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Réponses

  • Bonjour,
    On peut en effet associer à une telle matrice $A$ l'application $f:[\![1;n]\!]\to [\![1;n]\!]$ ainsi définie:
     $u$ désignant l'endomorphisme de $\mathbb K^n$ représenté par $A$ dans la base canonique $(e_1,e_2,...e_…
  • Re,
    $\bullet\: p>\dfrac 12 \quad P_n =1- \displaystyle \sum_{k\leqslant n/2}\binom nk p^k q^{n-k}=1-\sum_{k\geqslant n/2}\binom nk q^k p^{n-k},\quad q<\dfrac 12, \quad \lim_{n\to+\infty}\sum_{k\geqslant n/2}\binom nk q^k p^{n-k}…
    dans Exercice de probas ? Commentaire de LOU16 4 Jul
  • Notons $P_n =\displaystyle \sum_{k> n/2}\binom nk p^kq^{n-k}=\mathbb P\left(S_n> \dfrac n2\right)\:\:$ où $\quad S_n\hookrightarrow \mathcal B(n,p).$
    $\bullet \text{ Si } p<\dfrac 12.\quad$ Alors $P_n \leqslant\mathbb P\Big […
    dans Exercice de probas ? Commentaire de LOU16 4 Jul
  • Bonjour,
    Soit $n \in \N^*,\:\:E=\{1,2,\dots n\}. \mathfrak S_n \text { opère naturellement sur chacun des ensembles } E,\:\mathcal P(E),\:\mathcal P\left(\mathcal  P(E)\right).$
    J'ai cru comprendre qu'il s'agissait de déterm…
  • Bonjour,
    Dans la même veine, voici une autre bijection $\N\to \Q^+,\:$ plus délicate à élucider me semble-t-il.

    Soit $(u_n)_{n\in\N}\: $ la suite définie par $u_0=0, \:\:\forall n\in \N, \:\:u_{n+1} =\dfrac …
  • Bonjour,
    Pour l'implication: $\:\boxed{f \text{ non cyclique }\implies \text{ il existe un sous-espace propre de dimension supérieure à }2.}$

    Si $f$ n'est pas cyclique, alors  $\text{ deg }\mu_f =k<…
  • Bonjour,
    Après avoir remarqué l'équivalence $\quad (a+xb)\wedge nb =1 \iff( a+xb)\wedge n =1,\:\: $ je trouve que:
    $$\text{Soit } \:\widehat{\mathbb P} :=\Big\{p\in \mathbb P \mid p\text{ divise }b\Big\},\quad d :=\displayst…
  • Bonjour,
     Il n'est peut-être pas inutile de mentionner ce  paramétrage bien connu de l'ensemble  des "triplets pythagoriciens primitifs":
    $$\text{ Si }\:\mathcal E:=\Big\{(a,b,c) \in \N^3\mid a^2+b^2= c^2,\:a\wedge b \wedge …
    dans Triplets pythagoriciens Commentaire de LOU16 31 May
  • Bonjour,
    Je ne vois rien d'uniforme dans la convergence  de $\displaystyle\left( t\mapsto\sum_{n\geqslant 1}t^{n-1}\sin n\theta\right)_{n\in \N^*}$ sur $[0;1[.\:$  En effet, si $\theta =\dfrac{\pi}2, $ alors: $\: \forall t \in […
  • Bonjour,
    Soit $(u_n)_{n\in\N^*}\: $ la suite définie par $u_1=1,\:\:\forall n \in \N^*, \:u_{n+1} =u_n(1+u_n)+2.\quad $ Alors:
    $\forall n \in \N^*,u_{n+1}\equiv u_n \mod 3^n,\quad u_n^2+2\equiv 0 \mod 3^n.$
  • Bonjour,
    Ce qui suit me semble être une réponse positive à ta question.
    Soit $G_p$ le groupe de Galois de $P$ sur $\mathbb F_p$ et $\mathfrak P$ un idéal maximal de $\Z[\alpha,\beta,\overline{\alpha},\overline{\beta}]$…
    dans Groupe de Galois Commentaire de LOU16 21 May
  • Bonjour,
    L' "argument modulaire" me semble ici très indiqué pour déterminer le groupe $G$, groupe de Galois du polynôme $P(X) =X^4-2X+2\:$ sur $\:\Q.$
    $\bullet\:\:P(X)$ ne s'annule pas dans $\mathbb F_3$ et dans $\mathbb F_3…
    dans Groupe de Galois Commentaire de LOU16 20 May
  • Bonjour,

