Réponses
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Je vois, merci !
Quant à ce que propose JLapin, j'ai toujours traduit la densité de l'espace $F$ dans $E$ comme étant la limite d'une suite. Du coup, dire qu'il existe $y\in F$ tq. $||x-y||\le\epsilon$ me perturbe un peu !
Est-ce correct s… -
@Poirot
1. Comment justifier que c'est une écriture d'une combinaison linéaire finie ?
2. Pour répondre à la question, puis-je avoir un indice pour me mettr… -
Merci infiniment, j'ai tout compris !
Je me demande, à quelle condition supplémentaire peut-on dire qu'un anneau pr… -
Merci !
Alors, dans la suite il est dit que $|u|^2$ divise $|v|^2$ ou $|v-1|^2$ ou $|v+1|^2$.
Par la suite, il est fait le choix de $v=2$ ou $v=w$ : je ne vois pas pourquoi uniquement ces choix là ? Est-ce arbitraire ? -
Je vois, merci ! Puis-je poster une autre incompréhension de la démonstration dans ce fil de discussion ou dois-je en ouvrir un autre ?[Pour le même problème, restons dans ce fil de discussion.
dans Anneau non euclidien Commentaire de BMaths April 2023
C'était une erreur de ma part ! Désolé ! J'ai rectifié !OK, je crois que j'ai compris le passage.
On ne peut avoir $r\in\mathbb{Z}[w]\setminus\{-1,0,1\}$ car sinon $\phi(r)<\phi(u)$ lequel est un minimum. Absurde. C'est donc que $r\notin\mathbb{Z}[w]\setminus\{-1,0,1\}$ et donc $r\in \{-1,0,1\}$.…Bonjour,
merci pour vos retours ! Alors pour répondre à la question, si $r$ est non nul, on demande que $\phi(r)<\phi(u)$, lequel est un minimum. Ce qui n'est pas possible. C'est donc que $\phi(r)=0$, non ?
(Quote) Je vois l'idée.
Inutile de trop préciser les notations, ainsi c'est plus clair.
Merci !Bonsoir,
avec un peu de retard, merci de vos retours !
Une lecture intéressante Bonjour à tous,
oui, j'essaye d'y remédier en travaillant ce point, ce n'est pas facile !
Pour simplifier la rédaction, je vais noter $G=vect\{x,u(x),...u^{k-1}(x)\}$
La proposition est vraie à $p=0$ puisque $u^0(x)=x\in G$.<…Oui, c'est exactement ce que je me disais. Pouvez-vous me mettre sur la voie pour mieux le rédiger ?
Merci !Ah d'accord !
$x$ est élémént de $Z_p$ donc s'écrit $\frac{a}{b}$ avec un dénominateur irréductible non divisible par $p$.
$u$ est lui aussi élément de $Z_p$ donc s'écrit comme une fraction $\frac{c}{d}$, dont le dénominateur…Je comprends.
Dire que $x$ est élément de $p^mZ_p$ signifie qu'il existe un élément $u$ de $Z_p$ tel que $x=p^mu$. C'est dans ce sens là que j'entends être divisible.
Dès lors, j'obtiens l'égalité $\frac{a}{b}=p^mu$ et, en mu…Je comprends pourquoi il vaut donc mieux écrire :
[...] $c(S)=c(dP)=dc(P)=d$, à un inversible près.
Plutôt que de mettre une barre partout. Merci !
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Il ne me reste plus que la dernière question :4 - Démontrer le crit…Je viens d'en faire un autre aujourd'hui.
Je suis en train de réaliser que, du fait que $x\mathcal{R}_fy \iff f(x)=f(y)$ soit une relation d'équivalence, on retrouve vraiment très souvent les classes d'équivalence !
Voici l'e…Parfait, merci !
J'ai repris la rédaction du point (ii) également.
(ii)
Par l'absurde.
Supposons que l'on ait une égalité de la forme $P= P_1P_2$ avec $P_1,P_2\in\mathbb{Q}[X]$ et [$P_1\not\in\mathbb{Q}[X]^\times$ et $P…Ok !
Je suppose donc que $I \neq J_{\infty}= \{0\}$
Soit $x \in I$ tel que $x \neq 0$.
J'écris $x=\frac{a}{b}$ sous forme irréductible avec $p\not\mid b$ puisque $x\in Z_p$.
Puisque $x$ n'est pas nul, …C'est rectifié !
Oui, j'ai bien noté que $p\ge 3$. On a besoin de cette hypothèse car sinon, on peut travailler dans l'ensemble $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1}\}$. Dans ce cas :
- pour $x=0$, $x^2=0$
- pou…Bonjour,
oui, c'est vrai, j'ai mal raisonné !
Je crois avoir compris.
Sur $P$, je suppose qu'il est irréductible dans $\mathbb{Z}[X]$ donc, par définition, $P$ n'est pas inversible dans $\mathbb{Z}[X]$.
