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Il s'agit de trouver un élément $s$ de $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}^{\ast}, \times\right)$ tel que $(q+2)\times s=s\times (q+2)= 1$. Autrement dit, $s$ est tel que $(q+2)\times s=1+2q\cdot k$, $k\in \mathbb{Z}$. On va considérer deux cas selo…SalutSuite à la vigilance d'un membre du groupe, la deuxième partie que je viens de barrer n'est pas exacte.Bonjour
Pour tout entier impair $x\geq 3$, si on désigne par $\alpha(x)=Ord_{x}(2)=\min\{a\in \N^{\ast}\mid 2^{a}\equiv 1\bmod x\}$, où $Ord_{x}(2)$ est l'ordre de $2$ modulo $x$, alors on a aussi $4^{\alpha(x)}\equiv 1 \bmod x$.
Et pour …On en déduit donc que pour tout nombre impair $q\geq 3$, le nombre $(q+2)$ est inversible pour la multiplication dans l'anneau $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}, +, \times\right)$, autrement dit $(q+2)\in \left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}\right)^{\times}$.…Bonjour
En effet $1+1000^{8}=1+\left(10^{3}\right)^{8}=1+10^{24}=1+\left(10^{8}\right)^{3}=\left(1+10^{8}\right)\times \left(1-10^{8}+\left(10^{8}\right)^{2}\right)$.
Et on en déduit que $1+1000^{8}$ est divisible par $1+10^{8}=10…Bonjour,
Pour $n>0$ un nombre pair, c'est-à-dire $n=2\cdot p$, $p\in \mathbb{N}^{\ast}$, le nombre $4\cdot 3^{n}-1=4\cdot 3^{2\cdot p}-1=\left(2\cdot 3^{p}-1\right)\cdot \left(2\cdot 3^{p}+1\right)$ est toujours composé.
L'étude …dans Critère de primalité pour les nombres de la forme $N=4 \cdot 3^n-1$ Commentaire de JRManda November 2023@philou22 rien de plus que les informations fournies par le lien que tu as publié ci-dessus.Bonjour,
Ne s'agit-il pas de la persistance multiplicative des nombres ?Bonjour,
Les expressions Latex de mes commentaires et/ou discussions ne sont pas compilées comme il se doit. Résultat, l'aperçu n'est pas ce qui est souhaité.
C'est dû à quoi et comment y remédier ?
Bien cordialement.Bonjour
Je constate ce problème également. Les expressions Latex dans les commentaires ne sont pas compilées et affichées dans les aperçus telles qu'on le souhaite.
Cordialement.Bonjour tout le monde,
Je suis content de constater que le forum est de nouveau fonctionnel. C'est l'essentiel.
Chapeau bas à l'équipe informatique.Salut
En remarquant qu'à chaque étape, $\max (u_{n-1}, u_{n-2}, n)=n$ et $\min (u_{n-1}, u_{n-2}, n)=1$, on pose $$a_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n-2}+n}{n}\quad\text{et}\quad b_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}+n.$$ Et de là on a donc $$a_{n}\leqslant u_{n}\leqslan…Bonjour
À propos de supernombres de Poulet particuliers, je partage ci-dessous quelques séquences pouvant contenir un carré d'un nombre premier de Wieferich :- $1093^{2}$, $4733$, $112\hspace{3pt}901153$, $23140\hspace{3pt}4…
@stfj. Je suis d'accord avec toi du moment où tu raisonnes ici sur les classes d'équivalence toutes entières alors que moi, je me suis limité aux élé…Malheureusement le théorème n’est pas vrai. Car dans $\left(\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}\right)^{\times}$, $71\in J_{4}$ est son propre symétrique et n’est pas un nombre premier de Sophie Germain. En effet on a $71\times 71 =5041\equiv 1\hspace{…
Je n'ai pas su comment appliquer la formule récurrente $S_{n+1}=(2n-(n-1))+1800$ pour comprendre la suite, mais soit.
Ma démarche ici est de prouver que si le nombre de nombres premiers $p$ tels que $4\cdot p^{2}+1$ soit aussi premier est…Pour la première question, et si on a su montrer qu'un nombre de Poulet composé ne pouvait pas s'écrire de la forme $(4\cdot p^{2}+1)$ avec $p$ un nombre premier, le nombre $2$ peut-il être un menteur d'Euler pour le test de $(4\cdot p^{2}+1)$ ?
