Réponses
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Commençons par placer le cercle dans un plan horizontal :
et notons le lemme suivant :dans Le théorème de Brianchon (1806) Commentaire de Casagrande 13 Jan
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Bonsoir,
Il n'est effectivement pas facile de définir ce que peut être une "démonstration synthétique"... Même s'il est à peu près clair qu'une démonstration faisant appel aux coordonnées (qu'elle soit "à la main" ou "par ordinateur")…
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Vassillia a dit pas loin :
alors on pourrait peut-être d… -
Bonsoir RHOM,
D'abord : félicitations pour ce problème et sa solution !
En définitive, la question finale revient à (sur votre figure) :
Etant donné un quadrilatère complet ABCA'B'C', alors la cubique isoptique relative aux segm… -
Bonjour,
dans un article de 1999 Adrien DOUADY développe un peu la question et montre comment appliquer cela à l’exemple du « problème du sixième cercle ».
Sa preuve est relativement plus laborieuse que la méthode classique par inversion…… -
En fait. Ma construction des bissectrices donne les deux cas possibles…
(mettre le point à l’infini « en bas ») -
Il s’agit de la tangente au point d’intersection de la parallèle à l’axe passant par I.
le but est de tracer le triangle cherché lorsque un sommet est le point à l’infini. -
Bonjour,
si on connaît la direction de l’axe et celle de la tangente au point d’intersection de la parabole et de la parallèle à l’axe, il suffit de mener par I les bissectrices de cet angle…
Cordialement
Casagrande -
Bonsoir,
Sauf son respect, c'est un problème destiné à Pappus...
— supposons A différent du centre du cercle,
dans Sans les mains
Commentaire de Casagrande
July 2024
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Bonjour RHOM,
oui, c'est le cas des cubiques, que l'on appelle ici le "théorème du neuvième point"...
je pense que les participants à cette discussion sont parfaitement capables de décoder ma construction !
Cordialement, e…dans construction de la 4e intersection d'une conique et un cercle Commentaire de Casagrande July 2024 -
Bonsoir,
Il me semblait que ma figure polychrome laissait deviner la solution :
- la cubique bleue et la cubique rouge se coupent en 9 points (dont un dont on ignore la position...)
- la cubique verte passe par 8 de ces p…dans construction de la 4e intersection d'une conique et un cercle Commentaire de Casagrande July 2024 -
dans construction de la 4e intersection d'une conique et un cercle Commentaire de Casagrande July 2024 -
Bonjour,
Considérons la M-symédiane de MBC. Elle découpe … -
Bonjour,
Une forme de la "géométrie synthétique" depuis le 19ème siècle consiste à se référer à la "géométrie analytique" des calculs, tout en ne faisant pas les calculs car on en connaît à l'avance le résultat...
Simplifions l… -
Bonjour,
Comme l'avait suggéré Vassillia, on peut partir du point P : le fait que les tangentes issues de P touchent le cercle 𝛤 aux points d'intersection de celui-ci avec la parallèle à AB menée par K n'est rien d'autre que la constructi… -
Bonsoir,
Considérons d'abord la partie nord-est de la figure :
dans Quelques triangles
Commentaire de Casagrande
April 2024
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Bonsoir stfj,
Il s'agit effectivement du "théorème de Pappus" et, pour certains, de "l'axiome de Pappus", dans la mesure où il revient (en plus des axiomes d'incidence) à postuler la commutativité du corps de base...
C'e… -
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Merci à Vassillia de m'avoir éclairé dans sa réponse à propos de KOO4... les cubiques ne sont effectivement pas trop ma tasse de thé...
