Même remarque que dans ton autre fil... Il nous faut des questions précises pour que l'on puisse t'aider. Comment pourrait-on t'aider en quoi que ce soit avec ce genre de question !?
Déjà as tu une formule qui te donne l'aire d'une surface (à 2 dimensions, contenue dans un espace à
3 dimensions comme il semble que ce soit le cas ici)?
Si tu n'as pas une formule qui te donne ca c'est que l'énoncé n'est pas retranscrit de façon correcte,
si tu en as une le problème sera donc de savoir l'appliquer.
@Joel, je ne suis pas sûr de te suivre: Pour moi son équation c'est $z = (x^2+y^2)/2$
et elle (il?) cherche l'aire de la partie située en dessous de $z=1/2$, non?
Le paraboloide est obtenue en faisant tourner la parabole d'équation z = 1/2 x² autour de l'axe Oz. Là tu dois connaître la formule qui donne l'aire de la surface entre les plans d'équation z=0 et z = 1/2
@adrien: c'est écrit dans mon message. Dans le cas d'une surface de révolution comme ici
Sonea peut avoir vu une formule simplifiée pour ce type de surface. Peu importe la formule qu'elle
a, je demande juste qu'elle nous la donne pour qu'on puisse partir de ce que il/elle est censé
connaître.
@Eric, je ne sais pas vraiment ce que je dois faire ensuite. déjà, grâce à vous, j'ai compris ce que je cherchais à faire. dans mon cours, la seule formule qui pourrais surement s'appliquer ici est celle d'une rotationnelle...
Sonea, si on te demandes vraiment de calculer une aire,
je pense qu'on ne te demandes pas non plus de découvrir
par toi même la formule qui la donne...
Il se peut que tu ais la formule mais tu n'ais pas compris que c'est elle qu'il faut appliquer ici,
ou que tu ne l'ais pas et tu as aussi peut-être confondu aire et volume dans l'énoncé (par exemple)...
En gros on ne peut pas vraiment t'aider sans être un peu sûr du contexte.
Donc donne nous ce que tu as dans ton cours qui te semble se rapporter
à cet exercice, et si c'est cohérent avec ton exercice
on te dira comment ne pas t'en passer.. ;-)
J'ai la correction de cet exercice mais je ne le comprends pas ni d'où il sort (par rapport à mon cours)...
Je vous donne tout :
Énoncé : calculer l'aire du paraboloïde
indication : utiliser les coordonnées polaires, càd la paramétrisation f : (r, theta) -> (r cos theta, r sin theta, r^2 /2)
la réponse est (2pi (sqrt8 -1))/3
Donc je bloque dès le début, au changement de coordonnées, ce ne sont pas les mêmes que l'on prend les autres fois !! Je suis perdue ^^
(Je continue avec ma correction, que je ne saurais écrire lisiblement ?)
Soit une fonction f, avec y=f(x), et C la courbe représentative de f entre x=a et x=b. Si on fait tourner C autour de l'axe 0x, on engendre une surface. L'aire de cette surface est donnée par:
$Aire = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} dx $
C'est facile à retrouver.
$2\pi f(x)$ est la circonférence du cercle décrite par le point M(x, f(x)) quand on fait tourner la courbe
et $\sqrt{1+f'(x)^2}dx$ est la longueur élémentaire ds parcourue sur la courbe quand on se déplace de dx sur l'axe des x. ça vient de:
Bonjour,
l'indication n'est pas très claire en soi.
En premier lieu, il s'agit d'un passage en coordonnées cylindriques, de $(x,y,z)$ à $(\rho,\theta,z)$
Ensuite, tu peux ré-écrire la définition de la surface considérée en utilisant ces coordonnées et en remarquant le lien entre $z$ et $\rho$.
Ou bien peux-tu préciser où tu bloques exactement?
commence par écrire $x,y,z$ en fonction $\rho,\theta,z$.
Ensuite, dans quel domaine varient $\rho$ et $\theta$ du fait des contraintes $z=\frac{x^2+y^2}{2}$ et $x^2+y^2\leq1$?
ro =< 1 donc je dirais qu'il varie de 0 à 1...
et je dirais aussi que theta fais tout le tour de l'axe Oz donc varie de 0 à 2 pi (tout cela sans en être sur)
indication : utiliser les coordonnées polaires, càd la paramétrisation f : (r, theta) -> (r cos theta, r sin theta, r^2 /2)
la réponse est (2pi (sqrt8 -1))/3
Pourquoi as tu omis de préciser ca? Penses tu que quand on te donnes une indication ca n'a pas d'importance?
