Raisonnement multisection d'angle — Les-maths.net

Raisonnement multisection d'angle

Bonjour,
Je viens vous demander où se trouve l’erreur dans mon raisonnement. Je ne suis pas un mathématicien c’est pourquoi je demande votre aide.
Je sais que la trisection d’angle est impossible au compas et à la règle. Depuis plusieurs semaines je parcours le net pour trouver le même raisonnement sur la trisection mais je n’ai rien trouvé ( google, trisection.doc, forums,…) je ne sais peut être pas où cherché dans ce domaine. Je vais vous énoncer mon raisonnement :

Soit 2 droites formant un angle A; quelconque. Pour diviser un angle en 3, il faut diviser l’arc de cercle correspondant en 3.
Nous savons que la longueur d’un arc de cercle correspond à : l = A ( en rad) * R ( le rayon)

Dans notre exemple l’angle A est constant donc l’arc de cercle est directement proportionnel au rayon.
Ainsi si on crée un arc de cercle de rayon R quelconque, on obtient une longueur l de l’arc de cercle correspondant.
R et l seront nos « unités de mesure ». Ainsi si on multiplie R par 3, l est multiplié par 3.

En reportant 2 fois le rayon R ( pour former 3R) au compas, l’arc de cercle ainsi créé, vaudra 3l. En reportant au compas la longueur l du premier arc de cercle sur le nouvel arc de cercle ainsi formé nous pouvons le diviser en 3 parties égales. L’angle A est donc divisé en 3 angles égaux.
Si on multiplie par 4 on peut diviser l’angle A en 4 et ainsi de suite...

Si ce raisonnement est bon on peut donc diviser un angle quelconque en 3, 4, 5,…angles égaux grâce à une règle et un compas ( en étant très très précis surtout dans le report du rayon).
Donc la trisection d’angle serait possible, c’est là mon problème. C’est pourquoi j’en appel à vous pour savoir où se situe mon erreur de raisonnement.
Merci par avance.
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Réponses

  • "En reportant au compas la longueur l du premier arc de cercle sur le nouvel arc de cercle ainsi formé nous pouvons le diviser en 3 parties égales"

    Cette partie me paraît douteuse. Comment reportes-tu une longueur d'arc à la règle et au compas, lorsque l'on change le rayon ?
  • En affirmant que la longueur de l'arc est égale à la longueur de la corde ... :D
    23833
  • Ah autant pour moi.
    Sur ton dessin je vois mon erreur, la courbure est différente et le compas
    n'est pas utilisable
    Mes constructions ont été dessinées avec "les mains de la foi" et sur une échelle trop petite pour voir mon erreur. Merci d' avoir pris le temps de faire le dessin explicatif.
  • Au temps pour toi !
  • à tout hasard, boys and girls, ma version des faits32479
  • ce qui m'a mis la puce à l'oreille..32483
  • Bonjour.

    Image_4.jpg
  • Jolie question : trouver la position du point P sur l'axe des abscisses qui rend "ma" construction optimale.
  • Version pleine corrigée. Tous mes voeux de bonheur, à vous tous.32723
  • Bonjour,

    j'ose espérer pour toi que tu es bien conscient que toutes les constructions que tu pourras imaginer sont fausses, y compris celle ci, et ne sont que des constructions approchées.
    Ceci dit des constructions approchées, il y en a des tas (et pas sûr du tout que la tienne soit d'une précision franchement meilleure que d'autres), et s'intéresser à la précision de la construction, à choisir des paramètres qui minimisent l'erreur (comme proposé par soland) peut être effectivement intéressant. Un petit moment..., entre deux occupations plus constructives.

    illustration quantitative de ta construction :
    on voit que l'erreur dépasse facilement 1°

    Bon amusement stérile.32741
  • A l'oeil-nu, et sans connaissance particulière des maths, c'était difficile pour moi de voir l'écart.
    Merci Chephip pour ta "correction" (aïeuuhh... ça fait mal...) D'un autre côté, ça m'occupe.
  • Chephip, tu as interverti la valeur des angles: c'est l'angle situé au milieu qui fait 41,174°. Et c'est les angles sur les côtés qui font chacun 39,413°. Le tout égalant effectivement 120°.
  • Tu as raison, il y a eu un dérapage de souris quand j'ai recadré les étiquettes avec Geogebra
    ça ne change rien aux conclusions (c'est juste une question de l'emplacement de l'étiquette)
  • Compas trisecteur
    (tri-secteur, trissecteur)
    33319
  • Bonjour,

    Rappel: couper un angle en trois à la règle et au compas est très facile tant que l'on ne demande pas que les morceaux soient égaux. Par exemple, on peut couper en deux moitiés, et l'une des moitiés encore en deux moitiés. On peut même procéder au blair, obtenant une construction à la règle seule.

    Question 1. On suppose que $Y$ est le milieu de $[O,A]$. Déterminer les points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OQ}\right)=\left(\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OP}\right)$.

    Question 2. On se donne $Y$ par son abscisse $y$. Déterminer $M$ tel que $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OQ}\right)=\left(\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OP}\right)$.

