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zéta

Bonjour,

Je vois que les techniques de "renormalisation" (terme de la physique quantique statistique) reposent sur les valeurs de $\zeta(-n)$ dont les antécédents $z_n=-n$ sont situés sur un axe ($\Im z=0$) perpendiculaire à droite critique ($\Re z=\frac{1}{2}$).
Le produit scalaire joue-t-il un rôle ?
A+
Merci

Réponses

  • >Je vois que les techniques de "renormalisation" (terme de la physique quantique statistique)
    >reposent sur les valeurs de $\zeta(-n)$

    Non, absolument aucun rapport.

    Eric
  • Bonjour

    J'ai vu que des théories physiques (utilisant le lagrangien) traitent de l'énergie cinétique et potentielle. Serait-il concevable de les appliquer à l'arithmétique ?
    - Pour quantifier en terme "d'énergie potentielle" la difficulté à factoriser un entier naturel $N$ ?
    - De considérer $N$ comme une ligne de niveau (les entiers ayant beaucoup de petits diviseurs possèdent moins d'énergie potentielle que ceux étant le produit de deux grands entiers premiers)
    - Du fait de la bilinéarité du produit $xy=N$, que dans le plan, des trajectoires privilégiées
    sont données par les vitesses $\frac{dy}{dx}=\frac{-N}{x^2}$, donc d'essayer de coupler énergie potentielle et cinétique via le lagrangien.

    Pour associer une géodésique à un problème d'arithmétique, quand on souhaite connecter deux couples de diviseurs
    $24=2 \times 12 = 3 \times 8$
    ce qui est simple est de suivre la courbe d'équation $xy=24$

    Cette courbe hyperbole répond au problème de Cauchy $y'=-24 \, x^{-2}$, ce qui associe à une géodésique, un échange de valuations entre $(2,12)$ et $(3,8)$ (valuations arithmétique=photons en électrodynamique quantique).
    L'échange de valuations $p$-adiques entre couples de diviseurs correspond au trajet
    sur une géodésique (sur une courbe de niveau).
    ??
    Par exemple, 17 étant premier, la géodésique d'équation $xy=17$ représente un chemin plus long pour connecter $(1,17)$ et $(17,1)$ que pour $xy=16$ qui passe successivement par $(1,16),(2,8),(4,4),\ldots$
    De plus, quand on dessine les courbes d'hyperboles dans le plan, régulièrement indicées par leurs équations $\big(xy=N\big)_{N \in \mathbb{N}}$ et passant par les points de coordonnées entières, le quantum d'énergie entre courbes de niveau d'équation $XY=N_1$ et $XY=N_2$ ($N_1$ et $N_2$ étant supposés des entiers naturels composés) est la présence ou non d'entiers premiers entre $N_1$ et $N_2$.
    Notamment, l'analogue du théorème de Pick pour les courbes hyperboles, en lieu et place de polygones réguliers, fournirait une relation simple entre nombre de diviseurs de $n$ et $n+2$, aire située entre les deux hyperboles d'équation $xy=n$ et $xy=n+2$ (aire en $n\log n-n$) et primalité de $n+1$ ou non ??

    pour résumer : je considère dans le 1er quadrant, des courbes hyperboles
    d'équation $xy=c$ et $xy=c'$ où $c,c'$ ont des naturels composés, les quanta entre courbes de niveau est l'existence ou non de premiers entre deux composés $c$ et $c'$


    Cordialement,

    PS : Mon problème est de traduire les équations phys. du Lagrangien, je n'y comprends que pouïk..(td)
    AD, peux tu corriger le lien, merci d'avance ?
    [Voilà qui est fait. AD]
  • re,
    je mets ça aux voix, est-ce une bonne idée de chercher à appliquer un modèle physique à une situation mathématique (par exemple, l'électrodynamique quantique ou l'oscillateur harmonique quantique à l'arithmétique), ce qui est plaisant car la Nature offrirait alors un feed-back aux mathématiciens, ou au contraire c'est ...délirant
    il y a des trucs curieux coomme la quantization physique $\frac{\bar{h}}{2 \pi}$..
    que vient fiche le périmètre du cercle au milieu des photons ? et pourquoi pas, dès lors, une réciproque ?

    à vous lire.
  • capesard écrivait:
    > que vient fiche le périmètre du cercle au milieu
    > des photons ?

    Pour des ondes, il intervient forcément
  • Bonjour,

    Alain Connes travaille sur des mathématiques insipirées de la physique et vice-versa.
    Par exemple, cette conférence : http://www.poincare.fr/mediatheque/conferences/50-une-question-un-chercheur ou bien sa liste de publications.

    Mais autant je suis sur que Alain Connes connait la physique qu'il utlise, autant je me demande si vous Capesard avez déjà résolu un problème de physique élémentaire avec une méthode utilisant un lagrangien. Si oui, alors passons à la vitesse supérieure : combien de temps avez-vous mis à apprendre et maîtriser la théorie quantique des champs ?

    Bonne journée.
  • @Félix: merci pour ta réponse.

    mes buts sont élevés et mes moyens dérisoires (lol) B-)- Quant on lit l'article de la formule de traces de Selberg sur wikipédia, on est étonné que le lien entre Selberg et la fonction zéta soit obscur et incompréhensible, du moins pour l'amateur.
    tout ce que l'on comprend, c'est que d'une part, ça parle d'entiers naturels, d'autre part de géodésiques sur une variété compacte.

    voilà pour la terminologie. j'ai pensé à ça:

    On considère un entier naturel $N=p^n$ . pour faire simple, on dit que sa
    factorisation en entiers naturels premiers est $p^{n}$

    je prend un couple de diviseurs entiers $(x_0,y_0)$ de $N$. les deux bougres se partagent les valuations p-adiques de $N$
    on va dire que pour toutes les courbes hyperboles d'équation $xy=N,N \in \mathbb{N}$ il y a un paramètrage universel $t$.

