Gilles old

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  • Bof, autant aller sur Rakuten ou Abebooks. Ils sont sûrement sur au moins l'un de ces sites d'ailleurs.
  • Concernant les accents sur les majuscules, le correcteur orthographique du téléphone les propose. Si je tape "Elongation", il me propose "Élongation". Il n'en est pas de même sur les correcteurs sur ordinateur ? On doit pouvoir sans doute le paramét…
  • Je connaissais l'indépendance de la sortie d'une boule au p-ième tirage et son indépendance avec p dans le contexte de la courte paille, je n'avais pas pensé à cela ici. C'est assez peu intuitif pour moi. Merci pour vos explications.

    Bon…
  • Je précise ma pensée. Amédé semblait avoir un $p$ et un $c$ fixés. Si $p>0$, il n'y a qu'un nombre fini de solutions qu'un ordinateur pourra déterminer, contrairement au cas où $p<0$ qui peut avoir aucune solution ou une infinité.
    Quant …
  • Si $p$ et $c$ sont positifs, c'est vite vu. Il nous faudrait davantage de détails sur eux.
  • Merci pour ton explication, elle est plus éclairante que mon calcul.
  • Pour le premier problème, en utilisant les relations $X_{n+1}=3X_n+4Y_n$ et $Y_{n+1}=2X_n + 3Y_n$, où $X_n$ et $Y_n$ sont les solutions de $X^2-2Y^2=-1$, on arrive à montrer que $6X_nX_{n+1} = X_{n+1}^2+X_n^2-8$, d'où
    $$
    N_{n+2} = \frac{…
  • Merci Jandri je vais regarder avec ta méthode.

    J'essayais de partir de la relation $X_{n+2} = 6X_{n+1}-X_n$ mais je rencontre un terme du type $X_nX_{n+1}$ qui me bloque :

    $$
    N_{n+2}=\frac{(6X_{n+1}-X_n)^2-1}{8}
    $$
  • Merci Jandri pour la correction de la coquille qui m'a été aussi signalée en message privé.

    J'étais à la recherche d'une relation de récurrence sur $N_n$, mais je n'y étais pas parvenu. Comment as-tu procédé ? Merci.
  • Et pour le problème méchant je trouve que les nombres d'oies se répartissent en deux suites $(x_n)$ vérifiant la même relation de récurrence que pour le problème gentil avec $(x_0,x_1)=(1,2)$ ou $(x_0,x_1)=(1,6)$.
  • Concernant le problème gentil, je trouve que les nombres d'oies constituent la suite $(x_n)$ définie par $x_0=0$, $x_1=3$ et $x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n+2$.
  • Tu peux nous rappeler en quelques lignes la résolution de l'équation du sixième degré par radicaux ? Merci.

    Par exemple $X^6-X+1=0$.

    Merci.
  • Tu es vraiment un génie !!
  • Merci pour ta réponse.

    Je suppose qu'il s'agit de représenter 44 par la forme quadratique $x^2-5y^2$, dont le discriminant est 20. Je me suis plongé une heure et demi dans Primes of de the form $x^2+ny^2$ de David A. Cox ainsi que…
  • Bonjour LOU16.

    Je connais ce que tu dis dans ton message (et j'apprécie toujours la rigueur de tes notations), à l'exception du tableau. Pourrais-tu m'expliquer son intérêt ?

    Je ne pense pas que ce soit un critère pratique po…
  • Moi il me faudrait 5 minutes de plus le temps de ressortir les définitions, cela fait un moment que je n'ai pas fait d'analyse complexe, mais ça semble quand même ultra basique. :-D
  • D'après l'identité de Cassini, $F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2 =(-1)^n$, donc, pour tout $N \geq 1$,
    $$\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{n-1}}{F_nF_{n+1}} = \sum_{n=1}^N \left ( \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} - \frac{F_{n+1}}{F_n}\right) = \frac{F_{N+2}}{F_{N+1}} - …
  • Un papier que j'avais en stock concernant les solutions de l'équation $X^2-5Y^2 = -4$.

    Chaurien, toi qui apprécies les nombres de Fibonacci et Lucas, cela devrait t'intéresser si tu ne connaissais pas déjà ce document. (tu)
  • Finalement je trouve que les solutions au problème de Chaurien sont les couples $(x,y)$ avec $\displaystyle{x = \frac{3L_{4n+3} + 5F_{4n+3}-12}{10}}$ et $\displaystyle{y = \frac{L_{4n+3}-4}{5}}$.