Absolument. En effet, ce qui rend le test probabiliste c'est quand au départ on n'ait pas su filtrer les menteurs (d'Euler dans le cas présent). Mais si par quelque moyen que ce soit, on est sûr que $2$ n'est pas un menteur d'Euler pour les nombres …Le nombre premier choisi tel qu'indiqué, $4\cdot p^{2}+1$ est premier dès qu'il vérifie $(2^{2\cdot p^{2}}+1)\equiv 0\hspace{3pt}($mod $(4\cdot p^{2}+1))$. En effet, dans ces conditions, le nombre $2$ n'est pas un menteur d'Euler pour le test de pri…En sus des nombres de Poulet (composés je sous-entends), tout nombre premier impair $n$ vérifie aussi $2^{n}\equiv 2\hspace{3pt}($mod $n)$. Mais ici, le choix du nombre premier $p$ dans la plage indiquée ci-dessus ne fournit pas $4\cdot p^{2}+1$ un …L'implication vient du test de primalité de Solovay-Strassen avec $4 p^{2}+1$ qui n'est pas un nombre de Poulet.Comme la borne supérieure de $I=\int_{0}^{1}\frac{d x}{x^{5}+1}$ est finie, la méthode des résidus ne semble pas indiquée. Par contre, on peut procéder par la méthode de décomposition en éléments simples de la fraction $\frac{1}{x^{5}+1}$.
Merci à vous tous. J'ai beaucoup appris
Si on pose $q=(2^{k}-1)$, $k\in \N$, $k\geqslant 2$, alors les processus $C$ et $C_{k}$, $k\geqslant 2$ sont tous deux des généralisations du problème $"3\cdot x+1"$ sous la forme $"q\cdot x+1"$, avec $q\geqslant 3$ un nombre de Mersenne. Et donc $C…Bonjour,
Tout en espérant que je ne pose pas un problème dans un autre problème, j'ai lu quelque part que :
$$\forall p\in (2\mathbb{N}+2),\ \forall m\in (\mathbb{N}+2),\quad\varphi(p^{m}-1)\geqslant m\cdot \frac{\ln(p)}{\ln(2)}.@LOU16
Merci pour les indications.
Et de cela, on en déduit que si $C_{n}$ est un nombre premier de Carol, alors c’est un facteur premier de $M_…Bingo !
@i.Zitoussi a tout dit à propos de ce sujet. Ce n'est pas parce que la proportion des entiers $A$ de départ pour lesquels il existe un rang $n$ tel que $…@aumeunier
Dans la factorisation de $M_{4\cdot 5}=(2^{4\cdot 5}-1)=3\times 5^{2}\times 11\times 31\times 41$, tu viens de mettre en évidence un nombre p…Bonjour
@MMU
Les articles dont j'en ai parlés sont en ce moment en évaluation au Journal de la Théorie des Nombres de Bordeaux. Le premier s'intitu…Bonjour,
A mon avis, je pense que la suite de départ $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ postée par @MMU et celle proposée par dans Existence d'entier Commentaire de JRManda September 2020A mon avis, il serait plus intéressant d'étudier cette suite sous sa forme généralisée. A savoir :
Soit $q\in (\mathbb{N}+3)$, et $A$ un entier naturel donné avec $A > 2q$. On considère ensuite la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ déf…Bonjour,
@lourrran
Effectivement cette conjecture – car tout porte à croire que ç’en est une – fait beaucoup penser à celle de Syracuse sur la…Bonjour,
@bisam
Je viens d'essayer avec $A=364$, $A=1093$ et $A=3280$. J'ai poursuivi les essais avec $A=3884$, et là, la plus petite valeur enti…Par le calcul, on remarque que $\forall A >6$, $x_{n}\in \mathbb{N}$, pour $n\geqslant 5$. 8-), Désolé, ce n'est pas une démonstration.Bonjour,
@depasse : Non, ce n'est pas de la congruence modulo $p(p-1)$ qu'il s'agit. Les facteurs premiers qui sont supérieurs à $M_{p}=(2^{p}-1)$ sont dan…Bonjour à tous,
Sans trop rentrer dans le détails, le travail que je suis en train de finaliser m'a permis de repartir tous les nombres premiers en 4 classes deux à deux disjointes. A savoir :- La classe $C1$ : les nombres ultra-p…
Bonjour
@LEG
En attendant l'avis des autres, j'essaie de traduire autrement ce que j'ai écrit.
Pour $p$ un entier naturel non nul, le…Bonjour
@depasse
En effet, je suis en train de faire un travail sur une certaine classification des nombres premiers. Et à un certain niveau d'…Dans une autre discussion sur le sujet Sur les nombres premiers posté il y a à peu près deux mois par @franckfranck, voici une démonstration propos…@aumeunier : Le petit théorème de Fermat nous permet de dire que $M_{\varphi(p)\cdot p}=(2^{(p-1)\cdot p}-1)$ est divisible par $p^{2}$. Par conséquent, $p$ est un …
Bonjour!