Réponses
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Ca me fait penser à un déterminant : soit $f$ une fonction définie sur $\N$ et soit la matrice carrée $M_n$ d'ordre $n$ de terme $m_{i,j}=f(\mathrm{pgcd}(i,j))$. Alors il existe une formule pour le déterminant de $M_n$ que je vous laisse chercher. J…
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Lire donc :
$$\frac{\pi}{x}\frac{\cos(\theta x)}{\sin(\pi x)}=\frac{1}{x^2}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k\cos(k\theta)}{k^2-x^2}$$ -
Je ne l'ai pas sous la main mais je crois que dans le "Notebook II" de Ramanujan par Bruce C. Berndt on trouve une démonstration donnant la fonction Gamma incomplète en fraction continue. Ce qui si je me souviens bien permet d'en déduire celle pour …
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On me signale que Liouville a utilisé des simplifications de valuations de ce style pour montrer en 1840 des résultats d'indépendance pour des puissances de $e$. On trouve cela sur Gallica :
dans exp(2) est irrationnel Commentaire de B.........t January 2007 -
Merci à Borde et Gilles pour l'intérêt et leurs solutions. Remarquable majoration de f(n) Borde ! Je m'étais contenté de moins. Joyeux Noël !
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Soit cette autre suite voisine :
$b_1=0$
$b_2=1$
$b_{n+2}=|b_{n+1}-|b_{n}||+(-1)^nn$
La suite $(\frac{b_n}{n})_{n>0}$ possède apparemment 3 points d'accumulation très simples :
$-1,3,5$
Bonjour!