Comme promis à Pablo — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Comme promis à Pablo

Voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,773411,773873#msg-773873

J'ai hésité entre rubrique pédagogie et fondements. "fondements" m'a paru plus approprié et moins insultant dans la mesure où c'est la recherche pour toi d'une convention d'échange concernant les preuves irréfutables si indispensables aux maths et dont il est "respectable" d'être passé à côté du poids qu'elles pèsent en science.

Exo1: Soit $a\in \R$. On suppose que $\forall x\in \R: ($ si $x>0$ alors $a\leq x)$. Prouve alors irréfutablement à partir de cette hypothèse que $a\leq 0$ (en rédigeant parfaitement et en n'omettant aucun détail)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
«1

Réponses

  • Comme je pars diner, je t'en mets un autre qui suppose connu la notion de fonctions continues et dérivables de $\R$ dans $\R$ au cas où tu exécuterais le premier.

    exo2: prouve irréfutablement l'énoncé suivant: il n'existe pas d'applications $g,h$ allant de $\R$ dans $\R$ telles que pour toute application $f$ dérivable sur $\R$ allant de $\R$ dans $\R: g\circ f\circ h = f'$ où $f'$ désigne la dérivée de $f$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonsoir

    a étant donné dans R

    - Montrons que R*+ est inclus dansB= [a,+00[ ,en effet , soit x supérieur à 0 strictement , alors a est inférieur à x au sens large , d'après Hypothèse .

    - R*+ inclus dans B donc inf R*+ sup ou égal à inf B , les bornes inférieures existent car les ensembles en question sont minorés et valent respecivement 0 et a , a qui est plus petit élément . CQFD

    Nous sommes tous plus au moins Pablo :)-D
    Autre exo Demain

    Salut
  • Si tu commences à lui faire ses exercices, on n'en finira plus ! ;)
  • Bonjour à tous

    Après mes six premiers posts inutiles (lien de Christophe Chalon) ici je peux le dire :
    je pensais sincèrement t'aider dragon (pablo) mais je ne maitrise rien du L1 (seul dans ma solitude je pourrais arriver) alors ici tu pense ... si j'avais su que tu parlais d'algebre tensoriel ou de Lie ... mais même rien qu'en comprenant ton premier post tu as pus constater j'ai du mal et en plus je me suis planté dès le premier post!
    je remercie tous les participants de ce fil car après vous avoir tous lus je peux le dire :
    vous m'avez aidés à voir clair
    c'est aussi la raison pour laquelle je suis revenu pour ce septième post : vous remercier

    cela n'empêche que je peux toujours faire l'exo 1

    exo1
    si j'admet un a >0 et que je continue à dire que $\forall x \in \mathbb {R}$ tel que x>0 alors $0<a \leq x$
    je suis alors obliger d'affirmer $\nexists y >0 $ tel que $0<y \leq a \leq x$
    et comme y > 0 il est identifiable à a > 0
    par conséquent en admettant a > 0 j'admet qu'il n'existe pas

    l'exo 2 est trop difficile pour moi de sorte que j'ai la L1 qui m'attend tans mon tipy
  • C'est demain

    Raisonnons par l'absurde et supposons l'existence de deux applications f et g vérifiant : gofoh=f' , pour toute application dérivable .
    En particulier pour une application Cte quelconque ( yo quelconque) : il existe yo / Cte(x)= yo, pour tout x et d/dx Cte (x)=0 .

    pour x dans R , (goCteoh)(x)=g(y0)=0 , ce qui prouve que g est nulle , car yo est fixé mais quelconque .
    Finalement , on obtient f'=0 , pour toute fonction dérivable , ce qui est absurde ]

    On est tous sphinx plus au moins :)-D

    Bonne journée
  • @Joseph: à priori c'est un fil à la demande de Pablo et pour Pablo, c'est dommage de souffler, par ailleurs:

    il est demandé des preuves irréfutables utilisant le moins possible de prérequis. Certaines de tes étapes utilisent des choses trop sophistiquées et non prouvées dans ta preuve pour exo1:

    * que $A\subseteq B$ =>$inf(A)\geq inf(B)$
    * que les ensembles non vides minorés ont une borne inférieure

    L'énoncé est aussi vrai dans $\Q$

    Ce serait bien que tu modifies ton post-idée pour l'exo2 en encre blanche par exemple


    suite exos pour Pablo

    Exo3: prouver qu'il n'existe pas de fonction $f$ polynomiale injective de $\R$ dans $\R$ vérifiant $\forall (x,y)\in \R^2: f(x+y)=f(x)\times f(y)$

