GeorgesZ2

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  • Bonjour,
    Je récapitule sur le Pb.21 et en profite pour essayer d'écrire en Latex.

    D'abord, Galax comment fais-tu pour modifier ton message du 22/02/07 20:45, le 23/02/07 01:51 ?

    Soit $N\geq 1$. Pour $n\geq 1$, soit $\pi…
  • Bonsoir Galax,

    D'abord 999!+1 est-il composé?

    Oui je me suis compliqué la tâche, on glisse vers la gauche (ou la droite) jusqu'à ce que l'on ait dans l'intervalle de longueur 1000, 4 nombres premiers exactement.

    P…
  • Rebonjour,
    Galax, oui ton Pb.21 est assez simple (une fois vues tes indications) à un détail près.

    Soit (p(n)) la suite des nombres premiers (2,3,5,..) il existe n (n=69) tq 997<p_(n-1)<1000<p_(n)=1009.

    On cons…
  • Bonjour,
    je remonte ce fil.

    Domi,notre but commun est de progresser et de donner, si possible, une réponse correcte à toute question posée. Merci de confirmer ce que j'ai écrit (je ne suis pas infaillible, loin de là).

  • Bonjour,

    Cet exo est relié aux équations de Pell :(*) m^2-a*n^2=b,
    mais pas vraiment au théorème de Liouvil…
  • Bonjour Galax,
    Oui,tu donnes la bonne indication pour le Pb. 20 qui est donc assez facile.

    Peut-être que ce 20 ème Pb. est celui de trop pour ce fil...

    Je suis en train d'examiner un livre que j'ai pris à la bibliothèqu…
  • Bonjour Galax,

    Dans le Pb.20, P est têtu et court chaque jour au moins 1 km (quelque soit le climat).

    Ta question me laisse penser que tu connais la réponse...

    J'ai fait une faute d'accord : Il fait cela
    Toi…
  • Bonjour bs,

    Si l'on a (1) a^3+b^3=c^4 (a,b,c dans Z*),
    en posant, m=a/c, n=b/c, m et n sont des rationnels a priori et c=m^3+n^3 lui est entier.

    On pose donc m=p/q et n= r/s irréductibles dans Q* (q,s dans N*) et on a…
  • Bonjour bs,
    "puis-je faire remonter ce sujet ? merci."

    fais-le, en précisant ce que tu ne comprends pas, j'éssayerai de te répondre.

    Amicalement,
    Georges
  • Bonjour Claude,
    ma démo semble être différente de la tienne.

    Les données u,v,w sont dans N. On pose s=x+y+z et le système (que l'on résoud dans R) équivaut à :

    (x-z)s=w^2-u^2
    (y-x)s=u^2-v^2
    x^2+xy+y^2=w^2
  • Bonjour Claude,
    j'avais résolu ton système en posant s=x+y+z puis y=x+a et z=x+b obtenant, lorsque s/=0, les solutions que tu as données (pour les réels).

    J'ai un peu cherché des solutions entières et je n'ai pas su faire...Bravo p…
  • Bonjour Galax et Domi,

    Pour le Pb. 19, je crois en avoir dit assez, si quelqu'un veut un démo complète, je laisse à l'auteur (Galax) de la faire.

    Pour le PB. 6, seuls les multiples impairs de 3 interviennent.

    1) O…
  • Bonjour,

    Pb 19.
    L'indication de galax (qui s'obtient en disant : si tout élément de E est utilisé au plus k fois dans p parties ayant plus que la moitié des éléments de E, alors...) donne le résultat: car 26+13+6+3+2=50.

  • Pour H5, la méthode générale de Guego (adaptée) donne, puisque 2*5+1=11,
    la suite, pour k=1,3,5,7,9, k/(5*7*9) pour laquelle le minimum est 1/(5*7*9) qui semble être le minimum maximum possible.

    Pour H3 la suite, pour k=1,2,3, k/(2…
  • Bonjour,

    j'ai mal lu la question,

    La maximalité est effectivement plus difficile à obtenir.

    Peut-être reste-t-il à trouver la suite maximale ayant le plus grand minimum.

    Est-ce celle ayant 16.9.5.7.11.…
  • Bonjour,

    Le plus simple est de partir de la raison : 1/(8*9*5*7*11) et de remarquer que le dénominateur est multiple de 1,2,..,12 et pas 13, pour avoir une telle suite maximale de 12 éléments.

    Amicalement,
    Georges
  • Bonjour Guimauve,

    Pas besoin de log.

    Pour a<2 et pour n0>=1 tel que (*) u(n0+1)-u(n0)<=a*u(n0)
    tu as vu que :
    u(n) croit vers une limite (sa borne sup)
    l <=u(n0)+(u(n0+1)-u(n0))/(1-(a/2)).
    <…
  • Bonjour bs,

    Si l'on a (1) a^3+b^3=c^4 (a,b,c dans Z),

    en posant, m=a/c, n=b/c, m et n sont des rationnels a priori, et on a :
    (*) c=m^3+n^3, a=m(m^3+n^3), b=n(m^3+n^3)
    qui sont entiers.

    Inversement, m…
  • Bonjour,

    Je reviens sur l'équation diophantienne a^3+b^3=c^4.

    Si résoudre cette équation signifie la résoudre dans Q*, pas de problème.

    Mais s'il s'agit de la résoudre dans Z*, cela se complique un peu, si on les …
  • Bonjour,

    Je précise mes messages antérieurs.

    Disons que (p,q,r,s) est un quadruplet admissible si l'on a :
    p,q,r,s dans N*, PGCD(p,q)=PGCD(r,s)=1, p<=q, r<=s, et pq<>rs.

