Réponses
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Vous pouvez sortir $\binom{m}{l}$ de la somme, il vous restera en facteur :
$$\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{n}{k}\binom{m-l}{j-k}=\binom{m+n-l}{j}$$
(en réalité la somme est finie )
[Corrigé selon ton indication. AD] -
Bonjour,
Je crois que pour un niveau MP l'idée d'egoroff (étude des IFS) est une très bonne idée. Tous les ingrédients mathématiques en jeu sont de ce niveau:
1) Distance de Hausdorff sur l'ensemble des parties compactes du p… -
Bonjour,
Comme frederic il m'arrive de temps en temps de prendre un énoncé trouvé sur ce forum pour en faire un exercice de colle. Pour les TD cela a du arriver une ou deux fois. Mais de temps en temps il m'arrive de recopier un e… -
4*E(x) = E(2x) - 1 + cos(pi*E(2x))
Formule fausse pour les entiers non nuls ... -
Bonjour,
Et moi je remercie georgesZ qui a su en une phrase seulement donner une explication claire et en profondeur de la formule donnée par Alekk! -
Bonsoir,
1 est un pôle double facile à déterminer. Pour le reste, remarquez que R(jX)=R(X) où j=exp(2iPi/3) et vous aurez la décomposition dans C. -
Document très intéressant qui sera suivi d'effet espérons le! Voilà qui peut redonner espoir à tout ceux qui pensent que l'enseignement des mathématiques aux collèges-lycées est devenu un simple vernis.
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Votre énoncé est pour le moins confus! L'avez-vous relu? Il y a deux enembles distincts qui portent le même nom E. A priori il y a deux élements e ...
Si malgré tout j'ai bien compris, il me semble que deux intégrations par parties devraient s… -
Bonsoir Oump,
ce qui donne 174 pour n=10. -
Bonjour Galax,
je crois qu'il y a un malentendu, que signifie:
20 20 20 20?
Si c'est 20 timbres de 10cts, 20 de 20 cts, 20 de 40 cts et 20 de 80 cts, on dépasse largement les 1 euro!
Pour moi, la quest… -
Celle-ci est encore plus facile !
C'est l'équation $x+2y+4z+8t=10$ avec $x,y,z,t$ entiers positifs. On voit que $t$ vaut 0 ou 1. Pour $t=0 : x+2y+4z=10$, d'après la formule que j'ai donnée plus haut le nombre de solutions est :
$$\… -
Pour en revenir au problème initial: soit a, b, c, d entiers strictement positifs avec a et b premiers entre eux, considérons l'équation ax+by+cz=d d'inconnues x, y, z entiers positifs. Le nombre de triplets solutions est:
$$\sum_{z=0}^… -
La méthode avec les séries entières est jolie sur le papier, mais pour les calculs, la méthode élémentaire que j'ai donnée plus haut me paraît bien plus efficace (à la main).
Par exemple, pour l'équation 2x+17y+19z=200, la méthode que j'… -
Bof ...
C'est une bête équation du second degré, la seule difficulté c'est de voir que le discriminant est une identité remarquable (a+b)^2.
Peut-être un bon exercice pour des élèves de terminale. -
Fut une époque où on apprenait les composées de fonctions au lycée (est-ce le cas encore aujourd'hui?), à partir de là il est facile de voir que la composée de fonctions croissantes est croissante....etc
Quand on connait ceci, il est bie… -
Plus terre à terre:
Soit d=100-10z, les solutions de x+5y=d sont x=-4d+5k et y=d-k. Pour qu'elles soient positives, il faut que $\frac{4d}5 \leq k\leq d$. Il y a donc 21 solutions avec z=0, puis on remarque que si on diminue d de 10 (don… -
Aleg, pourquoi c'est fini si f est croissante (ou décroissante)? J'ai raté quelque chose?
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La fonction $f$ n'est pas forcément majorée (voir l'exemple de mon précédent message). Voici une proposition par l'absurde:
suppsosons que pour tout entier n il existe un $x_n$ dans ]a,b[ tel que $f(x_n)\leq -n$. On peut alors extraire u… -
Bonsoir Aleg,
Il me semble que l'intervalle dans l'énoncé initial est ouvert. Considère par exemple $f(x)=\frac1{1-x^2}$ sur $]-1,1[$. -
Et en généralisant un tout petit peu, on a pour $m\geq 2$ avec $x_1^2+\cdots+x_m^2=1$:
$$\sum_{1\leq i<j\leq m} \frac1{1-x_ix_j} \leq \frac{m(m-1)}2+\frac{m-1}2+\frac 12= \frac{m^2}2$$ -
Mais je n'ai pas dit n'importe qui!!! J'ai dit: "je ne sais qui".