    $\sum _nu_n^2$ converge donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n= \lim_{n\to +\infty} v_n=0.\:\:$ (Cesàro).                 Notons $\:\:S_n :=\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k,\:\:\:\:T_n: =\sum_{k=1}^n v_k^2.\…
    dans Une question sur Cesàro Commentaire de LOU16 17 May
  • Bonjour,
    Les extensions quadratiques de $\Q$ contenues dans $\Q(\zeta)$ sont: $\:\Q(\mathrm i),\:\: \Q(\sqrt 5)\: $ et$\:\:\Q(\mathrm i\sqrt 5).$
    D'autre part, $\:\Q(\zeta) $ contient trois extensions de $\Q$ de degré $4$ qu…

  • Bonjour,
     Pardon  de proposer une  justification d'une expression  de  $\cos\left(\dfrac{2\pi}{17}\right)$ en contribuant à la cacophonie créée par la multiplicité des réponses.

    $\bull…
  • Bonjour,
    On déduit facilement de l'expression que j'ai donnée de $U(n),\:$ que $U$ est croissante et que:$\:\displaystyle U(n) \underset{n\to +\infty}{\sim} \dfrac{2n \ln n}{\ln 2}.$
  • Bonjour,
    Je trouve: $\quad u_n =\Big\lceil{ \dfrac {\sqrt{8n+1}-1}2\Big\rceil }$
  • Bonjour,
    Au terme de considérations un peu fastidieuses mais élémentaires, j'ai établi, pour tout entier $n$, une expression de $U(n)$ qui permet de statuer sur sa divisibilité par $n:$ $$\boxed{ \forall n \in \N_{>1}, \quad \begin…
  • Bonsoir,
    $\forall (k,i)\in \N^*\times [\![1;n]\!], \quad p_{k i}:= \mathbb P(X_k=i)$
    $U_k :=(p_{k1},\:p_{k2},....p_{kn}),\quad A =(a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal M_n(\R) $ est définie par: $a_{ij} =\le…
  • Re, @Sneg
     Je considère que ce que j'ai fait relève  de "l'artisanat". Ce qui peut éventuellement paraître "théorique", c'est le fait que je définis…
  • Bonjour,
    Le dénombrement lié au "problème du voleur qui dispose de trois sacs "  n'est guère plus compliqué. Seule la gestion de l'indifférenciation des sacs demande un peu de soin.
    Soient $E:= [\![0,9]\!]\times[…
  • Bonsoir,
    $\bullet\:$Pour la suite $(x_n)_n,\:\:$ je propose ça:
    $\forall n\in \N,\:\:x_{n+1} =a_{n+1} +\dfrac{b_n}{x_n}.\quad \displaystyle \lim_{n\to+\infty}a_{n} =1,\:\:$ donc $\exists N \in \N \: $ tel que $\forall …
    dans Limite suite numérique Commentaire de LOU16 18 Apr
  • Bonsoir,
    L'équation $T_m=n^3$ se révèle plus délicate.
    $\boxed{\text{ Lemme: }\:\forall (x,y) \in\Z^2, \:\:x^3+2y^3 =1 \iff (x,y)\in \Big\{(1,0) ; (-1,1)\Big\}.}$
    Soit $\alpha = \sqrt[3] 2.\quad$ Alors: $\:\:…
  • Bonjour,
    Voici une résolution de $T_m=n^4.$
    $\boxed{\text {Soit } (x,y)\in\N^*\times\N^*,\:\text{  tel que }\:x(x+1)=2y^4\quad (\bigstar).}\:$ On veut prouver que le seul couple qui convient est $(1,1).$
    Av…
  • Bonsoir,
    $\bullet\:$Comme le dit @lourran, l'équation $T_m=aT_n$ possède une infinité de solutions lorsque $a$ n'est pas le carré d'un entier.
  • Bonjour Gebrane
    Je peux t'indiquer la manière dont j'ai procédé, en espérant que cela soit plus clair.
    Soit à résoudre dans $\N^2$ l'équation $\:x^2-8xy+y^2+x+6y-2=0.$
    $\bullet \:\text{ Première étape:  on se ramè…
  • Bonjour Gebrane,
    Ma réponse est en adéquation avec celle  de "wolfram", qui ne me paraît pas la plus simple possible.: les solutions peuvent aussi toutes s'exprimer sous la forme d'une unique combinaison linéaire de $(4+\sqrt{15})^n $…
