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une autre suite

Bonjour
Un copain d'amphi m'a donné cet exo pour chercher

$(x(n))$ suite réelles avec tous les $x(n)>0$, $\ \lim x(n)=0$ et $\ \lim\dfrac{\ln\big(x(n)\big)}{x(1)+\cdots+x(n)}=a<0$
Montrer que $\ \lim \dfrac{\ln\big(x(n)\big)}{\ln(n)}=-1$
Notons $A(n)=x(1)+\cdots+x(n)$
on observe que $A(n)$ tend vers $+\infty$
que $A(n)$ est équivalent à $A(n-1)$
Comment continuez-vous ?
Merci.

Réponses

  • Bonjour ,

    $(x(n))$ suite réelles avec tous les $x(n)>0$,
    $\ \lim x(n)=0$
    $ \lim\frac{\ln(x(n))}{x(1)+\cdots+x(n)}=a< 0$
    Montrer que $\lim frac{\ln(x(n))}{\ln(n)}=-1$

    Un copain d'amphy m'a donné cet exo j'ai vu que S(n)=x(1)+...+x(n) tend vers +oo

    que S(n) est équivalent à S(n-1)

    Comment continuer merci.
  • Il faut montrer que ln(x(n))/ln(n) tend vers -1 quand n tend vers +oo
  • Avec Cesàro généralisé $\dfrac{x(1)/1+x(2)/2+\cdots+x(n)/n}{1+1/2+1/3+\cdots+1/n}$ tend vers 0.

    Donc $\dfrac{x(1)/1+x(2)/2+\cdots+x(n)/n}{\ln(n)}$ tend vers 0
  • J'arrive après la bataille.

    Référence possible : Pólya & Szegö: "Problems and Theorems in Analysis" Tome 1 66 et 70.

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Je ne vois en quoi le poste d'atur résoud cet exo
    Peut-on avoir plus de lumière ?
  • Il résout l'exo en ce que $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{\log n}{1+1/2+1/3+\ldots+1/n} = 1$.

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Je ne comprends toujours pas la solution.
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