Réponses
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Si $f(s)=\frac{\Gamma(s+\frac{1}{2})}{\sqrt{s}\Gamma(s)}$ alors $\sqrt{\frac{s}{s+1}}\leq f(s)<1$. En effet la deuxième se montre par Schwarz: $$\sqrt{s}f(s)=\int_0^{\infty} x^{1/2}e^{-x}x^{s-1}\frac{dx}{\Gamma(s)}<\left (\int_0^{\infty} xe^{…
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Je vois que tu te diriges doucement vers la rédaction de ton livre 'les cent plus beaux problèmes de proba des mathématiques.net' mon cher Daniel. Rien à redire à ta rédaction bien sûr. Je n'écrirais pas $ \mathbb{E}(X/Y),$ j'aurais trop peur que ce…
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Si $f(x)=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$ alors $(1-x^2)f''-3xf'-f=0$ et ca permet de montrer que $ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n-1}}{nC_{2n}^n}x^{2n-1}.$ En primitivant ca donne $2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}}{n^2C_{2n}^n}x^{2…
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Heu, merci alekk. Mais j'ai oublié de montrer que $\int_0^{\infty}L_1(u/n)L(u/n)^{n-1}du$ est fini à partir d'un certain rang, en fait $n=3$ car $\mathbb{E}(T_3)=\int_{[0,1]^3}\frac{dxdydz}{x^2+y^2+z^2}<\infty$ comme on le voit par passage aux co…
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Joli probl\`eme. Voici une solution qui n'exige pas de connaissances en probabilités.
Si $X_1,\ldots,X_n, \ldots$ sont indépendantes et uniformes sur $(0,1)$, posons
$$S_n=\frac{1}{n}(X_1^2+\cdots+X_n^2)=\frac{1}{T_n} .$$
Par exemple, la matrice de corrélation $R$ de dimension 3 avec des -1/2 partout en dehors de la diagonale est inaccessible de cette facon gaussienne. C'est trop vague de dire qu'on se ramène au cas $n=2.$Par exemple, Stéphane, si tu cherches (U_1,U_2,U_3) uniformes et de matrice $R$ de corrélation donnée, il est faux de penser qu'il existe toujours une matrice $\Sigma$ de corrélation telle que si $(X_1,X_2,X_3)\sim N(0,\Sigma)$ alors $U_i=\Phi(X_i)…Bien sûr qu'elle est de moué: c'est plus amusant de bricoler soi même que de chercher dans la littérature. Gelfand dit que les grandes découvertes en mathématiques sont toujours faites par trois personnes en même temps...Ca m'étonnerait que ce que …Il s'en passe des choses sur le forum dès qu'on tourne les talons...Ah, quel bosseur ce Daniel! Et bravo a Kuja qui raccourcit la méthode bourrin que j'avais mentionnée.Est ce que tu interprètes correctement le symbole de Pochhhammer $(a)_n=a(a+1)(a+2)\ldots(a+n-1)?$
Je détaillerai le calcul plus tard dans l'apres midi.Merci à Raymond Cordier pour ces choses gentilles. Les problèmes de l'APM marchaient difficilement et je devais inventer des pseudo pour envoyer des réponses: le présent site est bien plus adapté et intéressant.pas de $r\mapsto \arcsin r$, mais de $r\mapsto \frac{6}{\pi}\arcsin(r/2)$ certainement. Dérive les deux membres pour t'en convaincre ou bien développe $z\mapsto 1/\sqrt{1-z^2}$ en série entière, prends la primitive nulle en zéro et remplace $z$ par …Daniel, je voulais dire arcsinus et arccosinus. Millexcus.De Raymond Cordier: 'Malheureusement, la fonction de répartition, et par suite la fonction de survie, de la loi binomiale ne s'exprime pas de manière simple, contrairement à d'autres lois. '
Même si cela ne sert guère ici, j'aime b…Je réponds avec retard à l'initiateur du fil qui me demandait la démonstration de $\frac{6}{\pi}\arg \sin\frac{r}{2}.$ Pardon, en particulier a Daniel Saada qui n'aime pas l'anglais, mais je n'ai pas le temps de traduire mon texte. Bah, les formules…Si $X, Z$ sont indépendantes de loi $N(0,1)$ et si $Y=\cos \theta X+Z \sin \theta$ alors $\mathbb{E}(XY)=\cos \theta=r$ Soit $\Phi$ la fonction de répartion de la loi normale $N(0,1)$ et soit $U=\Phi(X)$ et $V=\Phi(Y)$. Soit un calul astucieux, soit…$\delta_a=$ masse de Dirac en $a.$
