Izolg

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  • Désolé, je me rends compte que j'étais hors-sujet. Message supprimé.
  • Concernant le jour 9,
    J'ai un doute sur le passage à la limite sup et la limite inf. En notant $\ell\in [0,1]$ la liminf et $L\in [0,1]$ la limsup. Alors on trouve plutôt $L = |\ell-1|$ et $\ell = |L-1|$ (satisfait par exemple p…
  • Pour jour 7
    a) avec $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
    On a $f(f(n))=n+2023$ donc $f(n)+2023=f(f(f(n))=f(n+2023)$ ainsi si on prend un $n\in \mathbb{Z}$ le résultat de $f(n)$ modulo $2023$ ne dépend que de…
  • Une fois que tu as dessiné le graphe de $f_n$ et que tu arrives à visualiser comment il évolue quand $n$ varie, tu devrais trouver assez facilement la solution.
    dans Espace non complet Commentaire de Izolg October 2023
  • Tu as fait un dessin de $f_n$ et de $f_p$ ?
    dans Espace non complet Commentaire de Izolg October 2023
  • Autre stratégie pour la contradiction : regarder la valeur de $f(0)$ et utiliser le fait que $f$ est continue en $0$.
    dans Espace non complet Commentaire de Izolg October 2023
  • 1- le but c'est de montrer que l'espace n'est pas complet, ton énoncé va te donner une suite de Cauchy qui n'a pas de limite, à toi de vérifier qu'elle est de Cauchy, et qu'elle est n'a pas de limite
    2- La valeur exacte n'a aucu…
    dans Espace non complet Commentaire de Izolg October 2023
  • La suite $(f_n)_n$ est de Cauchy, par l'absurde soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1])$ sa limite. (ie $\Vert f_n - f\Vert_2 \to 0$).
    On pourrait par exemple montrer que $f(x)>3/4$ sur $]0,1]$ et $f(x)<1/4$ sur $[-1,0[$ ceci sera une …
    dans Espace non complet Commentaire de Izolg October 2023
  • Est-ce que tu as eu un cours (ou est-ce que tu as des connaissances) sur les familles sommables ou pas du tout ?
    Le théorème de sommation par paquets dit essentiellement la chose suivante : si $I=\sqcup_{m\in \mathbb{N}}I_m$ alors $\s…
  • La famille $\left(\frac{A^kB^l}{k!l!}\right)_{k,l\geq 0}$ est sommable (prendre une norme d'algèbre et majorer).
    On fait de la sommation par paquets :
    d'une part : $\sum_{k,l\geq 0}\frac{A^kB^l}{k!l!} = \sum_{k\geq 0}…
  • L'existence de cette limite c'est grosso modo le même problème que la bonne définition de $\delta$, si $p$ est fixé on vérifie que $(d(x_p,x_q))_{q\geq 0}$ est une suite de Cauchy car $(x_n)_{n\geq 0}$ est de Cauchy. Or une suite de Cauchy réel…
  • Si $(u^n)_{n\geq 0}$ une suite d'élément de $\hat{E}$ qui est de Cauchy. Le but est essentiellement de trouver un bon candidat pour la limite.
    Par densité, il existe pour chaque $n$ fixé, un élément $a_n\in E$ tel que $\delta(j(a_n), …
  • Au passage la borne $1/2$ est bien optimale. Prenons $X=Ber(1/2)$, $Y=Ber(1/2)$ avec $X$ et $Y$ indépendantes, et posons $Z=X+Y [2]$ (modulo $2$), alors on vérifie que $X,Y,Z$ sont indépendantes 2 à 2.
    On peut poser $A:= \…
  • Pour répondre à ta question LeVioloniste,
    Le cas $S_n<1$ et $S'_n<1$ est possible, mais il ne garantit pas qu'on aura $S_{2n}\geq 1$.
    En gros on écrit
    $\{S_{2n}\geq 1\}= \{S_n\geq 1\}\cup \{S_n <1\text{ et…
  • Bonsoir,
    le $l^2$ provient certainement du fait que $S_n$ et $S'_n$ sont indépendantes et de même loi.
    Plus précisément, tu peux observer que pour avoir $S_{2n}\geq 1$ il suffit d'être dans un des deux cas suivants : <…
  • Car par exemple si $X$ vaut $1$ avec proba $1/2$ et $2$ avec proba $1/2$, la même chose pour $Y$, avec $X$ et $Y$ indépendantes, on a $\mathbb{E}[X/Y]=1/4\times (1/1+2/1+1/2+2/2)=9/8 > 1=\mathbb{E}[X]/\mathbb{E}[Y]$
  • En fait, je n'avais pas vérifié, mais l'inégalité de convexité ira dans l'autre sens : si $X$ et $Y$ indépendantes, avec $X\geq 0$ et $Y>0$ on aura $\mathbb{E}[X/Y]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y^{-1}]\geq \mathbb{E}[X]/\mathbb{E}[Y]$
    U…
  • Sinon pour un contre exemple facile :  $(X,Y)=(5000,1)$ avec proba 1/2 et $(X,Y)=(1,5000)$ avec proba 1/2.
  • Dans mes souvenirs on peut s'en sortir avec presque rien pourvu qu'on soit familier avec les espaces vectoriels, les familles libres/génératrices et les bases et aussi si on sait voir une matrice comme un morphisme linéaire entre espaces …
  • Wow, merci rakam pour la solution, je n'avais jamais vu ce genre de fonctions c'est très instructif et ça donne des idées !
    Sinon turboLanding, il y a des méthodes constructives pour construire des polynômes annulateur de $\alp…
  • Si on ne veut pas un polynôme en $x^5$ il y a par exemple $x^8-x^7-3x^3+3x^2$. On peut je pense caractériser les polynômes à coeffs rationnels qui envoit $3^{1/5}$ sur un rationnel comme les polynômes qui sont la somme d'un polynome en $x^5$ à coeff…