    Question 3. Etudier la réciproque.


    Cordialement, Pierre.33729
  • Et en remplaçant la parabole par une chaînette, ça donne quoi ?
  • Je viens de faire les calculs: la courbe reliant les points de trisection n'est pas une parabole: au lieu de trouver par exemple 1,414 (racine carrée de 2), ce qui aurait confirmé, j'ai seulement trouvé 1,3680806 (cosinus de 70°x 4). Ce qui infirme.
    La trisection au moyen de la parabole n'est qu'une approximation. Dommage. Les maths sont une discipline ingrate et cruelle.
    Je me demande quelle peut bien être la nature de cette courbe..
    Mystère et boule de gomme.

    Excuses au Sieur pldx1, sorry.
  • Je pense qu'il s'agit d'une parabole cubique (y3= a2. x), ou mieux d'une parabole semi-cubique (y3 = a. x3), de Neil (y = + ou - a. x3/2 ?
    Où sont les agrégés ?
  • Bonjour mimosapopeye,

    'y a pas besoin d'agrégé pour trouver l'équation de ta trissectrice:

    Tu considères le point $Z_1$ de la figure de pldx1dans un demi-cercle de rayon 1.
    Ses coordonnées sont $x=\pm \cos (\dfrac \pi 2-\dfrac \alpha 6)$ et $y=\sin (\dfrac \pi 2-\dfrac \alpha 2)$
    En posant $t=\dfrac \alpha 6$, il vient $x=\pm \sin t$ et $y=\cos 3t$,
    puis en touillant un peu tout ça , tu obtiendras $$\boxed{y=(1-4x^2)\sqrt{1-x^2}}$$

    P.S. C'est une courbe de Lissajous.
  • Et quelle serait l'équation de ta semi-cubique?34099
  • Je ne sais pas, Jacquot, tu es trop fort pour moi34109
  • Construction d'un angle de 10° à la règle, au compas, et au papier huilé...35029
  • Dans un cadre pratique, le plus simple est de travailler avec une bonne approximation.
    Par exemple l'angle aigu du triangle rectangle de cathètes 3 et 17 est une bonne approximation de 10°. L'erreur est de moins d'un centième de degré.
    Cordialement.
  • Bonjour..
    Pour la trisection angulaire.

    Pourquoi utilise-t-on deux instruments seulement qui sont la règle et le compas non gradués ?.

    Pourquoi n'utilise-t-on pas un troisième instrument pour fermer le dossier ?.

    Djelloul
  • Pas convaicu du tout: les articulations de toutes les chaînes à maillons coïncident parfaitement avec une chaînette..
    Bref, c'est pas grave.
    Jacquot, j'arrive pas à trisecter avec Lissajous: je m'y prends sans doute mal, aide-moi, stp.36501
  • $y=-4x^2 +1$ est l'équation d'une parabole.
    Celle de la courbe de Lissajous a été donnée là-haut.
    Je pense que tu as trouvé ton $-4x^2+1$ sur cette figure-là où tu as confondu la courbe noire et son corrigé rouge, non ?
  • $$\boxed{y=(1-4x^2)\sqrt{1-x^2}}$$

    Merci Jacquot . Ca a l'air un peu plus compliqué. Je vais essayer de nouveau
  • Bonjour samir1,

    J'ai pu ouvrir en ligne ton GeoGebra et faire bouger des points.
    Quand j'agrandis l'ouverture de l'angle , il devient flagrant que ta trisection ne partage pas l'angle en trois angles égaux
    :-S jacquot
  • il me semble qu'à partir de 90°, il convient de diviser par deux puis par trois, et chaque deux sections correspondront à l'1/3 de 90°.
  • Dans la pratique je doute de l’efficacité.
    Je suspecte trop de degrés de liberté.
    Il n'y a aucune contrainte qui oblige les piquets à rester verticaux sans quoi il devrait être difficile de tracer sans avoir 4 personnes physiques pour tenir le compas.
    Je te propose d'ajouter au moins une équerre en direction du centre du cercle, d'un point de vue théorique.
    Dans la pratique vu que les liaisons mécaniques ont du jeu il faudrait rigidifier avec au moins un pied à chaque extrémité du compas.
  • Il n'y a aucune contrainte qui oblige les piquets [a]à rester vertica[l]ux
    Bien sûr que si (du moment que les piquets ne sont pas alignés).
  • Autrement dit : si les barres vertes sont de même longueur et se coupent en leurs milieux, alors elles dessinent des rectangles.
  • D'accord.
    C'est la dénomination "articulation simple" qui m'a étourdie.
    En mécanique on appelle ça une liaison pivot.
    Je pensais que l'auteur du tri-compas pensait à https://fr.wikipedia.org/wiki/Liaison_(mécanique)#Les_liaisons_simples.
  • Pas sa, mais ça.
  • Il y a plus simple comme trisecteur, celui de Blaise Pascal :
  • Ludwig
    Pascal est un génie éternel.

    [Inutile de recopier le dernier message. AD]
  • il y a ici une belle figure GeoGebra illustrant la méthode de Kempe :
    Trisecteur de Kempe
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Success message!
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