Bonsoir,
j'ai écrit une bêtise sur les inversibles de $\mathbb{Z}[X]$ ! C'est plutôt $\mathbb{Z}[X]^\times=\mathbb{Z}^\times=\{\pm1\} !$
Sinon, j'ai cherché dans les messages précédents un argument pour montrer que $P$ n'est …Bonjour,
j'ai une question autour des classes d'équivalence pour l'application suivante :$\begin{array}{ccccc}
f & : & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \to & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \\
…C'est rectifié !
J'avais vu la notion de valuation $p$-adique dans un exercie, sans faire le rapprochement ici.
Ce que je sais :
Si $p$ est un nombre premier, et que $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, alors l'ensembl…Parce que je n'arrive pas à montrer que l'ensemble $\{k\in\mathbb{N}\mid x\in J_k\}$ est majoré.
C'est une partie non vide de $\mathbb{N}$ puisqu'il contient $k=0$. En effet, $x\in I\subset Z_p=J_0$.
Pour montrer qu'il existe…Ok !
Je suppose donc que $I\neq J_\infty$.
Je considère $x\neq 0$ un élément de l'idéal $I$ de $Z_p$.
Ainsi, cet élément $x$ est élément de $Z_p$ et, sous sa forme irréductible, peut s'écrire $x=\frac{a}{b}$ avec …Je comprends beaucoup mieux, je n'avais pas pris garde à ce que le dénominateur soit de forme irréductible. Cela n'était pas indiqué dans l'énoncé, mais je vois pourquoi il est nécessaire de le préciser.
S'agissant de la 4), je m'e…Merci, je pense avoir bien compris maintenant.
Je m'attaque à la réciproque :$P$ est irréductible dans $\mathbb Z[X]$ $\Rightarrow$ $P$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$
Pour prouver que…Ok !
J'essaye ! Je définis la multiplication $\overline{a}\times\overline{b}:=\overline{a\times b}$.
Je vais prouver que la valeur $\overline{a\times b}$ ne dépend pas du choix des représentants pour figurer $\overline{a}$ et…Ok, j'essaye !
Je suppose que $\overline{1}=c(P_1)c(P_2)$.
Je note $c(P_1)=\overline{k_1}$ et $c(P_2)=\overline{k_2}$.
Par suite, j'obtiens $\overline{1}=\overline{k_1}.\overline{k_2}=\overline{k_1k_2}$.
Soit $P$ un polynôme réductible dans $\mathbb{Z}[X]$.
Alors il existe deux polynômes $P_1,P_2\in\mathbb{Z}[X]$ non inversibles tels que $P=P_1P_2$.
Puisque $P$ est primitif, alors il est de contenu $c(P)=\overline{1}$. En uti…Si ! Mais je pensais qu'on pouvait prendre le problème par un autre bout encore vu qu'on parle d'image réciproque au départJ'ai montré en d) que $g\in f^{-1}(\{y\})\iff g\in\gamma G_x$ où $y=\gamma.x$ et $\gamma\in G$.
Cela signifie que $\{g\in G\mid g\in f^{-1}(\{y\})\}=\{g\in G\mid g\in\gamma G_x\}$.
D'une part :
$\begin{aligned}
\{…Merci ! C'est rectifié.
Pour aller au bout, je pense qu'on peut établir une bijection ensembliste entre $G_x$ et $gG_x$.
Ce qui permet d'écrire :$\begin{aligned}
card(G)&=\sum_{\bar{g}\i…(Quote)
Oui, j'ai vu cette preuve. En fait, je voulais une deuxième corde à mon arc.
D'ailleurs, pour cette application, nommons là $\phi_x$, je prouve qu'elle est bien définie et injective.
Je lis "la surjectivité …Je pense que je viens de comprendre, non sans mal !
Je reprends. Je considère l'application $ \begin{array}{lccl}
f : &G &\rightarrow& G.x \\
&g& \mapsto &g.x
\end{array}$.
Je considè…Je vois. En fait c'est une autre façon de dire qu'ils sont en relation lorsqu'ils ont même image :$g\mathcal{R}_G g' \iff f(g)=f(g')$
En effet, en l'écrivant, je trouve :
\begin{aligned}
f…J'ai des difficultés pour cette question.
Voilà ce que j'ai écrit.
Soit $P$ un polynôme réductible dans $\mathbb{Z}[X]$.
Alors il existe deux polynômes $P_1,P_2\in\mathbb{Z}[X]$ non inversibles tels que $P=P_1P_2$…C'est rectifié !
Dans un autre exercice, j'avais $G$ un groupe agissant sur un ensemble $X$. Et je devais montrer que pour tout $x$ de $X$, on a :$\mathrm{card}(G)=\mathrm{card}(G_x)\mathrm{card}(G.x)$ <…Merci Poirot.
Je vais prendre l'exemple plus concret de $G=\mathbb{Z}$, $H=3\mathbb{Z}$ et $G/H=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$.
Je peux écrire :
$\…Je reviens aujourd'hui sur la notion de classe d'équivalence. Et je me rends compte que le point 6 n'est pas clair.
Avec les notations classiques, je veux montrer le théorème de Lagrange, à savoir que :$…
Bonjour!