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Un léger bémol dans tout cela:
L'objectif d'un TIPE n'est pas nécessairement d'être très ambitieux ou d'un niveau très élevé. Exposer à l'oral d'un concours en TIPE une preuve d'un tel théorème suppose que le (pauvre) programme d'arithmé… -
Bonjour Sébatiduroc,
Il n'y a aucun dévouement ni abnégation dans mes messages! C'est juste que je me suis pris au jeu que la question initiale et sa généralisation m'intéressent. -
Si f est concave alors pour t entre 0 et 1:
$$f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$$
ensuite pour pouvoir conclure quelque chose dans le cas général, il suffit que:
g soit croissante et concave, auquel cas $g\circ f$… -
Errata:
Pour n=1 le meilleur majorant est $\frac{m-1}2$ (ce qui fait 1 mais uniquement si m=3). En effet: si $x_1^2+\cdots+x_m^2=1$ alors d'après Cauchy-Schwarz:
$$(x_1+\cdots+x_m)^2 \leq m$$
En développant le car… -
Bon puisque tout le monde insiste, je généralise sans me faire prier davantage:
Soit $m\geq 2$, si $x_1^2+ \cdots +x_m^2=1$, alors:
$$\forall n\geq 2, \sum_{1\leq i<j\leq m}(x_ix_j)^n \leq \frac1{2^n}$$
cette m… -
Bonsoir,
Sans aller chercher de théorème de je ne sais qui, il y a une propriété toute bête: si f est convexe, si g est convexe croissante sur R, alors $g\circ f$ est convexe. Et comme l'exponentielle est convexe croissante sur R, le rés… -
Comme la foule en délire en redemande, j'apporte quelques précisions:
l'inégalité du post précédent est la meilleure possible car il y a des cas d'égalité (qui sont triviaux en fait).
Pour n=1, la meilleure inégalité est $xy+… -
Devant l'enthousiasme général, j'en remets une couche, pour x,y,z vérifiant x²+y²+z²=1, on a:
$$\forall n\geq 2, (xy)^n+(xz)^n+(yz)^n\leq \frac{1}{2^n}$$
Le signe de x y et z n'a aucune importance en réalité. Et la formule es… -
Je note $S_n=(xy)^n+(xz)^n+(yz)^n$. Vous pouvez commencer par montrer que:
$$S_2\leq \frac 14$$
Pour ceci, on peut se ramener à une étude de fonction, en posant par exemple $X=1-z^2$, puis $x^2=X\cos^2(\theta)$ et $y^2=X\sin^2(\the… -
Pour ceux qui l'aurait oublié, un petit rappel:
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,202547,202547#msg-202547} -
Algibri, puisque tu es si fort que cela tu n'as vraiment pas besoin de nous
en revoir! -
Bonsoir,
Remarquez que votre équation équivaut à:
$$(3x-z)^2+(4y)^2=(3z-x)^2$$
et vous êtes ramené aux triplets de Pythagore (que je suppose connus), cela vous donnera: $x=d(2u^2-v^2)$, $y=2duv$ et $z=d(u^2+2v^2)$ -
Non Aleg je ne pense pas, c'est plutôt par intégration:
tan(x)=x+o(x) d'où 1+tan²(x)=1+x²+o(x²) [c'est là qu'est l'astuce, on récupère un o(x²)], puis on intègre de 0 à x:
tan(x)=x+x^3/3+o(x^3), et on recommence:
… -
Non, non, valables dans C.
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Bonjour Oump,
Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ton énoncé (il y a deux égalités dans les lignes x et y du deuxième, et je ne vois pas b dans le premier), mais de la façon dont je le comprends, je vois deux points de rebroussement … -
Formules de Ferrari.
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Tiens, l'aperçu décoche le LaTeX !
[L'Aperçu ne marche pas encore sur le nouveau forum. AD] -
Ben par : $$\left|\int_a^b f(x)\cos(nx)\,dx\right|\leq \frac{|f(a)|+|f(b)|}n+\frac{\int_a^b|f'(x)|\,dx}n$$
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Je n'y adhère pas totalement non plus, passer des examens ou concours n'est pas une fin en soi, mais un passage, parfois obligé, suivant ce que l'on veut faire.
Je ne dis pas que la définition de bisam est meilleure que celle d'un autre,…
Bonjour!