Cela dit, la réaction de pldx1 est intéressante : "rien n'empêche de malaxer des souvenirs de phase te… -
En ce qui concerne le fait que les trois droites obtenues sont toujours concourantes (et pas seulement dans le cas des symédianes) cela peut aussi être prévu dans le formalisme "synthétique" :
dans Triangles podaires de points isogonaux Commentaire de Casagrande March 2024
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En ce qui concerne le cas de l'orthocentre et du centre du cercle circonscrit, pour lequel les trois droites trouvées sont les symédianes, on peut remarquer que, dans ce cas la figure se réduit à :
dans Triangles podaires de points isogonaux Commentaire de Casagrande March 2024
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Bonjour,
Pldx1, qui aime les mots et (sans doute) le formalisme qui "pense à notre place", donne la solution de tous les problèmes avec une dextérité époustouflante. Et en utilisant un formalisme qui lui est personnel.
Lorsqu'i… -
Bonjour Vassilia,
Ma figure ne correspond pas du tout à la transformation évoquée par gai requin.
Je ne vois d'ailleurs pas à quoi il fait allusion.
Cordialement
Casagrande -
Bonjour Dom,
Ma figure est tout simplement la transformée de la figure initiale par une inversion. Ici de centre T1, (C'est un métier que l'on acquérait au temps où le manuel de géométrie avait un nom à deux arches, que j'ai oublié depuis… -
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Bonjour
Soit ABC un triangle inscrit dans le cercle 𝛤 de centre 𝛺. Soit 𝛼𝛽𝛾 la droite de Simson d'un point M de 𝛤 (où 𝛼 est la projection de M sur le côté BC, etc.). Soit 𝜇 la projection de M sur la droite de Simson.Considérons …Bonjour,
Soit D la parallèle à la bissectrice AI, et soit P et Q ses intersections avec AB et AC.
La symétrie glissée d'axe D et de vecteur PQ envoie la droite AB, sur la droite AC et elle est telle que le milieu du segment joignant …Bonjour,
Une petite précision par rapport à mon message précédent : il s'agit évidemment de la symétrie centrale de centre Oméga et, si ce point est extérieur au disque, il convient naturellement de considérer à la place la symétrie ortho…Bonsoir
Considérons le disque introduit par Monsieur Pappus dans sa figure initiale (https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2336763/un-pe…Bonsoir
Il est clair que nombre d'intervenants trouvent ce texte "excellent"... Mais n'est-il pas curieux qu'il repose (comme d'ailleurs en a décidé le titre de cette discussion) sur une une contre vérité flagrante : "L’excellence pour tous pro…Effectivement, la propriété utile (alignement des milieux des segments déterminés par les couples isogonaux) revient à l'existence de "l'axe" de la courbe rencontrée. J'ai fait appel à la cubique isoptique car je ne sais pas montrer directement cet …Bonsoir Jean-Louis Aymé,
Le point B' est le milieu de AC (comme il est dit au début du premier message).
On se contente d'un exemple de position de P (sur le cercle ABC) parce qu'il a été prouvé dans la première étape que la "droit…Deuxième étape : Les bissectrices de l'angle (OP', OP) sont les droites de Steiner des points M et M', en lesquels la droite NU coupe le cercle d'Euler A'B'C'.
Il suffit de considérer un exemple particulier pour chaque direction p…Première étape : Les angles (OP', OP), (OQ', OQ) ont mêmes bissectrices si et seulement si les points N, U et V sont alignés.
Soit P, Q tels que (OP', OP) et (OQ', OQ) aient mêmes bissectrices. Les angles (OQ, OP) et (OP', OQ') so…Bonsoir,
Permettez-moi de suggérer une piste "synthétique" pour obtenir le résultat cherché... Le principe de la preuve serait le suivant :
Soit A'B'C' le triangle des milieux. N est le centre du cercle d'Euler de ABC,…Bonjour,
Il me semble que les droites évoquées par fm_31 sont celles que j'ai désignées par PS, TQ, UR... et, sauf contestation argumentée, mon précédent message fournit une démonstration de la concourance...
(On peut la voir comme…Bonjour,
Et s'il ne s'agissait pas de géométrie plane ?...
1. le fait que les droites PB', TC' et RA' sont concourantes en un point W résulte facilement de l'isogonalité entre les hauteurs et les droites passant par le centre…merci Ludwig
Bonjour!