  • Par exemple pour $P=X^3+X$ alors si $x\geq 100$ (au hasard :tongue:) on a $P(x+1)-P(x)\geq 17$ maintenant on prend u…
  • Pour les polynômes de degré $\geq 2$,
    1ère observation : si $f$ est une fonction polynomiale satisfaisant ta propriété (du post orginal), alors tous les coefficients de $f$ sont rationnels.
    Cela vient par exemple du fait que…
  • Au passage $\frac{x^2+1}{x}$ donne un rationnel pour $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ (par exemple).
    Je pensais aux fonctions affine par morceaux, mais effectivement on peut même prendre des fonctions de type"homographie par morceaux". Je me …
  • Si $A\in X$ possède une valeur propre $|\lambda|\neq 1$, on prend $x_0$ un vecteur propre associé. Par stabilité par multiplication alors $(A^n)_{n\geq 0}$ est une suite de $X$. Par compacité on extrait une sous suite convergente v…
  • Je pense qu'il s'agit juste d'un minorant de cette distance $d(X^n, \mathbb{R}_{n-1}[X]) \geq \frac{n!}{2^n}$.
    En fait j'ai l'impression qu'on a égalité si et seulement si les $a_i$ sont des entiers consécutifs.
    Pourquoi ? cela p…
    dans Calcul de norme Commentaire de Izolg May 2023
  • Il suffit de montrer qu'il existe un $0\leq k\leq n$ tel que $|b_k|\frac{n!}{n\choose k} \geq \frac{n!}{2^n}$. Par l'absurde si pour tout $0\leq k \leq n$ on a $|b_k| < \frac{n\choose k}{2^n}$ alors $|\sum_{k=0}^n b_k|<...$ ce qui est une…
    dans Calcul de norme Commentaire de Izolg May 2023
  • On pose $(\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace de probabilité sur lequel vit $X$ une variable uniforme sur $[0,1]$. (Ie pour $0<a<b<1$ alors $\mathbb{P}(X\in ]a,b])=b-a$). Par exemple $(\Omega,\mathcal{A}, \math…
  • Bonjour
    Dans l'hypothèse ou une personne qui a des billets de 5€ ne donne qu'un seul billet de 5€ (il ne fait pas de la monnaie au caissier) alors je trouve
    $P(n,m) = \frac{n-m+1}{n+1}{n+m \choose n}$ si $n\…
    dans Rendre la monnaie Commentaire de Izolg May 2023
  • Bonjour,
    Une tentative naïve (peut-être erronée), on pose $M:=\max \{\sigma(i)\mid 1\leq i \leq m\}$.
    Alors forcément, $m\leq M\leq 2m$, et il y a exactement $2m-M$ termes $\sigma(i)$ avec $m+1\leq i\leq 2m$ qui feront parti…
  • Bon j'imagine qu'une réalisation $z_i$ est pour toi un $Z_i(\omega)\in \{0,1\}$ (dans ce cas il faut plutôt noter $S(\omega)=s$ pour être cohérent.
    Maintenant, traduire ça en terme d'évènements. Écrire $\{S=s\}$ en fonct…
  • Normal que tu ne sois pas convaincu puisque ça ne donne pas le même résultat que tu as trouvé pour l'exemple à quatre éléments...
    Bon, $s$ est un sous-ensemble de $E$ déterministe (donnée du problème). De l'autre, $S$ est un so…
  • Bonjour
    Je pense que ta réponse pour l'exemple avec $s=\{2,4\}$ est correcte, vois-tu comment généraliser pour $s\subset E$ arbitraire ?
    Qu'est-ce que tu entends par "des calculs avec de la combinatoire" ?
  • Non, en fait il faut juste se dire que l'ensemble $S$ (aléatoire) est construit en disant que pour un $i\in E$ alors : $i\in S \Leftrightarrow Z_i=1$.
    Ainsi, essaye d'écrire l'évènement $\{S=s\}$ en fonction d'évènements de la forme $…
  • Bonsoir,  à mon avis ta compréhension de $p(s)$ et surtout de $s$ n'est pas la bonne. Pour toi, $s$ est un entier, alors qu'il est dit que $s$ est une partie de $E$. Exemple : $E=\{1,2,3,4\}$ et $s=\{2,4\}$, du coup je reverrais les réponses à parti…
  • Donc ta variance est $s_k =\sum_{i=1}^n (Y_i^k-\overline{X})^2$ où $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i^k$ c'est ça ?
    Dans ce cas notons que $s_k$ est une variable aléatoire.
    En revan…
  • @GaBuZoMeu Moi je ne vois pas la variance de quel objet est divisée par 3 à chaque étape ? Sinon de mon point de vue la dynamique du problème est déterministe, on …
  • Bonjour,
    En notant $Y^k=\begin{pmatrix}Y^k_1 \\ \vdots\\ Y^k_n\end{pmatrix}$, alors on a $Y^{k+1} = AY^k$ avec $A$ une jolie matrice $n\times n$.
    Avec une étude des fonctions propres et des valeurs propres de $A$, on obtient…
  • Bonsoir, je présente une solution un peu détaillée pour le problème du jour 9.

    Notons $T_{-1} = \inf\{n\in \mathbb{N}^*, S_n =-1\}$ temps d'arrêt (possiblement infini) qui correspond au premier temps de …

  • J'ai trouvé comme probabilité $\frac{p-q}{p} = 2 - \frac{1}{p}$ ? (ça a l'avantage de valoir $1$ lorsque $p=1$ et $0$ lorsque $p=1/2$)

    Bonjour, je me permets de participer pour des probas !
    Bonne journée.

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Bonjour!

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