D'autre part ce que je t'ai demandé c'est la ou éventuellement les formules permettant de calculer une aire
d'une surface qui est (sont) écrites dans ton cours. C'est de ca qu'il faut partir si tu veux comprendre quelque chose,
plus que de la correctîon de l'exercice.
Tu as donc un paramétrage $\vec{F}(u,v)$ de la surface, i.e. tout point M de la surface est tel que $\vec{OM}=\vec{F}(u,v)$
où
$u = ..$, variant dans..
$v = ..$, variant dans..
Il existe une formule permettant de calculer l'aire.
Je n'avais pas vu le message d'Eric, effectivement il ne serait sans doute pas inutile de revoir les différentes définitions d'une surface, les méthodes de calcul d'aire ainsi que les systèmes de coordonnées habituels.
Je suppose que gram et Eric font référence à cette formule : $$
Aire = \iint_T \Big\| \frac{\partial \vec{OM}} {\partial r} \wedge \frac{\partial \vec{OM}} {\partial \theta} \Big\| \, dr. d\theta
$$ qu'on trouve ici : http://minilien.fr/a0mxz1
en fait, je ne me rappel ni ne trouve dans mon cours comment on fait le calcul avec les 2 dérivées partielles...
pouvez vous me rafraîchir la mémoire ?
Sonea écrivait:
> mais dans quel cas je devrais la réutiliser ?
C'est une formule générale qui fonctionne lorsque l'on dispose
de l'équation de la surface sous la forme:
x = f(s, t)
y = g(s, t)
z = h(s, t)
ou s et t sont 2 variables.
Maintenant si la surface est obtenue en faisant tourner une courbe d'équation y=f(x) autour de l'axe Ox, alors il vaut mieux utiliser la formule que j'ai déjà donnée:
$Aire = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} dx $
J'ai mené le calcul jusqu'au bout avec ton exemple et je retrouve bien le résultat.
Il y a aussi le théorème de Guldin qui peut servir
Réponses
J'ai bien vérifié, et il n'y a pas d'erreurs
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
3 dimensions comme il semble que ce soit le cas ici)?
Si tu n'as pas une formule qui te donne ca c'est que l'énoncé n'est pas retranscrit de façon correcte,
si tu en as une le problème sera donc de savoir l'appliquer.
Eric
La forme générale de l'équation d'une quadrique est:
(Un paraboloide est un cas particulier de quadrique.)
Ax² + By² + Cz² + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + Gx + Hy + Iz + J = 0
Ce n'est pas le cas avec ton énoncé. Déjà il n'y a pas de z
et si je developpe, j'arrive à x²-y²-2x²y² $\geq$ 0
il y a un terme de degré 4
et elle (il?) cherche l'aire de la partie située en dessous de $z=1/2$, non?
Eric
Ah ! Je suis un âne. Je pensais que la barre "/' était un symbole de division.:D
bon ben c'est simple alors
@Sonéa
Le paraboloide est obtenue en faisant tourner la parabole d'équation z = 1/2 x² autour de l'axe Oz. Là tu dois connaître la formule qui donne l'aire de la surface entre les plans d'équation z=0 et z = 1/2
> Puisque tu as bien vérifié, tu es sûr de ton
> (x^2+x^2)/2, n'est-ce pas ?
(x^2+Y^2)/2 je ne voyais pas où était l'erreur qui était bien présente, desolée
de quel formule parlez vous?
Sonea peut avoir vu une formule simplifiée pour ce type de surface. Peu importe la formule qu'elle
a, je demande juste qu'elle nous la donne pour qu'on puisse partir de ce que il/elle est censé
connaître.
Eric
je pense qu'on ne te demandes pas non plus de découvrir
par toi même la formule qui la donne...
Il se peut que tu ais la formule mais tu n'ais pas compris que c'est elle qu'il faut appliquer ici,
ou que tu ne l'ais pas et tu as aussi peut-être confondu aire et volume dans l'énoncé (par exemple)...
En gros on ne peut pas vraiment t'aider sans être un peu sûr du contexte.