    Pour un quadruplet admiss…
  • Il est clair que PGCD(a,b,c)=1<=>PGCD(a,b,c,S)=1
    donc Héronien primitif<=>Héronien et PGCD(a,b,c)=1
    On montre aussi que tout Héronien (comme les Pythagoriens) a au moins un côté divisible par 4 (resp. par 3, resp. par 5)
  • Bonjour Gilbert (I.g),

    Merci pour tes précisions. toutefois je ne comprends toujours pas comment tu définis T3=(x3,y3,z3) car tu définis z3, mais pas x3 et y3, et que signifient alpha et béta?

    D'autre part ta terminologie est…
  • Merci Galax,

    On a donc (a,b,c) définit un triangle héronien rationnel ssi a, b, c sont dans Q* et l'un au choix des éléments suivants est dans Q* :

    - la surface S
    - pour un des angles, son sinus (resp. la tangente de sa…
  • (selon mon sharp on aurait divergence dans le cas limite , ce qui est ennuyeux car alors on n'aurait jamais l'alternance pour tout n..
    mes idées platoniciennes me font pencher du cote de la convergence dans le cas limite, va savoir..)
  • Bonjour,

    Claude tu dis :
    "deuxieme experience avec cette fois u(1)=1 et u(0)<1
    on a divergence pour u(0)>=1,692164401"

    Tu trouves vraiment que ça peut diverger?
    Cela contredit ce qui est démontré!
  • Bonjour,

    Galax peux-tu nous montrer la preuve que tout triangle héronien rationnel est donné par tes formules?

    Des questions pour I.g :

    Dans ton long message :

    T1 et T2 sont des triangles Pythagoriens …
  • Bonjour,

    Je vous propose 2 études, où F(x,y) n'est pas homogène, mais symétrique.

    Mais je pense qu'il faut imposer que F(x,x)=x a une solution unique, c'est le cas ici.

    1) F(x,y)=(x-y)^2/[(1-x)^2+(1-y)^2], pas déf…
  • Bonsoir bs,
    I.g a relancé l'étude, malheureusement son message n'est pas clair, peut-il l'expliciter?

    J'ai repris le fil depuis le début :

    Le 8/12 Jérémy pose la question :
    Existe-t-il des triangles héroniens (ter…
  • Bonjour,

    Etude de u(0), u(1) >0 u(n+2)=2u(n)u(n+1)/(u(n)^2+u(n+1)^2).

    Posons F(x, y)=2xy/(x^2+y^2), on a F(x,y)<=1 et
    - si x=y, F(x,y)=1
    - si x<y<=1, on a F(x, y)>2xy/(2y^2)=x/y>=x donc min(x,y)&…
  • J'ai encore fait une erreur :

    des \pi manquent mais, surtout, à la fin, quand je donne b1 (avant cos(A)) il faut diviser la formule donnant b1 par 2b et non par 2. Merci de le corriger.

    Je ne vois toujours pas sur mon i-Mac c…
  • Bonjour Bernard,

    si $a, b, c$ sont les côtés entiers d'un triangle d'aire $S$ entier, alors les cosinus et sinus des angles sont toujours rationnels.

    En effet, les hauteurs le sont ($h_A=2S/a$) donc les sinus le sont
    (…
  • Oui d'accord.

    Je voulais à tout prix encadrer par a et 1/a, alors que tu donnais la bonne indication!

    Mea culpa.

    Georges
  • Claude,
    je suis d'accord que : pour une suite réelle (disons bornée pour simplifier,sinon travailler dans la droite achevée) , la liminf (resp limsup)est la borne sup (resp inf)de l'ensemble des quasiminorants (resp quasimajorants)?

  • Je précise :

    (Donc, si x<=y, on a 1/y<=f(x,y) <= 1/x
    d'où, en posant a(x,y)=a =max(x, 1/x, y, 1/y)>=1, on a 1/a<=f(x,y), 1/f(x,y) <= a)

    on en deduit quasi immédiatement que si m est un quasi minorant d…
  • Bonjour Claude,

    Je reproduis ici ta preuve avec, entre parenthèses, mon doute :

    Avec f(x,y)=(x+y)/(x^2+y^2) ( x et y >0)
    on a 1/max(x,y) <= f(x,y) <= 1/min(x,y)

    (Donc, si x<=y, on a 1/y<=f(x,y…
  • Bonsoir Bernard (bs),

    Puisque Sierpinski démontre (assez facile) que les triangles rationnels à aire rationnelle, sont de tels triangles rectangles accolés, et puisque tout triangle rationnel est un triangle entier homothétisé (divisé) p…
  • Bonjour Claude,

    non il donne seulement cet exemple.

    Mais il montre que : si b=a+1, c=a+2 et S entier, alors ce triangle est obtenu comme 2 équerres (à coeff entiers) accolées. (Cela est beaucoup plus difficile que les 2 exos…
  • Bonjour

    Dans le livre "Pythagorean Triangles" de W. Sierpinski je trouve p. 59-64

    Dabord l'idée de Oump : accoler 2 triangles rectangles pythagoriens ayant un côté de même longueur.

    Puis il donne (65, 119, …
  • Modérateurs encore autre chose (je vais trop vite) :

    à la fin remplacer = par + dans la dernière formule.

    Merci
    dans Cauchy Schwarz Commentaire de GeorgesZ2 December 2006
  • Modérateurs SVP corrigez mon Latex \infinite n'est pas bon.
    dans Cauchy Schwarz Commentaire de GeorgesZ2 December 2006
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