Réponses
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Merci remarque, ça marche !
gebrane0 : la proposition précise que l'espace d'arrivée doit être complet pour qu'il y ait équivalence. -
C'est bon en fait il faut revenir à la définition de la continuité avec les $\epsilon$ et utiliser la continuité de $\tan$ et $\arctan$.
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J'ai jamais vraiment fait de géométrie en fait. Même cette formule je ne vois comprends elle équivaut à $y=\frac{1}{1-x_n}(x-x_n e_n)$ :-S
Je vais me contenter de la preuve algébrique de l'homéomorphisme et tâcher de m'en souvenir. -
Quelqu'un peut donner la solution avec Thalès permettant de montrer que $y=\frac{1}{1-x_n}(x-x_n e_n)$ ?
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Mais on ne connaît pas :
- le côté horizontal et l'hypothénuse du triangle vert
- le côté horizontal et l'hypothénuse du triangle rouge -
En fait je ne vois pas ce que vient faire Thalès. Ce qu'on cherche ce sont les projections de $y$ sur $x$ et $e_n$ (le pôle Nord) non ?
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Alors là je ne vois pas du tout comment appliquer Thalès (que je crois ne pas avoir utilisé depuis le collège), il y a plusieurs composantes etc :-(
Il faut reconstruire des triangles pour faire apparaître les relations ? -
Sur la figure suivante, pouvez-vous m'expliquer comment est obtenue la formule $y=\frac{1}{1-x_n}(x-x_n e_n)$ ?
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Effectivement. Bon ce n'est pas simple pour moi et comme à leurs habitudes les auteurs de ce livre (Marie Dellinger et Zoé Faget et Jean-Pierre Marco) baclent la rédaction avec plein de coquilles, pas de dessin, et pas de détails. Quelqu'un a une ré…
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Est-ce que l'égalité là est correcte ? $$
\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=\frac{1}{(u_1^2+\cdots +u_n^2 +1)^2}\Big(1+4\sum_{i=1}^{n}u_i^2+\sum_{i=1}^{n}u_i^4+2\sum_{1\leq i<j\leq n}u_i^2 u_j^2-\sum_{i=1}^{n}u_i^2\Big)$$ -
Oula... Il faut que je me réveille, je recommence. On pose $u_{n+1}=-1$.
$\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=\frac{1}{(u_1^2+\ldots +u_n^2 +1)^2}(1+4\sum_{i=1}^{n}u_i^2+\sum_{i=1}^{n}u_i^4+2\sum_{1\leq i<j\leq n+1}u_i^2 u_j^2)$ -
En ayant posé $u_{n+1}=1$, le dénominateur développé donne : $1+\sum_{i=1}^{n}u_i^4+2\sum_{1\leq i<j\leq n+1}u_i^2 u_j^2$ je ne vois pas ce que ça simplifie :-S
Si on développe de même le numérateur ça donne quelquechose d'horrible. -
Je m'en doutais mais je ne parviens quand même pas à montrer que $\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=1$ :
$\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=\frac{1}{(u_1^2+\ldots +u_n^2+1)^2}(4u_1^2+\ldots +4u_n^2+(u_1^2+\ldots +u_n^2-1)^2)$ -
Merci c'est bon. On peut ensuite montrer que $(F,\mathcal{T}_F)$ est compact qu'on appelle le compactifié d'Alexandroff de $(E,\mathcal{T})$, ce qui m'a posé moins de problème. C'est assez joli ce truc je trouve :-)
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Ok c'est bon pour la stabilité par réunion quelconque de $\mathcal{T}'$. Comme par définition d'une topologie, $\mathcal{T}$ est aussi stable par réunion quelconque, pour montrer que $\mathcal{T}_F$ l'est aussi, il suffit de montrer comme dit GaBuZ…
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Edit.
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Je relance.
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J'ai l'impression qu'il y a plusieurs cas à distinguer.
- Si pour tout $i\in I,\omega\notin O_i$ alors pour tout $i\in I$, il existe un compact $K_i$ dans $E$ tel que $O_i=E\backslash K_i$ donc $\bigcup_{i\in I}O_i=E\backslash\bigcap_{i\in I}K… -
Ok c'est bon merci.
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Ah, joli c'est ce que je recherchais !
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Ok merci du coup avec tes notations, si on positionne $v$ et $u$ sur le cercle unité, l'angle (en valeur absolue) entre ces derniers est $|\alpha -\beta |$ donc la longueur de l'arc entre ces derniers est bien $1\times |\alpha-\beta|=|\arccos(\cos(u…
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Ok ça marche. Je pense qu'il faut préciser que les intervalles sont non vides, ce qui est bien le cas car des composantes connexes sont non vides. Sinon on peut avoir une infinité non dénombrable d'intervalles ouverts. D'ailleurs, j'aurais séparé dè…
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Merci.
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Effectivement !
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A noter que Ramis motive ce choix de "préférer" les fonctions continue à valeurs dans $D$ plutôt que la définition, voir fin de la démo ci-dessous :
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Une autre comparaison : L3 analyse vs Ramis (qui note $D=\{0,1\}$) pour la propriété "une partie coincée entre un connexe et son adhérence est connexe".
Je trouve qu'il n'y a pas photo^^ mais c'est vrai que c'est affaire de goût.Ici il y a plusieurs auteurs dans ce livre. Je pensais que l'un des intérêts de tels livres était les lectures croisées.
Pour les vraies erreurs, voir ici : dans Erreur ? Analyse L3 Pearson Commentaire de L2_maths August 2015Supposons par l'absurde que $\Q$ est discret dans $\R$. Comme $\{1\}\subset\Q$, $\{1\}$ est ouvert dans $\Q$ donc il existe un ouvert $O$ de $\R$ tel que $\{1\}=O\cap\Q$. $O$ est un voisinage de $1$ dans $\R$ donc il existe $\epsilon\in\R_{+}^*$ tel…Et pour $\N$ et $\Z$ ?L'ouvrage n'a pas été relu ? Qu'a répondu M. Marco ? Est-ce qu'il y aura une réédition ?Du coup $\N$ et $\Z$ sont discrets dans $\R$ mais pas $\Q$ c'est bien ça ? Je crois que c'est à cause de la densité de $\Q$ dans $\R$. Mais comment rendre mon raisonnement correct du coup ?Si je le pensais pas je l'aurais pas écrit. Le 2) est donc faux.Merci tu as raison c'est bon, il n'y a en fait plus "rien" à démontrer :-)Travaillant également sur ce livre et ne pensant pas être le seul, je pense qu'il serait intéressant de créer un fil sur lequel nous répertorions les erreurs trouvées. J'en ai déjà trouvé plusieurs personnellement et c'est bien dommage car hormis…En fait si jamais on fait des réunions quelconques sur des éléments de $\mathcal{B}$ donc de la forme $[x,+\infty[$ avec $x\in\R$, on obtient un ensemble de la forme $]y,+\infty[$ ou $[z,+\infty[$ avec $y$ et $z$ réels d'où le résultat. Je ne sais p…D'accord merci.Bon je dois louper quelquechose de fondamental ce n'est pas du tout clair pour moi. De plus $a$ peut être égal à $0$ ou $1$, et même négatif.$A_{a,b}=a\Z+b$ mais je ne vois pas le lien avec $\Z\setminus A_{a,b}$.Par contre je n'arrive pas à montrer qu'un ensemble arithmétique est fermé pour la topologie engendrée par $\mathcal{B}$.
Soit $X$ un ensemble arithmétique. Si $X=\emptyset$ alors $X$ est fermé. Sinon, il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $X…
Bonjour!