Boécien

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  • Bien vu mais comment le montrer? Plus de décimales du point fixe
    $$-0.56714329040978387299996866221035..…
  • Oui c'est ça et on voit qu'il n'y a plus de cas non trivial à considérer car $\ell(a,b)=0$ et $C(a,b)=0$ impliquent $a=b=0$.
    dans suite Commentaire de Boécien 19 May
  • Si $u_{0}=a$,$u_{1}=b$ et

    $$u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{2}{n+2}u_{n}$$

    J'obtiens en notant $\ell(a,b)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n}}{n^{2}}$

    $$u_{n}=\ell(a,b)\left(n^{2}+7n+10\right)+O\left(\frac{2^{n}}{(n+3)!}…
    dans suite Commentaire de Boécien 18 May
  • La suite $x_n$ est assez irrégulière et sans doute non bornée mais la limite de $y_n$ semble être zéro $-0.569...$.
  • Pour le cas  $(b-a)+e^{-2}(9a-5b)=0$  la méthode du transfert est très efficace. En reprenant le résultat de gebrane:

    $$f(x)=\frac{1}{(x-1)^{3}}\left(\frac{ax^{2}}{2}-\frac{3ax}{2}+\frac{5a}{4}-\frac{bx^{2}}{2}+\frac{3bx}{2}-\frac{5b}{4}+…
    dans suite Commentaire de Boécien 18 May
  • Bon si tu n'as pas trouvé le théorème du transfert le voici (en gros).
    Soit

    $$f(z)=\sum_{n\geq0}u_{n}z^{n}$$

    et

    $$g(z)=\sum_{n\geq0}v_{n}z^{n} $$

    Si $f$ et $g$ ont toutes les deux $1…
    dans suite Commentaire de Boécien 16 May
  • (Quote) Tu peux par exemple regarder cette page.
    dans suite Commentaire de Boécien 16 May
  • On peut aussi trifouiller l'ordre $3$ pour des limites rigolotes. Soit par exemple la suite $u$ définie par $u_{1}=0,u_{2}=0, u_{3}=1$ puis par

    $$u_{n}=u_{n-3}+\frac{3}{n-3}\left(u_{n-1}+2u_{n-2}+3u_{n-3}\right)$$

    Alors sauf er…
    dans suite Commentaire de Boécien 16 May
  • La théorie des nombres se divise grosso modo en deux grandes branches: la théorie analytique des nombres et la théorie algébrique des nombres et ces deux branches semblent communiquer fortement. J'ai par exemple trouvé une formule de limite où une f…
  • Effectivement c'est un bon exemple qui permet d'accélérer les calculs dans le problème des diviseurs de Dirichlet:
    $$\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor =2\left(\sum_{1\leq k\leq\sqrt{n}}\left\lfloor \frac{n}{k}\right\…
    dans Limite de somme Commentaire de Boécien 8 May
  • J'ai vu mais ce n'est plus une farce avec l'ultra classique découpage en sqrt(n) . Je ne compte plus le nombre de fois où ce découpage de sommes permet de résoudre des problèmes en  théorie des nombres.
    dans Limite de somme Commentaire de Boécien 8 May
  • Généraliser c'est aussi tâtonner. Tu aurais fini par trouver la bonne formule.
  • On voit k^3-(k-1)^3 dans la formule de Cidrolin. J'y vois déjà la généralisation ;)
  • Sinon pour faire marcher l'idée de gebrane on peut couper la somme en deux

    $$\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k}\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)^{k}=\sum_{1\leq k\leq\sqrt{2n}}\frac{(-1)^{k}}{k}\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)^{k}+\sum_…
    dans Limite de somme Commentaire de Boécien 8 May
  • Tout ça c'est blanc bonnet et bonnet blanc, une fois qu'on a vu le résultat général tous les chemins mènent à Rome.
  • La mienne aussi :) partant de ma relation triviale télescopique il reste à inverser l'ordre de sommation puisque
  • Je montre d'abord que
    $$\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor ^{m}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{1\leq j\leq n/k}j^{m}-(j-1)^{m}$$

  • Pour $m\geq1$ entier fixé et $n\geq1$ on a sauf erreur

    $$\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor ^{m}=\sum_{k=1}^{n}\left(k^{m}-(k-1)^{m}\right)\left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor$$

  • Si on veut une formule donnant directement $w_{2n+1}$ on peut partir de la série génératrice (je passe les détails)

    $$\sum_{n\geq0}w_{2n+1}x^{2n+1}=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

    Puis comme 
    $$\frac{1}{\sqrt…
  • Il faut que tu isoles la lettre avec la commande

    \mbox{\Large{$\beta$}}

    Sous Lyx tu peux insérer du Code normalement (c'est comme a dit Héhéhé)