    Exo4: Soient $A,B$ des matrices carrées ayant 50 lignes et 50 colonnes. On suppose connu la multiplication usuelle des matrices. Tous les coefficients de $A$ sont dans $\Q$ et tous ceux de $B$ sont dans $\C$. De plus, on suppose $A\times B=$ la matrice identité à 50 lignes, 50 colonnes. Prouver que tous les coefficients de $B$ sont dans $\Q$ (utilisation possible de culture générale de L1)

    Exo5: soit $E$ un ensemble contenant au moins 2 éléments. Prouve qu'il existe une application $f$ de $E$ dans $E$ qui soit bijective et telle qu'il n'existe pas d'élément $x\in E$ tel que $x=f(x)$ (tu as le droit à l'axiome du choix)

    Exo6: soit $(K,+,\times)$ un corps commutatif et $D$ une application de $K$ dans $K$ telle que:
    1) $\forall (x,y)\in K^2: D(x\times y)=x\times D(y) + y\times D(x)$
    2) $\forall (x,y)\in K^2: D(x + y)=D(x)+D(y)$
    3) Le seul sous-corps de $K$ est $K$ lui-même

    prouve que $\forall x\in K: D(x)=0$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • >@Joseph: à priori c'est un fil à la demande de Pablo et pour Pablo

    C'est pas la définition d'un message privé ça?

    Eric
  • Hum.. Là CC tu dois bien reconnaître qu'Eric a raison, c'est assez grotesque d'ouvrir un fil public et te plaindre ensuite que les gens répondent à tes exercices. A part ça, je ne sais pas trop quel effet tu comptes produires sur Pablo avec tes exos :S
  • Bonjour
    @Christophe

    Je voudrais savoir : ma réponse exo 2 fausse ?

    Ait joseph fils avec aide de mon père

    Merci
  • Tout à fait d'accord, c'est à la discrétion des gens, c'était juste "une idée" comme ça, pas une demande (et surement pas une "plainte" :D )
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Ce n'est pas très lisible mais ça me semble correct ; il manque peut-être un argument pour justifier qu'il existe des fonctions $f\colon \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ dont la dérivée n'est pas partout nulle.
  • @Ju'x

    Il existe des applications dont la dérivée n'est pas partout nulle : f(x)= 2012x

    Merci
  • bonjour
    j'ai de gros soucis Ait Joseph je ne comprend pas ta démonstration regarde --->

    l'exo2 dit :
    démontrer qu'il n'existe pas d'applications g et h allant de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ telles que pour toute application f dérivable sur $\mathbb {R}$ allant de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ on a : g o f o h = f '

    C'est bien ça ce qui est demandé non ? l'exercice a t-il été bien posé ????

    si j'arrive à prouver ici que g et h n'existe pas en prenant $\mathbb {R}->\mathbb {R}\ :\ f(x)=a$ est cnste donc f ' = 0
    alors j'aurais réussi la démo or je n'y arrive pas --->

    g o f o h = f ' = df / dx
    $\int g\circ f\circ h\ .\ dx\ =\ f\ +\ K$ avec la cnste d'intégration K
    par ailleurs f est cnste de sorte que f(h(x))=a
    et étant donné que g o f o h = f ' = 0 alors g(x) = 0 et donc g'(x) = 0
    dans cet exemple j'ai trouvé que g et h sont possibles pour une application f cnste

    dans ta démo tu prouve que forcément on obtiens f ' = 0
    je suis d'accord toute les applications ne sont pas nulles mais tu as pris un f constant c'est normal non ?
    bref je suis paumé soit c'est par l'énoncé mal formulé (j'en doute vu mon niveau)
    soit c'est moi qui déconne

    s'il vous plait sortez moi de ce merdier merci
    Christophe Chalons au secours!!!
  • \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
    Le fonctions $g$ et $h$ de l'énoncé doivent convenir pour toute fonction dérivable $f$. Il faut faire attention à l'ordre des quantificateurs.
    $$\mathrm{non}\,(\exists g\in \R^\R, \exists h \in \R^\R, \forall f \in D(\R,\R), \;g \circ f \circ h = f')$$
  • Bonjour tout le monde,

    Je vois beaucoup d'intervenants, sauf Pablo ! 8-) Est-ce normal ? Ne faudrait-il pas lui faire signe dans l'un de ses topics, car je ne pense pas qu'il aura l'idée de venir dans la rubrique "Fondements" ?