  • GG a dit :
    Cette équation est très proche de celle qu'a résolue LOU16. Ça me surprendrait qu'elle n'ait pas de solution comme tu l'affirmes. Cela voudrait dire que
    $\Delta = (1 - 4b)^2 - (b^2 + 2…
  •  Bonjour
     Je me contente de décrire de manière précise ce que j'ai trouvé pour l'ensemble $\mathcal S$ des solutions $(b,n)\in \N^2$ de l'équation diophantienne (de GG  7 avril)  $$b^2+n^2-8bn+n+6b-2=0.$$
    Soient $u$ et $v$ l…
  • Bonsoir Etanche,
    Je ne comprends pas bien ta question. Je ne sais pas si ma réponse va te convenir.
    On définit l'ensemble des "directions des droites de $\Q^3$" (c'est-à-dire le plan projectif $\mathbf P(\Q^2)$ en choi…
    dans Solution paramétrique Commentaire de LOU16 4 Apr
  • Oui. Le paramétrage par une sécante rationnelle est loin d'être unique. Il dépend bien entendu du point $A$, mais aussi de la façon dont on choisit "le" vecteur directeur.Dans mon exemple, j'avais pris: $(1,u,v).$ mais on aurait tout aussi bien choi…
    dans Solution paramétrique Commentaire de LOU16 4 Apr
  • Je ne sais pas trop quoi te répondre, si ce n'est "$(u,v,1)$, c'est le triplet  de coordonnées du vecteur dirigeant la droite $\mathcal D_A(u,v)$,qui dépend des paramètres $u$ et $v$."
    A chaque $(u,v)\in\Q^2$, correspond un unique poi…
    dans Solution paramétrique Commentaire de LOU16 4 Apr
  • Bonjour@etanche
    C'est bien la "sécante à pente rationnelle" $\mathcal D_A(u,v) $ qui désigne la droite passant par un point $A$ de la quadrique et dirigée par le vecteur $(u,v,1)$
    dans Solution paramétrique Commentaire de LOU16 4 Apr
  • Bonsoir,
    Pour les solutions rationnelles,  on a toujours un paramétrage rationnel d'une quadrique, par exemple:
    $x=\dfrac{5u-v}{uv+1},\:\:y =\dfrac {5u^2+1}{uv+1},\:\:z =-\dfrac{v^2+5}{uv+1}\quad u,v \in\Q,\:\:\:uv \neq -1\:…
    dans Solution paramétrique Commentaire de LOU16 3 Apr
  • Bonsoir@Gebrane
    Puisque j'ai pris $a$ et $b$  premiers entre eux, on a l'équivalence $\sqrt{ab}\in \N \iff \sqrt a,\sqrt b \in\N\qquad$ De toutes manières, sans cette hypothèse:
    $bn^2-am^2 =N\iff (\sqrt{ab}n)^2-(am)^2 …
  • Bonjour,
    Concernant le problème d'arithmétique qui fait l'objet des derniers messages, voilà ce que je pense avoir clairement établi:
    Pour tous entiers naturels non nuls $a,b$,distincts, premiers entre eux , je n…
  • Bonjour @Marco8
    Tes questions  sont  tout-à-fait justifiées et nullement petites.
    $\bullet\:$ Pour $w_{3n} $ , c'est en effet le point c…
  • Bonjour @Marco8.
    Peut-être est-il possible de déterminer directement l'unité fondamentale de $\Z[\omega]$ avec un outil informatique adéquat.
    J'ai …
  • Bonjour
    Il est vrai que la gestion de l'abondance des unités présentes dans $\Z[\sqrt 2]$ n'est pas de tout repos. Je pense néanmoins être parvenu (très laborieusement) à surmonter ces difficultés, en utilisant quelques rudiments de la "th…
  • Bonjour
    Pour la première question, en notant $T$ le nombre de tirages nécessaires à la disparition des faces visibles PILE, $ \mathbb E(T)$  peut être obtenu avec "l'analyse du premier pas" et le système linéaire qui en découle et qui met …
    dans Retournement de pièces Commentaire de LOU16 26 Mar
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