    $(x_0,y_0)=(\sqrt{N} (cos(t_0)+tan t_0);\sqrt{N} (cos(t_0)-tan t_0))$
    avec $x_0=p^{\alpha};y_0=p^{\beta};\alpha+\beta=n$

    $\frac{x_0}{y_0}=p^{\alpha-\beta}$

    Avec un autre couple de diviseurs du même entier $N=x_1y_1$
    $\frac{x_1}{y_1}=p^{\gamma-\delta}$


    pour passer du couple de diviseurs $(x_0;y_0)$ à $(x_1;y_1)$ du même entier $N$
    $\frac{x_1y_0}{y_1x_0}=(p^2)^{\gamma-\alpha}= \frac{cos(t_1) +tan(t_1)}{cos(t_1) -tan(t_1)} \times \frac{cos(t_0) - tan(t_0)}{cos(t_0)+ tan(t_0)}$


    - ce quotient reflète les échanges de valuations p-adiques entre couple de diviseurs
    - il est indépendant de $N$ (?)
    on a un "temps universel" pour exprimer la multiplication/division
    et sans doute une distance hyperbolique
    - comme les points à coordonnées entières sont isolés, ce quotient a un aspect quantifié
    - pourrait avoir une description des idéaux de $\mathbb{Z}$ en termes de métrique ?

    - on espère , avec une "loi de Képler" like (la vitesse du point mobile correspond à l'aire de la surface balayée) qu'on décrira la distribution des entiers premiers avec des formules d'aires...

    réciproque
    je considère un polygone $K$ compact plan . on suppose que l'on connait les points du réseau qu'il contient.
    on fait un graphe de points pondéré par les distances hyperboliques
    (qui ont un très fort aspect arithmétique)
    est-ce que l'on peut détecter sur une géodésique du point $A(x_A;y_A)$ vers
    $B(x_B;y_B)$ dans le graphe pondéré , fini, compact de $K$, s'il existe des naturels premiers dans l'intervalle $[|x_Ay_A;x_By_B|]$ ??

    on se dirait: bah voilà, les ensembles compacts sont des "potentiels"
    et essayer de lier la théorie de la mesure (aires+graphes pondérés) aux valuations..
    A+
  • @albanv: bah non, je souhaiterai comprendre la notation intégrale du Lagrangien et la notation bra-ket de Dirac
  • excusez moi de m'immiscer (dans mon imbécilitée aujourd'huit est mon jour)
    Capesard bon courage
    excusez moi des fois il faut même quand je comprend strictement rien...
    en fait on se sent moins seul!
    sphinx
    bon beh c'est nul et alors ce ne serai pas la première fois que je ferai ça des fois j'ai l'impression que je vais sortir mon chéquier si je dit que c'est chouette
    pourquoi?
    parce que je suis blanc comme un chèque en blanc?
    c'est completement idiot surtout quand on a pas de chéquier! non?
    bon beh pour la peine je vais vous dire un secret :
    le secret de toute la physique tiens dans les propriétés du produit vectoriel
    et c'est uniquement dans R^3 qu'on a toutes les propriétés qu'on lui demande celui d'avoir une norme égale à la surface engendrée par les deux vecteurs
    la démo est imparable (elle a été faite je vous rassure pas par moi) c'est uniquement dans R^3 après les puristes purs iront à l'église se nettoyer s'ils veulent se faire propre
    les autres propriétées sont respectées pour un espace de quatre cinq ou dix mille si vous voulez mais là non !
  • Bonne nuit,

    @ capesard: Les questions de lagrangiens, hamiltoniens etc. relèvent du calcul des variations dont il existe des exposés très simples.
    Voir Google pour un tel exposé, ou pour une bibliographie.
    Les livres de Méca. analytique présentent parfois un résumé de c. des v. très bien fait.
    Ce calcul (des var.) est très simplement basé sur la dérivation des fonctions en dimension infinie.
    Mais il me semble que tu parles parfois en connaisseur des géodésiques: tu devrais connaître tout cela ?

    Les bra et les ket, c'est une simple notation de la dualité dans les espaces de Hilbert. C'est expliqué au début des ouvrages sur la Méca. quantique.

    Quant aux rapports entre la méca. et la théorie des nombres, je te laisse le plaisir de les étudier tout seul ...
    Je ne voudrais pas qu'une médaille Fields vienne perturber ma paisible retraite. :D

    Bien cordialement.

  • Sois sans crainte ce prix discrimine les chercheurs sur leur âge si je me souviens bien, donc pas de risque après 40 ans de se le voir attribuer, tu peux continuer tes recherches sans crainte, personne n'aura donc l'idée de te donner cette médaille si elles aboutissaient à des résultats importants :D
  • Bonne nuit,

    Je n'ignorais pas ce point, mais qui te dit que les gens de la médaille Fields ne sont pas prêts à changer le règlement pour un résultat particulièrement important ? Surtout si ça emmerde l'intéressé ! Je me méfie. (:P)

    Bien cordialement.
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