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Norme d'algèbre

Bonsoir.
Existe-t-il une norme $||.||$ d'algèbre sur $M_n(\mathbb{C})$ telle que $||I_n||=1$ et qui ne soit pas une norme subordonnée à une norme sur $\mathbb{C}^n$ ?

Réponses

  • Je rappelle juste qu'une norme d'algèbre est par définition une "norme sous-multiplicative", c'est-à-dire qu'elle vérifie en plus des axiomes d'une norme classique la propriété $\forall (A , B)\in M_n(\mathbb{C})^2 ,\ \|AB\|\leq \|A\|.\|B\|$.
  • Bonjour

    Prends $N(A)=\sup|a_{i,j}|$ pour $A=(a_{i,j})\in M_n(\C)$.
  • Magnolia : ce que tu proposes n'est pas une norme d'algèbre.

    Un exemple valable consiste à prendre le sup entre la norme subordonnée à $\|-\|_1$
    et celle subordonnée à $\|-\|_\infty$, autrement dit $N(A)$ défini comme la plus grande somme des modules des coefficients sur une rangée (ligne ou colonne).
  • Oui, j'ai mal lu!
  • Salut dSP,

    Est-ce facile de voir que ta proposition n'est subordonnée à aucune norme sur $\C^n$ ?
  • Si c'était une norme subordonnée, il devrait y avoir deux normes $N_1$ et $N_2$ sur
    $\K^n$ telles que $N(X{}^tY)=N_1(X)N_2(Y)$ pour tous $X$ et $Y$ dans $\C^n$.
    En prenant des matrices à colonnes toutes nulles sauf une, on prouve que $N_1$ est proportionnelle
    à $\|-\|_1$, et de même pour $N_2$. La contradiction s'obtient ensuite assez facilement.

    Plus généralement, on peut montrer, grâce à Hahn-Banach, qu'étant donné deux normes $N$ et $N'$ sur un espace vectoriel $E$ (de dimension finie), si les normes subordonnées $N_s$ et $N'_s$ vérifient $N_s \leq N_s'$, alors $N_s=N'_s$ et les normes $N$ et $N'$ sont proportionnelles.
  • Merci beaucoup dSP. Je comprends à peu près le premier argument ; on peut prendre pour $N_1$ la norme de départ et pour $N_2$ la norme duale sur $(\C^n)^*$. Il faut encore que je médite sur la généralisation.
  • Bonsoir,
    Je n'ai pas compris le premier argument. " il devrait y avoir deux normes $N_1$ et $N_2$ sur $\mathbb{C}^n$ telles que ..."
  • Salut Poltaj,

    En fait il suffit d'écrire la définition de la norme subordonnée à une norme $\nu$ pour voir que dans le cas d'un endomorphisme de rang $1$, de la forme $u \, : \, x \mapsto \varphi(x)e$ ($\varphi \in E^*$ et $e \in E$), la norme subordonnée de $u$ se "factorise" en une partie dépendant seulement de $\varphi$ et une autre dépendant seulement de $e$, et ces deux parties sont des normes sur $E^*$ et $E$.
  • Merci. J'ai compris cette partie.
    Mais pourquoi $N_1$ serait-elle proportionnelle à $||.||_1$? ...
    Edit: Ah, c'est parce que $|||A|||_1=sup\{\sum_{i=1}^n |a_{ij}|, j\in [1,n]\}$!
    J'ai compris. Il me reste à trouver la contradiction.
    Quelle est-elle?
    Il me semble avoir trouvé la réponse:
    On note $N_1=\mu ||.||_1$ , $N_2=\lambda ||.||_{\inftu}$.
    Donc en prenant la matrice Atilla on trouve $\mu \lambda= \frac{1}{n}$ , alors qu'en prenant une matrice avec une seule colonne non nulle qui ne contient que des $1$, on trouve $\mu \lambda = 1$ !
  • J'ai du mal à comprendre comment "on peut montrer, grâce à Hahn-Banach, qu'étant donné deux normes $N$ et $N'$ sur un espace vectoriel $E$ (de dimension finie), si les normes subordonnées $N_s$ et $N'_s$ vérifient $N_s \leq N_s'$, alors $N_s=N'_s$ et les normes $N$ et $N'$ sont proportionnelles."
    Pour moi, Hahn-Banach dit que dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé, si on prend $C$ un compact convexe non vide, $C'$ un convexe fermé qui ne coupe pas $C$, alors il existe une forme linéaire $\phi$ telle que $\displaystyle \sup_{x\in C} \phi(x) < \inf_{x\in C'} \phi(x)$.
  • Il y a la norme de Schur.
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