Donc donne nous ce que tu as dans ton cours qui te semble se rapporter
à cet exercice, et si c'est cohérent avec ton exercice
on te dira comment ne pas t'en passer.. ;-)
Eric
Je vous donne tout :
Énoncé : calculer l'aire du paraboloïde
indication : utiliser les coordonnées polaires, càd la paramétrisation f : (r, theta) -> (r cos theta, r sin theta, r^2 /2)
la réponse est (2pi (sqrt8 -1))/3
Donc je bloque dès le début, au changement de coordonnées, ce ne sont pas les mêmes que l'on prend les autres fois !! Je suis perdue ^^
(Je continue avec ma correction, que je ne saurais écrire lisiblement ?)
$Aire = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} dx $
C'est facile à retrouver.
$2\pi f(x)$ est la circonférence du cercle décrite par le point M(x, f(x)) quand on fait tourner la courbe
et $\sqrt{1+f'(x)^2}dx$ est la longueur élémentaire ds parcourue sur la courbe quand on se déplace de dx sur l'axe des x. ça vient de:
ds² = dx² + dy²
dy = f'(x).dx
donc
ds² = (1+f'(x)²) dx²
$ ds = \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$
l'indication n'est pas très claire en soi.
En premier lieu, il s'agit d'un passage en coordonnées cylindriques, de $(x,y,z)$ à $(\rho,\theta,z)$
Ensuite, tu peux ré-écrire la définition de la surface considérée en utilisant ces coordonnées et en remarquant le lien entre $z$ et $\rho$.
Ou bien peux-tu préciser où tu bloques exactement?
Cordialement
commence par écrire $x,y,z$ en fonction $\rho,\theta,z$.
Ensuite, dans quel domaine varient $\rho$ et $\theta$ du fait des contraintes $z=\frac{x^2+y^2}{2}$ et $x^2+y^2\leq1$?
y=ro sin theta
z
ro =< 1 donc je dirais qu'il varie de 0 à 1...
et je dirais aussi que theta fais tout le tour de l'axe Oz donc varie de 0 à 2 pi (tout cela sans en être sur)
Pourquoi as tu omis de préciser ca? Penses tu que quand on te donnes une indication ca n'a pas d'importance?
D'autre part ce que je t'ai demandé c'est la ou éventuellement les formules permettant de calculer une aire
d'une surface qui est (sont) écrites dans ton cours. C'est de ca qu'il faut partir si tu veux comprendre quelque chose,
plus que de la correctîon de l'exercice.
Eric
où
$u = ..$, variant dans..
$v = ..$, variant dans..
Il existe une formule permettant de calculer l'aire.
Je n'avais pas vu le message d'Eric, effectivement il ne serait sans doute pas inutile de revoir les différentes définitions d'une surface, les méthodes de calcul d'aire ainsi que les systèmes de coordonnées habituels.
Cordialement
Aire = \iint_T \Big\| \frac{\partial \vec{OM}} {\partial r} \wedge \frac{\partial \vec{OM}} {\partial \theta} \Big\| \, dr. d\theta
$$ qu'on trouve ici : http://minilien.fr/a0mxz1
$$\frac{\partial \vec{OM}} {\partial r} \wedge \frac{\partial \vec{OM}} {\partial \theta} = \left( \begin{array} {c} r^2\cos\theta & -r^2\sin\theta & -r \end{array} \right) $\qquad;\qquad $\Big\| \frac{\partial \vec{OM}} {\partial r} \wedge \frac{\partial \vec{OM}} {\partial \theta} \Big\| = r\sqrt{1+r^2}$$
$$Aire = \int_0^{2pi} \int_0^1 r\sqrt{1+r^2} dr.d\theta = 2\pi/3\big[(1+r^2)^{3/2}\big]_0^1 = 2\pi/3(\sqrt{8} - 1)$$
j'ai donc compris pour cet exemple, mais dans quel cas je devrais la réutiliser ?
pouvez vous me rafraîchir la mémoire ?
> mais dans quel cas je devrais la réutiliser ?
C'est une formule générale qui fonctionne lorsque l'on dispose
de l'équation de la surface sous la forme:
x = f(s, t)
y = g(s, t)
z = h(s, t)
ou s et t sont 2 variables.
Maintenant si la surface est obtenue en faisant tourner une courbe d'équation y=f(x) autour de l'axe Ox, alors il vaut mieux utiliser la formule que j'ai déjà donnée:
$Aire = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} dx $
J'ai mené le calcul jusqu'au bout avec ton exemple et je retrouve bien le résultat.
Il y a aussi le théorème de Guldin qui peut servir