    Avec tout mon respect,

    T. Poma
  • Merci Ju'x
    dans ce cas force est de constater que j'ai plus que raté ma démo (je m'en doutai un peu )
    je ne vois pas comment mais c'est un fait !
    ta réponse Ju'x me suffit
    il faut que je trouve par moi même car je ne vois pas pour quelle raison je serai le seul à affirmer qu'en prennant f est cnste et donc f ' = 0 on ne peux pas démontrer ce qui est demandé puisque Ait Joseph y arrive et que Christophe Chalon ne l'a pas contesté
    j'avoue pour ma part que j'ai rien pigé à sa démo le mieux est que je ne quitte pas ce fil avant de savoir ce qu'on y dit à commencer par cette démo
    ce qui laissera le temps à la modération d'apprécier mon silence (et c'est inestimable)
    encore une fois ta seule et unique réponse me suffit Ju'x à présent c'est à moi de chercher ...tout seul
    Merci

    sphinx
  • @sphinx: pour te simplifier la vie, sache qu'une preuve de maths est la donnée de:

    1) une suite finie de couples (u_0,r_0), ...., (u_n,r_n) où
    2) chaque $r_i$ est un ensemble fini inclus dans $\{0;..;i-1\}$
    3) $u_n$ est la conclusion de ta preuve

    [size=large]C'est facile à disposer en texte (tu numérotes tes phrases et tu indiques entre parenthèses, en fin de phrase la liste des numéros (l'ensemble $r_i$))[/size]

    4) Après quoi le lecteur recensera ton argumentation de la manière suivante:

    4.1) il considèrera que tu viens de lui prouver $u_n$
    4.2) en admettant tous les axiomes (autrement dit les hypothèses) de la forme $a_p$, avec:

    4.3) $a_p:= [$conjonction des $u_i$ tels que $i\in r_p]$ => $u_p$

    4.4) Autrement dit, la science retiendra de ton oeuvre que tu as prouvé le théorème irréfutable suivant:

    4.5) $(a_1$ et $a_2$ et ... et $a_n)$ implique $u_n$

    5) Ta preuve sera forcément irréfutable mais par contre, rien n'obligera les scientifiques à croire à ta conclusion, ie à $u_n$. Ils pourront tout à fait douter de l'un des tes $a_p$ (ie envisager que $non(a_p)$ soit vrai

    6) quand $r$ est vide, l'énoncé $[$conjonction des $u_i$ tels que $i\in r]$ => $x$ est simplement l'énoncé $x$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Exemple:

    0) dzert
    1) zerty (car 0)
    2) zercdhdh (car 0)
    3) ezrezhj (car 0;2)
    4) gtghy
    5) djfhjttbtndez (car (1;4))



    Tu viens de prouver djfhjttbtndez

    à partir des axiomes:
    * dzert
    * dzert=>zerty
    * dzert => zercdhdh
    * (dzert et zercdhdh) => ezrezhj
    * gtghy
    * (zerty et djfhjttbtndez) => djfhjttbtndez
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Christophe Chalon j'apprécie ton aide
    fais moi confiance Ju'x m'a beaucoup aidé à présent il faut que je soit seul
    y a que comme ça qu'on avance
    mais merci
    ta patience ne sera pas mise à l'épreuve
    ni la tienne ni celle des autres
    et puis pense un peu (là dessus je te fais confiance) imagine comme se sera beau ... rêvé par tous ....le silence d'un sphinx multimillénaire en âge
    c'est pas beau ça ?
    merci mille fois à tous
    fais moi confiance je reviendrai
  • Exo 3

    Suposons que f est une fonction polynomiale , qui vérifie l'hypothèse :
    Alors

    - deg P est supérieure ou égal à 1 et impair , dans le cas pair , étudiez la fonction pour le voir .

    -En particulier : pour tout x : on a f(2x)= f(x) .f(x) , à gauche on a un degré impair , à droite , un degré pair puisque : deg( f.f)= 2 deg (f) , ce qui est absurde ]

    Salut
  • Où est parti Pablo ?
  • AitJoseph a écrit:
    Exo 3

    Suposons que f est une fonction polynomiale , qui vérifie l'hypothèse :
    Alors

    - deg P est supérieure ou égal à 1 et impair , dans le cas pair , étudiez la fonction pour le voir .