    Celle après $(103,39)$ sera donc $(713,27…
  • Les solutions de l'équation $X^2-5Y^2=-4$ sont les couples $(L_{2n+1}, F_{2n+1})$ pour $n\in \N$, où $F_n$ et $L_n$ sont les nombres de Lucas.
  • Je vois poindre les nombres de Fibonacci et ceux de Lucas.
  • Je préfère écrire l'égalité de marsup
    $$
    m! = \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} \binom{m}{k} (k+1)^m.

    $$ Le nombre de surjection d'un ensemble à $n$ éléments dans un ensemble à $p$ éléments est donné par
    $$
    S_{n,p} = \sum_{…
    dans Factorielle Commentaire de Gilles old February 2021
  • Je suis étonné de ne pas voir apparaître Python comme langage de programmation alors qu'on nous l'a imposé au lycée. On n'est pas à une incohérence près.
    dans Prépa MP2I Commentaire de Gilles old January 2021
  • En tout cas, j'aurais appris un mot : "solipsiste". Je ne suis pas sûr de pouvoir le recaser facilement. :-D
  • Je te remercie pour ta réponse précise.

    Bonne soirée.
  • En effet ! Comment rédigerais-tu cela ? Pour ma part j'écris
    $$
    k^2 |q|^{k(k-1)/2} |x|^k = \exp\left( k \left[ 2 \frac{\ln k}{k} + \frac{k-1}{2} \ln |q| + \ln |x| \right] \right)
    $$
    tend vers 0 quand $k$ tend vers $+\infty$, …
  • Eh oui, je ne pensais que ça fonctionnerait, et je n'aurais sûrement pas pensé à utiliser la relation de récurrence (que j'avais pourtant en mémoire car donnée dans le polycopié sur lequel je travaille).
  • Poirot, je suis en train de regarder de plus près ta proposition, et je ne vois pas comment les quelques puissances de $q$ dans la somme vont compenser toutes celles de $x$ ($x$ est quelconque, pas de module inférieur à 1).
  • Merci Calli, c'est exactement ce que je cherchais, quelle jolie propriété !!

    Bien vu Poirot, je ne pensais pas qu'on pourrait encadrer $|(q)_n|$ par quelque chose d'indépendant de $n$, ce qui me faisait douter de la véracité de "ma" prop…
  • Quel est le DSE de la fonction nulle ? Tu identifies les coefficients comme tu le ferais sur un polynôme.
  • Bonsoir Chaurien,

    Il m'avait manqué de reconnaître le DSE de $x\mapsto \arctan(x)$ et $x \mapsto \ln \left( 1+x\right)$, merci pour cet éclairage.

    C'est vrai que ces fonctions se prêtent bien à être traitée de façon élémentai…
  • Bonsoir,

    Effectivement, j'ai été très évasif sur la justification de la continuité. Sauf erreur il me semble qu'on peut faire plus élémentaire que le théorème radial d'Abel.

    Pour $ x\in [-1;1]$, je pose $\displaystyle{u_n(x) …
  • Merci troisqua, je suis un peu dans le brouillard ce matin !

    Chaurien, je suis d'accord avec toi que ce calcul me paraît davantage évaluer les compétences d'un taupin que l'astuce de l'exercice initial, dont le résultat est joli toutefoi…
  • Merci troisqua, j'ai corrigé la coquille (tu) (j'espère que c'est la seule !).
  • Cela ne sert à rien pour l'exercice, mais j'ai calculé $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}}{n}$.

    Je pose $S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}}{n}\, x^n$, cette série entière …
  • Ma réponse était volontairement provocante, Jean ayant une définition bien à lui de la convergence, même si ici tout se passe comme tout le monde l'a remarqué.

    Bon réveillon.
  • C'est ainsi que Jean prouve que la série des $(-1)^n$ converge et a pour somme 0. Trop fort. (tu)
  • Merci pour ta contribution. J'avais commis une boulette, ce sont les nombres de Stirling de première espèce ici dont je parlais et non de seconde espèce, mais peu importe, ton message m'apporte quelques relations supplémentaires sur les nombres de S…
  • Relations entre racines et coefficients d'un polynôme + définition (ou propriété) $X(X+1)(X+2) \dots (X+n-1) = \sum_{k=1}^n S(n,k) X^k$ + un peu de bricolage et on y arrive, ouf !
  • Que dirais-tu de te remettre à la théorie de Galois différentielle pour te détendre ? Car là ça semble trop facile pour toi.
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