    <…
    dans Faire un gros $\rho$ Commentaire de Boécien 17 Apr
  • L'astuce de Herglotz marche en écrivant $n^2+a^2=n^2-(ia)^2$ et $\cot$ devient $\coth$ non?
  • Le fait d'avoir enlevé le "Révéler"  ne permet pas de voir qu'il s'agissait d'un poisson d'avril. Une preuve du TNP en 10 lignes!
  • Ayant pu avoir accès à l'article en question, il donne bien plus d'informations que la définition du polylog. 
    Soit $$C=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)^{2}}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{k^{2}}\right)=-4L_{i_{4}}\left…
    dans Somme binomiale Commentaire de Boécien 23 Mar
  • La suite A099218 fait référence à une table d'intégrales à laquelle je n'ai pas accès pour Li4(1/2). Je ne sais pas si c'est intéressa…
    dans Somme binomiale Commentaire de Boécien 22 Mar
  • C'est sans doute pour ça que a(n)+1, b(n)+1, c(n)+1 sont plus naturelles.
    Sinon pour revenir à l'équation fonctionnelle de Cidrolin. Si on impose $f(1)=1$  on a nécessairement $f(x(n))=y(n)$ pour tout $n>0$ où
    \begin{align*}
  • Oui j'ai fait une petite erreur. Je trouve pour finalement comme jandri pour s>1, -(1+(2^(s-2)-1)/2^(s-2))*zeta(s).

  • @gebrane Pour $s>1$ on a du $\zeta(s)/2$  non ?
    Peut-être que la technique d'inversion dont j'ai parlé plus haut a plus sa place si on pose ce problème :…
  • La technique directe de Benfloor(Pi*10^5) fonctionne ici.
  • Tu as sauf erreur la famille f(n)=floor((sqrt(3)+1)*n+s)  avec 0<=s<1 réel. Mais d'autres sont possibles.
  • On peut aussi le faire à l'envers (je sais pas si ça a déjà été dit dans tous ces échanges...) en admettant le résultat.
    Rappel sur la transformation binomiale : $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}=b_{n}\Longleftrightarr…
  • Sans autre contrainte il y a en sans doute beaucoup. Il faudrait peut-être imposer f croissante et minimale... et donner f(1)=0 ou 1.
  • Effectivement, bravo Ben314159 toujours aussi adroit!
    Parfois les attaques directes marchent.
    Ce qui intéressant lorsqu'on a une partition (ici de 3 suites a,b,c) c'est d'arriver à exprimer a,b,c en fonction de a,b,c.…
  • Pour ta formule 2) il doit y avoir un pb d'indice non ?
    $3c(n)+2n-c(b(n)+1)$ me donne $3,0,0,3,3,0,0,3,0,0,0,3,0,0,3,...$
    En revanche je trouve que $3c(n)+2n+2=b(c(n)+1)$
  • Il n'y a qu'un pas à franchir pour poser le problème suivant. Soit $\lambda,\mu$ deux réels et la récurrence $$u_{n}=\left(1+\frac{\lambda}{n}\right)u_{n-1}+\left(1+\frac{\mu}{n}\right)u_{n-2}$$ Montrer que $$u_{n}\sim CF_{n}n^{\left(\frac{\lam…
  • Pour l'autre cas avec $\mu$ réel $$u_{n}=u_{n-1}+\left(1+\frac{\mu}{n}\right)u_{n-2}.$$ Je pense que $$u_{n}\sim C(u_{0},u_{1})F_{n}n^{\tfrac{\mu}{\Phi\sqrt{5}}},\qquad \left(n\rightarrow\infty\right)$$
  • Si on prend le cas "simple" $$u_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)u_{n-1}+u_{n-2}$$ Alors je pense que $$u_{n}\sim C(u_{0},u_{1})F_{n}n^{\frac{\sqrt{5}}{5}}\ \left(n\rightarrow\infty\right),$$ où $F_n$ est le $n$-ième nombre de Fibonacci. Quelques évalu…
  • Je ne pense pas que ce soit toujours vrai. 
    Si $a_n=n/(n+1)$ et $b_n=1$ il semble que $u_n\Phi^{-n}$ tend vers zéro et que $u_n\Phi^{-n}=O(n^c)$ avec $c=-0.4...$
    Si $a_n=1+1/n$ et $b_n=1$ il semble que $u_n\Phi^{-n}$ t…
  • J'ai peut-être une erreur d'indice mais il semble aussi que pour tout $q\geq0$ fixé la on a pour $n$ assez grand
    $$a_{n(n+3)/2+q}=\frac{2^{n+q+2}}{2^{q}+1}+u_{q}(n)$$
    où $u_{q}$ est une suite $2q$ périodique.
    dans Étude d'une suite Commentaire de Boécien 28 Jan
  • Superbe observation les ruptures de paliers! Pour le cas avec les puissances de $3$ c'est cohérent aussi : $$(\log3)( \sqrt 2) =1.5536723984241...$$ et non pas ce que j'ai imaginé plus haut.
    dans Étude d'une suite Commentaire de Boécien 28 Jan
  • Si on prend les puissances de $3$ au lieu de $2$ dans la définition des $T(n,k)$ on obtient le même phénomène et cette fois la limite est proche de $1.55$ (est-ce $\sqrt{1+\sqrt 2}=1.5537...$?). Ci-dessous le graphique entre 13000 et 22500.
    dans Étude d'une suite Commentaire de Boécien 28 Jan
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