    -En particulier : pour tout x : on a f(2x)= f(x) .f(x) , à gauche on a un degré impair , à droite , un degré pair puisque : deg( f.f)= 2 deg (f) , ce qui est absurde ]

    Salut,

    \begin{enumerate}
    \item Je ne suis pas sûr qu'avec les règles du jeu de Christophe tu puisses utiliser sans détails la notion de degré d'une application polynomiale qui demande de voir que l'application qui a un polynôme réel associe une fonction polynomiale est injective. Bien sûr, on peut aussi le définir ici directement comme
    \[
    \deg f = \inf\{n \in \mathbb{N} : \sup_{x \geq 1} |x^{-n}f(x)| < \infty\}
    \]
    ou encore à l'aide des coefficients de Fourier de $t \mapsto f(e^{it})$, mais je pense qu'il y a toujours quelque chose de non trivial derrière.

    \item Le fait que tu laisses la démonstration de cas pair \og{} au lecteur\fg{} sort aussi des règles de Christophe. En fait, en partant de ton idée de degré avec $f(2X) = f(X)^2$, on peut donner une preuve plus courte et plus convaincante.
    \end{enumerate}
  • @ Ju'x

    Le degré d'une fonction polynomiale se définit de manière beaucoup plus simple , comme le degré du polynome associé , R étant un corps infini , les deux ensembles s'identifient .
    Quelles sont les règles de Christophe ?

    Tu veux dire f(2x)= f(x)*f(x) implique degf=2degf implique deg f = -00 ou 0 ? et f ne serait pas injective , car f= Cte . ?
  • Quelles sont les règles de Christophe ?

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?7,773875,774115#msg-774115

    Remarque par rapport à la remarque de Ju'x: si tu n'arrives pas à prouver un truc, tu peux toujours l'admettre (par exemple l'injectivité évoquée par Ju'x)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Christophe

    Quelle est la chose que je n'ai pas pu démontrer ? Ju'x n'a pas parlé d'injectivité !


    Cordialement
  • Ju'x: qui demande de voir que l'application qui a un polynôme réel associe une fonction polynomiale est injective

    Bin tu as complété à ton dernier post l'idée que te suggérait Ju'x pour terminer une "sketch-preuve", mais avant tu n'avais pas traité le cas du degré pair
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Chrisrophe

    Mais ma première démonstration est juste , certes pas belle !
  • AitJoseph a écrit:
    @ Ju'x
    Le degré d'une fonction polynomiale
    se définit de manière beaucoup plus
    simple , comme le degré du polynome
    associé , R étant un corps infini , les
    deux ensembles s'identifient
    C'est ce dont je te parlais : il faut un argument pour identifier les deux ensembles, ici l'infinitude de R.

    Les règles de christophe consistent ici à donner un démonstration irréfutable, sans omettre de détails. C'est dit dans son premier post.
  • Bonjour

    Ah , je comprend maintenant l'exigence de Christophe .Dans le temps j'avais traité un devoir de cette manière , pas à pas , comme une fourmie en voulant revenir , le plus possible aux sources , tout est juste , mais le professeur m'a noté 7/20 , je n'oublierai jamais ça , j'ai senti que c'était une insulte à la rigueur . En fait , ce qu'il n'a pas aimé c'est la correction de trois doubles feuilles .

    Bonne Journée
  • bonjour Christophe Chalons
    mille excuses j'ai pas tilté une overdose de maths m'a empêché de faire l'exo2
    je le fais en deux partie je suis pressé par le temps
    Exo2
    en démontrant que les seules applications f dérivables sur R possibles sont constantes pour qu'il existe des applications g et h (f,g,h applications de R dans R) telle que : gofoh =f '
    on demontre alors ce qui est demandé
    la suite plus tard ...
    je pense que c'est convenable comme début
    non ?
  • En attendant, j'en veux un peu à Pablo : c'était quand même presque sur sa demande que l'idée de ce fil était née, on ne l'a pas beaucoup vu passer dans le coin.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • hé bien moi je te dit merci Christophe Chalons
    je ferai la deuxième partie demain
    en attendant est-ce que tu trouve cela acceptable comme début ?
    mon ami (je le pense sincèrement ) oui les maths d'accord mais là moi je suis pas en état une réponse de ta part serait très souhaitée

    là je part là bas ----> 120°east
  • Exo2 deuxième partie
    Mais il suffit aussi de démontrer que rien que pour $f(x)\ =\ 2^{-1}.ax^2$ il est impossible d'avoir $h$ est une application de $\R$ dans $\R$
    Énoncer que $g\circ f\circ h = f '$ pour tout $f$ (selon les conditions qu'on a dites) est énoncer que $g = f '$, ce qui ramène à dire que $f ' \circ f = f '$.
    Dans ce cas on obtient $g(x) = f '(x) = ax$ et $f\circ h = x$.
    Il résulte donc que $\displaystyle h(x)\ =\ \sqrt {\frac {2.x}{a}}$
    $h$ n'est donc pas une application de $\R$ dans $\R$

