliste.
J'ajoute d'ailleurs une question : est-ce que
$$\sum_{k=1}^n\frac{|\sin t|… -
En effet, je me suis trompé, j'ai mis le log au dénominateur au lieu de le mettre au numérateur. Pour démontrer la formule de façon raisonnable, tu montres d'abord que
$$\sum_{k=1}^n\frac{e^{ipk}}{k}$$
converge pour toute valeur de $p$.… -
Bonjour. Le résultat est clairement $\frac{2}{\pi \ln n}$. Cela a un lien avec l'équirépartition des parties fractionnaires de $n/\pi$ modulo $1$.
Laotseu. -
Déjà $u_n\sim u_{n+1}$ car $u_n\to 0$ et donc $u_{n+1}^2\in o(u_{n+1})$. Ensuite on en déduit que $\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}\to 1$ puis par Cesaro que $\frac{1}{u_n}\sim n$ et donc que $u_n\sim \frac{1}{n}$.
Laotseu. -
J'ai trouvé la démo, elle est assez jolie d'ailleurs. On a
$$f(a+h)=f(a)+h{\mathbf v}+o(h)$$
lorsque $h\to 0^+$ (${\mathbf v}$ est la dérivée de $f$ à droite en $a$). On a donc
$$||f(a+h)||=||f(a)+h{\mathbf v}+o(h)||=||f(a)+h{\ma… -
Bonjour. Je ne vois pas le rapport avec le fait que les normes soient équivalentes. Je pencherais plutôt sur une propriété de convexité/régularité de la boule unité.
Laotseu. -
Il ne faut pas montrer que les trois coefficients sont libres, mais qu'ils sont nuls.
En fait, il faut comprendre que {\bf Pour tout $P\in \R_3[X]$,} $\alpha$P(a) + $\beta$P(b)+$\gamma$P(c)=0. Ensuite tu exploites cette propriété en cer… -
La limite est bien $+\infty$, car $\frac{1}{1+t^q}\geq \frac{1}{2}$ sur $[0,1]$. Le reste de l'intégrale se calcule...
Laotseu. -
En fait non, il faut bien revenir à la définition. On obtient une égalité de formes linéaires sur $R^3$, que l'on applique aux polynômes $(X-a)(X-b)$ ainsi qu'à d'autres.
Je suis juste étonné par les hypothèses. En effet, on aurait pu : soit … -
Dans ce cas la majoration $\left|\frac{\sin a\sqrt{x}}{\sqrt {x}}\right|\leq a\leq M$ suffit lorsque $a\in [0,M]$.
On a alors la continuité sur $[0,M]$ pour tout $M$, donc sur $\R$.
Laotseu. -
Pour Ben : le polynôme $g^2$ coincide bien avec $f$ en $n$ points, mais $g^2$ est a priori de degré $2n$. Donc on ne peut affirmer que $f=g^2$.
Pour Alekk : si $Q$ et $R$ sont à coefficients rationnels, l'argument sur l'écart entre deux… -
Pour la 1, il faut passer au log et prouver que la fonction $x\mapsto \frac{\ln(1+x)}{x}$ est décroissante sur $\R^+$.
Pour la 2, je ne comprends pas. Ecrire que $\lim |u_n|=|l|$ ne définit pas $l$. Je ne comprends pas le reste.En fait on a même mieux puisque une fonction qui vérifie ça est localement linéaire autour de $0$, i.e. il existe un intervalle $[-m,m]$ sur lequel $f(x)/x$ est constante.Pour le deuxième exo, tout polynôme non constant tend vers $\pm \infty$ en l'infini, donc il est difficile que l'intégrale entre $k$ et $k+1$ tende vers $0$...
LaoTseu.En fait, je me suis trompé, ce n'est pas l'irrationnalité de $\ln 2$ mais celle de $\log 2$, le logarithme étant pris en base 10. Ce qui revient alors à l'irrationalité de $\ln 2/\ln 5$.
Cordialement,
LaoTseu.En utilisant l'irrationnalité de $\ln(2)$ et donc la densité des $k\ln(2)$ modulo $1$.
Laotseu.Borde, merci de ta réponse. L'encadrement de $p_n$ que tu cites est plus fort que le TNP, tandis que la limite est plus faible. Cela me gène de passer par la preuve "élémentaire" de Selberg du TNP pour obtenir un résultat plus faible.
Mais bo…La décroissance ne sert a priori à rien, sauf peut-être pour garantir la positivité de $u_n$. De plus,
$$\frac{R_{n-1}-R_n}{R_n}\geq \int_{R_n}^{R_{n-1}}\frac{dt}{t}$$
avec ça tu devrais t'en sortir.
Laotseu.
PS …Les nombres $x$ qui sont ni dans A ni dans B s'écrivent comme un produit $ab$, où on peut prendre $b\geq 3$ impair (car $x$ n'est pas une puissance de 2) et $a\geq 2$.
On a alors $x=t_m-t_n$ si et seulement si $(m-n)(m+n+1)=2ab$. Deux p…Bonjour Juju. Es-tu sur de ton énoncé ?
N'y aurait-il pas un terme multiplié par l'indicatrice, par exemplee $iux$ ?Matthieux638, ta méthode est juste, mais elle ne sert juste à rien :-)
Les nombres de la forme C s'écrivent (6S+1)(6T+1).
Les nombres de la forme D s'écrivent (6S+1)(6T-1).
Les nombres de la forme E s'écrivent (6…Bonjour. Le plus facile est de prendre un endomorphisme bijectif en dimension infinie. On prend par exemple $E=\R[X]$ avec la norme du max des coefficients, et on prend $u\in {\cal L}(E)$ qui envoie $X^n$ sur $\frac{1}{n+1}X^n$. Alors $u$ est conti…Que la sagesse du 4 soit sur toi.
LaoTseu, qui a décidé de se mettre une deuxième majuscule, non mais.Bon, j'ai fait les calculs. Sauf erreur (tout à fait possible, j'ai pas de Maple sous la main pour vérifier), je tombe sur
$$p_n=\frac{7+\sqrt{45}}{2\sqrt{45}}\left(\frac{5+\sqrt{45}}{12}\right)^n-\frac{7-\sqrt{45}}{2\sqrt{45}}\left(\frac{5-…RAJ : tu ne comptes que les suites qui comportent {\bf exactement une fois} deux 4 d'affilée. Si tu fais une partition sur le nombre de "couples" 4-4, comment comptes-tu xx444xxx ?
Mathieu : avec la récurrence fournie, on prouve facilem…Le contexte est assez facile à deviner. Le produit $m=x_1\dots x_n$ est un entier impair quadratfrei, et $A$ est le quotient $s(m)/m$, où $s(m)$ est la somme des diviseurs de $m$. C'est ça ?
Maintenant, le terme de gauche est d'autant …Effectivement, les événements 4-4-* et *-4-4 ne sont pas disjoints. La probabilité de leur union est alors inférieure à la somme des probabilités. Pour avoir la réponse à la question, qui est d'ailleurs non triviale, on s'intéresse à l'événement c…Bonjour.
Quelques idées en vrac :
- si on considère la suite $z_{n+1}=\frac{1}{2+z_n}+\alpha$, elle converge assez vite (exponentiellement) vers une limite $l(\alpha)$, racine positive de l'équation $X(2+X)=1+\alpha X$. Le calcul de $l…
Bonjour!