Comment $\lim_{b\rightarrow \infty}\beta(a,b)=\gamma_{a,1/b}$ est -il possible: la limite dépend de b!, la limite est une proba sur $(0,\infty)$ alors que $\beta(a,b)$ est concentrée sur (0,1)!Ta question est trop vague. Si $a=pt$ et $b=(1-p)t$ et si $t$ tend vers l'infini la loi beta tend vers $\delta_p;$ prendre $\mathbb{E}_{a,b}(X^s)$ pour s'en convaincre. Autre méthode $X\sim Y_a/(Y_a+Y_b)$ avec $Y_a$ et $Y_b$ des va indépendantes de …Les mathématiques étant éternelles l'expression vieux bouquin est à prendre avec des pincettes. Whittaker et Watson, et les fonctions de Bessel de Watson sont bien plus consultés en une année que des livres récents. Si Jeanne 2 achète le tome 1 de D…Heu, je cite le cours de proba déposé sur le forum au moment où bien des intervenants sortaient de la maternelle., chapitre va étagées.Ca m'intéresserait bien en effet, merci beaucoup.1) Le cours n'était pas donné en France; 2) C'est bien la beta d'Euler.Merci de ton intérêt cher Daniel. Ce que je t'envoie n'est pas très simple:
\textbf{Lemma 6.2.} If $a>0$ then $\lim_{y\searrow 0}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\Im \frac{u^{a-1}du}{(u-v-iy)^{a}}=\textbf{1}_{(0,\infty)}(v).$
…Bah Gérard t'es dur. $e^{1/2}-\int_0^{1/2}e^x(\frac{1}{2}-x)^n dx$ est une réponse relativement satisfaisante.Pas si facile. Voici un extrait du cours d'algèbre linéaire de Toulouse (site du signataire). Ici $V_+$= matrices $nn$ definies positives et $\overline{V_+}$= les semi définies positives. Le cours comprend aussi deux autres démonstrations, plus cour…Une erreur classique de penser que si $Y_1$ et $Y_2$ suivent des lois de chi deux de degrés de liberté $p$ et $q$ et si $Y=Y_1+Y_2$ est un chi deux de degré de liberté $p+q$ alors $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes (il y a un contre exemple quelque …J'interdis aux étudiants de parler d'intégrales indéfinies. Quelle pourrait en \^etre la définition? Une classe d'équivalence pour la relation $F\sim G$ $\Leftrightarrow$ $F-G=$constante sur l'intervalle de définition? Trop compliqué, abolissons, et…LE groupe de cardinalité 3N? DES caract\`eres complexes?Dis donc, tu es comme la locomotive de Stevenson.
Si $X\sim N(b,a^2)$ et si tu veux la variance de $X^2$ alors tu calcules $E(X^2)=b^2+a^2$ puis $V(X^2)=E(X^4)-E(X^2)^2.$ Pour avoir $E(X^4)$ tu ecris $X=aZ+b$ avec$ Z\sim N(0,1)$ et donc<…Soit $(X,Y) $ une va gaussienne centrée de covariance $\left[\begin{array}{cc}a&b\\b&c\end{array}\right]$ Alors $X$ sachant $Y$ est gaussienne de moyenne bY/c et de variance $a-\frac{b^2}{c}$ (c'est du cours). En particulier $$\mathbb{E}(X^2…Merci gb de m'avoir corrigé...Je ne vois qu'une solution compliquée.
Le changement de variable canonique est $t=\tan(\theta/2)$ conduisant pour la premi\`ere intégrale \`a $$I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(1-t)^2}{(at^2+bt+c)^{3/2}(1+t^2)^{1/2}}dt$$ On tue un des deux rad…Bah, la définition ''$\epsilon (x)=(f(x)-P(x))\frac{1}{x^n}$ tend vers zéro'' est la chose \`a laquelle on revient quand on patauge dans $f(x)=P(x)+o(x^n).$ L'expérience ne me manque pas non plus...Bisam: je sais définir un 'polyn\^ome'. Définis moi une 'écriture'.Pas tr\`es \`a l'aise avec le dernier post de gb. Pour moi, LE développement limité de la fonction $f$ d'ordre $n$ au voisinage de zéro est l'unique polyn\^ome $P$ de degré $\leq n$ tel que $\epsilon(x)=\frac{f(x)-P(x)}{x^n}$ tende vers zéro avec $x…Posant u=1+U et v=1+V ca devient $UV=1$, donc $U$ et $V$ commutent ainsi que $u$ et $v.$Impec: francais est remplacé par english. Merci ego.Faisons une synth\`ese de ce que j'ai compris apr\`es tout le monde. Si $X_1,\ldots,X_N$ sont indépendantes de loi $C(\theta,1),$ soit
$S(X)=X^{(1)},\ldots,X^{(N)}$ la statistique d'ordre. Ces nombres $X^{(i)}$ sont distincts. Alors $S(X)$ est…Erreur et excuses de ma part: complet+suffisant $\Rightarrow$ suffisant-minimal, et non: complet$\Rightarrow$ suffisant-minimal. Et $X_1$ ou $X_1+\cdots+X_N$ ne sont point suffisants ici.Il me semble qu'une condition suffisante pour qu'une statistique $s(X)$ soit suffisante -minimale est qu'elle satisfasse \`a la propriété suivante: si $g$ est bornée et si $\mathbb{E}_{\theta}(g(s(X))=0$ pour tout $\theta$ alors $g\equiv 0.$ Or on p…
Bonjour!