    Franchement je ne vois pas comment faire autrement cet exo
    Je me prends la tête dessus !
    [*** modéré *** Hors sujet. AD]
    Ça vaut bien un grand merci pour la bienveillance de l'auteur de ce fil.
    Non ?
  • franchement j'avoue que je suis pas satisfait de cette démo
    je dit qu'obligatoirement h est de cette forme mais je ne dit pas pourquoi cette forme est la seule obligatoire possible
    j'avoue je chute sur le deuxième exo
    par contre la methode je la trouve correcte :
    il suffit de débusquer un f tel que g ou h ne soient pas possible

    bon je vais pas en faire une maladie j'avoue : je peux pas faire mieux!
  • Bon comme j'avais mis des exos 3,4,etc, je corrige l'exo1 et l'exo2, mais je signale à Pablo, Joseph et sphinx qu'ici le but du jeu est d'être d'un formalisme le plus parfait possible et d'une précision totale: en particulier, les quantificateurs doivent tous être mis et les liaisons de variables parfaitement précises


    exo1
    1) $a>0$
    2) donc $a>0,5.a$ et $0,5.a>0$
    3) donc $non(\forall x>0: a\leq x)$

    Il s'ensuit que $\forall a: ($ si $(\forall x>0: a\leq x)$ alors $a\leq 0)$

    Je vous laisse recenser les "axiomes" locaux (ie les parties non justifiées)

    exo2

    1) $\forall f: g\circ f\circ h = f'$
    2) donc $\forall a\in \R: g \circ (x\mapsto a) \circ h = (x\mapsto 0)$
    3) donc $\forall a\in \R\forall x\in \R: g( (x\mapsto a)(h(x)) ) = (x\mapsto 0)(x)$
    4) donc $\forall a\in \R\forall x\in \R: g(a) = 0$
    5) donc $\forall x\in \R: g(x)=0$
    6) donc $\forall f: f' = (x\mapsto 0) \circ f\circ h$
    7) donc $\forall f: f' = (x\mapsto 0)$
    8) donc $(x\mapsto x)' = (x\mapsto 0)$
    9) donc $(x\mapsto 1)(2) = (x\mapsto 0)(2)$
    10) donc $1=0$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci Christophe Chalons
    Franchement ce n'est pas facile pour moi.
    Je n'ai pas l'habitude ... et un de ces mal de crâne, mais c'est important pour moi alors merci
    (non ça n'est pas un jeu).
    Bon dimanche à vous tous et à toi particulièrement Christophe
    ... allez un aspro et ça repart
  • Comme j'ai traité les trois premiers exercices , de manière approchée .Je vais essayer pour le quatrième , pour Sphinx , Pablo et Christophe :

    1. AB =I 50
    2. dét ( AB) = 1
    3. dét B non nul , dét A non nul
    4 . B = inv A
    5. B= 1/det A . trans ( com A ) ; transposée de comatrice
    6 . A à coeff dans Q , le terme à droite dans 5 , exprimé avec les opérations usuelles dans Q , montre que B est aussi à coeff dans Q .
  • Cinquième exercice


    Soit E un ensemble , CA désigne le complémentaire de A incluse dans E . Supposons card (A) supérieur strictement à 1 .

    1 . Considérons l'application de E dans P( E) , qui à x associe f(x)= C{x} , partie de E

    2. D'après l"axiome du choix , il existe une application g de E dans E telle que : pour tout x , g(x) est dans f(x) non vide pour tout x .

    3 .S'il existe t tel que f(t) est vide , alors E est un singleton .

    4 . g(x) est dans f(x) : g n'admet aucun point fixe .
  • AitJoseph, pourquoi ton application $g$ serait-elle bijective de $E$ dans $E$ ?
    Je vois une preuve assez simple passant par le lemme de Zorn, mais je me demande ce qu'attendait Christophe.
  • @ Ju'x

    Qui a parlé de g bijective ? mais elle l'est !


