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Groupe quotient

Bonsoir à tous,

Soit $ H $ un sous groupe d'un groupe topologique $ G $
On considère le groupe quotient $ G/H $ qu'on munit, d'après le cours, de la "topologie la plus fine rendant continue $ \pi : G \to G/H $".
Je ne me souviens pas de ce que signifie, la topologie la plus fine rendant continue $ \pi : G \to G/H $ ? Qu'est ce que cela veut dire ? Est ce que cela signifie que la topologie en question est l'ensemble : $ \{ \pi^{-1} ( O ) \ / \ O \ \mathrm{est \ ouvert \ de } \ G/H \} $ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • La topologie à mettre est sur G/H, pour que p soit continue il faut au moins que l'image réciproque d'un sous-ensemble de G/H qui serait un ouvert soit un ouvert de G.
    La fonction est aussi un homomorphisme de groupes ce qui impose d'autres conditions.
  • Pablo, te rends tu comptes que tu défini la topologie de G/H en considérant des
    ouverts de G/H?

    Eric
  • D'accord, je confonds, topologie initiale et topologie finale.
    C'est pas l'ensemble $ \{ O \ / \ \pi^{-1} ( O ) \ \mathrm{est \ ouvert \ de} \ G/H \} $ ?
  • $ \{ O \ / \ \pi^{-1} ( O ) \ \mathrm{est \ ouvert \ de} \ G\} $
  • Voilà. :D Merci.
  • Pourquoi : $ G/H $ est séparé $ \ \Longleftrightarrow \ H $ est fermé dans $ G $ ?
    Merci d'avance.
  • Déjà il y a une implication facile en utilisant le fait que dans un espace séparé un sous-espace réduit à un point est fermé. Saurais-tu démontrer cette implication ?
  • Sur un autre fil, on a montré que $ G $ est séparé $ \ \Longleftrightarrow \ \{ e \} $ est fermé. Est ce que c'est la même chose ? la même démonstration ?
    Merci d'avance.
  • Je n'ai pas lu l'autre fil, mais si tu admets ce résultat tu as donc $G/H$ séparé si et seulement si $\{e_{G/H}\}$ fermé. Il te reste à montrer que cette dernière condition est équivalente à ce que $H$ est fermé. Saurais-tu le faire ?
  • $ \{ e_{G/H} \} $ est donc fermé, et donc $ \pi^{-1} ( \{ e_{G/H} \} ) = H $ est fermé, car $ \pi : G \to G/H $ est continue. non ?
  • Pourquoi si $ V $ est discret et connexe et contient $ e $, alors $ V $ est réduit à $ \{ e \} $ ?
    Un ensemble est discret s'il est muni de la topologie discrète?
    Je ne vois pas le lien entre ces deux phrases.
    Merci pour votre aide.
  • Qui est $V$ ?
  • $ V $ est un groupe ( sous groupe d'un groupe $ G $ ).
  • @ Liliane 0 :
    \begin{enumerate}
    \item Dans un espace topologique $G$, un sous-ensemble $V$ est discret si la topologie induite par $G$ sur $V$ est la topologie discrète, c'est à dire pour tout $v\in V$, il existe $O_v$ voisinage de $v$ dans $G$ tel que $O_v\cap v=\{v\}$.
    \item Les résultats suivants sont classiques. \\
    Soit $G$ est groupe topologique. \begin{itemize}
    \item Si $G$ est séparé, alors tout sous-groupe discret est fermé.
    \item La composante connexe $Conn(e)$ de $e$ est un sous-groupe normal et fermé de $G$.
    \item Bien sûr, si $G$ est connexe, alors $Conn(e)=G$.
    \item Si $Conn(e)=\{e\}$, alors $G$ est totalement discontinu, c'est à dire que la composante connexe de tout point $g$ de $G$ est réduite à $\{g\}$.
    \item Le groupe quotient $G/Conn(e)$ est totalement discontinu.
    \end{itemize}
    J'écrirai les démonstrations tout à l'heure.

    \end{enumerate}
  • Un espace topologique discret, non vide et connexe est réduit à un point. En effet, dans un espace discret, tout singleton est ouvert et fermé.
  • Ah, d'accord, merci beaucoup @JLT.
    @Skyrmon :
    Je corrige ce que tu as écrit :
    \begin{enumerate}
    \item Dans un espace topologique $G$, un sous-ensemble $V$ est discret si la topologie induite par $G$ sur $V$ est la topologie discrète, c'est à dire pour tout $v\in V$, il existe $O_v$ voisinage de $v$ dans $G$ tel que $O_v\cap V=\{v\}$.
    \end{enumerate}
    :)
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