    @ Ju'x

    Pardon , Christophe demande g bijective , je n'ai pas vu , elle l'est .

    Amicalement
  • Tu as simplement défini une application $g \colon E \to E$ sans point fixe (ce qui d'ailleurs ne nécessite pas d'axiome du choix). Pourquoi affirmes-tu de façon péremptoire qu'elle est bijective ?
  • @ Ju'x

    - Oui , la bijectivité mérite une démonstration , je le vois , je ne suis pas Pablo
    - L'axiome du choix intervient dans le choix d'un élément g(x) dans f(x) partie non vide .
    - Tu as parlé de Zorn ?


    Amicalement
  • Ok. Le lemme de Zorn est une forme de l'axiome du choix souvent plus pratique à manipuler : le document http://www.normalesup.org/\~{}rpeyre/pro/popul/zorn.pdf est particulièrement clair à son sujet.

    Ici on peut prendre comme ensemble inductif $\{(F,f) \mid F \subset E~\mathrm{et}~ f\colon F \to F~\mathrm{bijective}\}$ muni de la relation d'ordre : $(F,f) \preccurlyeq (G,g)$ ssi $F \subset G$ et $g _{\vert F} = f$. Je te laisse finir la preuve.

    [Correction du lien. AD]
  • Oui , Merci pour le lien introuvable ! je connais le lemme de Zorn .

    - Christophe C est occupé , il a retrouvé un ami , en plus il est fâché avec moi :-(


    Amicalement
  • Pardon Joseph, non je ne suis pas faché, je réponds en fonction de notifications sans vraiment lire le forum donc je n'avais pas vu la vie de ce fil, je vais te lire, laisse-moi un peu de temps
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Joseph, et bien en parcourant, je vois que Ju'x te fait parfaitement bien la réplique. Pour info, quand E contient au moins 2 éléments différents $a,b$, la fonction $x\neq a\mapsto a | x=a\mapsto b$ n'a pas de point fixe (mais n'est pas à priori bijective)

    Je te laisse tenter d'en constuire une bijective et sans point fixe et rédiger tout ça formellement
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Christophe

    Ton contre- exemple est hors exemple . Tu n'as pas bien lu ma réponse .

    Amicalement
  • Bonsoir,

    Je ne comprends pas ta réponse à Christophe : quel contre-exemple ? Son "pour info" montre que le résultat que tu as donné (existence d'une application de $E \to E$ sans point fixe) peut aussi se prouver directement, sans axiome du choix.
  • Bonsoir

    - Il a donné seulement un exemple dans le cas E de cardinal 2
    - Si j'ai bien compris , l'exemple qu'il a donné , dans ce cas , est : g(a)=b ; g(b)=a , qui est évidement bijective , si a distinct de b .
    - Au début de l'exercice , il a précisé qu'on peut utiliser l'axiome du choix , équivalent au lemme de Zorn .
    - Je n'ai pas dit qu'on ne peut pas le démontrer sans l'AC , c'est un autre problème .

    Christophe est Logicien jusqu'à la mort

    Merci pour le fichier

    Cordialement
  • Salut AitJoseph,

    Je pense que tu as mal lu l'exemple de CC. Il suppose que $E$ est de cardinal au moins $2$. Il prend deux éléments $a \neq b$ dans $E$, il envoie effectivement $a$ sur $b$ et $b$ sur $a$, mais il envoie également tous les éléments différents de $a$ sur $a$. En d'autres termes, $f(x)=a$ si $x \in E \setminus \{a\}$ et $f(a)=b$. Clairement $f$ est sans point fixe, et se construit sans axiomes du choix. Et tout aussi clairement, $f$ n'est pas bijective dès que $E$ est de cardinal $3$ ou plus.

    Sinon pour répondre à la question de départ sans utiliser Zorn, il me semble qu'on peut montrer assez facilement avec l'axiome du choix que tout ensemble infini $E$ se partitionne en deux ensembles équipotents $A$ et $B$ (il suffit de savoir que $E \times \{0,1\}$ est équipotent à $E$ ;Ju'x et Christophe confirmeront, ou pas). Toute bijection $g$ de $A$ vers $B$ répond à la question en fournissant une involution sans point fixes $f$, où $f(x)=g(x)$ si $x \in A$ et $f(x)=g^{-1}(x)$ si $x \in B$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!