intégrale de Fresnel

pancarte0
pancarte0
dans Analyse
Bonjour

Comment montre-t-on que l'intégrale de Fresnel (0 à infini de sin(x²) ou cos(x²) ) est convergente ?? (sans parler du calcul à proprement parler de l'intégrale )
la plupart des critères d'intégrabilité usuels ne semblent pas marcher...

PS je sais à quoi m'en tenir sur les propos de "Jean pas de ce (Lis)Monde" 8-)

Réponses

  • ev
    ev
    Bonjour pancarte.

    Le plus simple c'est le changement de variable (entre $1$ et $+\infty$) $t= x^2$ suivi d'une intégration par parties.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • gb
    gb
    Avec une intégration par parties~; pour \(0<a<b\)~:
    \[\int_a^b \sin(x^2)\,dx = \int_a^b \frac1x}\bigl(x\sin(x^2)\bigr)\,dx= \left[\frac{1-\cos(x^2)}{2x}\right]_a^b + \int_a^b \frac{1-\cos(x^2)}{2x^2}\,dx,\]
    ce qui permet de prouver que le second membre a une limite finie lorsque \(a\) tend vers 0 et \(b\) tend vers \(+\infty\):
    \[\int_0^{+\infty} \sin(x^2)\,dx = \int_0^{+\infty} \frac{1-\cos(x^2)}{2x^2}\,dx.\]
  • D. Hilbert
    D. Hilbert
    Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_de_Fresnel (Méthode des résidus)

    A +
  • Guego
    Guego
    On peut les calculer sans les résidus : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,356607,356619#msg-356619
  • egoroffski
    egoroffski
    Sinon, on peux utiliser le critère spécial des séries alternées pour montrer que la suite des $\int_0^{\sqrt{n \pi}} \sin x^2 \, dx$ converge, et utiliser un argument de Cauchytude pour passer à la convergence de l'intégrale.
  • pancarte0
    pancarte0
    gb écrivait:
    > Avec une intégration par parties~; pour
    > \(0<a<b\)~:
    > \[\int_a^b \sin(x^2)\,dx = \int_a^b
    > \frac1x}\bigl(x\sin(x^2)\bigr)\,dx=
    > \left[\frac{1-\cos(x^2)}{2x}\right]_a^b + \int_a^b
    > \frac{1-\cos(x^2)}{2x^2}\,dx,\]
    >

    merci gb mais pourquoi un "1" apparait-il lors de l'intégration ??

    merci aux autres aussi !
  • B....t
    B....t
    Il y a aussi la preuve de Leonard.
  • gb
    gb
    pancarte a écrit:
    merci gb mais pourquoi un "1" apparait-il lors de l'intégration ??

    Lorsque j'intègre par parties, j'ai besoin d'une primitive de \(x\sin(x^2)\)~; ces primitives sont de la forme \(\frac{k-\cos(x^2)}2\) et je décide, car tel est mon bon plaisir, d'utiliser \(\frac{1-\cos(x^2)}2\)~; ce choix permet une étude facile de ce qui se passe lorsque \(a\) tend vers 0.

    Il est désolant que l'on insiste pas assez sur l'influence du choix de la primitive \(v\) de \(v'\) dans l'enseignement de l'intégration par parties.
  • pancarte0
    pancarte0
    merci gb j'aime ton ironie et tes sarcasmes, mais pourquoi sens-je une sorte de mépris ??

    moi aussi je suis prof de maths , sans doute pas ENS -Agreg-prof en prépa comme toi mais y a pas de déshonneur, il faut de tout pour faire un monde me semble-t-il...
    et personne ne m'a enseigné en l'occurrence le choix pertinent de la constante d'intégration lors d'une IPP lors de mes études...est-ce de ma faute à moi ??
  • gb
    gb
    pancarte,

    Il n'y a pas de mépris dans mon propos qui ne te vise pas personnellement.

    Je voulais seulement exprimer, en toute généralité, une grande consternation quand je vois l'enseignement des mathématiques se réduire de plus en plus à la présentation de techniques {\og}presse-bouton{\fg} sans vrai travail de réflexion sur le choix du {\og}bouton{\fg} approprié.
  • gram
    gram
    Bonjour,
    gb a écrit:
    Il est désolant que l'on insiste pas assez sur l'influence du choix de la primitive \(v\) de \(v'\) dans l'enseignement de l'intégration par parties.
    Tout à fait d'accord. J'ai eu l'occasion d'en voir l'intérêt en exo/TD, et plutôt tardivement dans mon cursus.

    Cordialement
  • pancarte0
    pancarte0
    alors je n'ai rien dit gb, et je te prie de croire que moi aussi je suis consterné quand je vois les élèves appliquer des recettes de cuisine "prêtes-à-penser" sans discernement et sans en connaître le sens !

    mais pour connaître bien les IUFM et les rectorats, je crois savoir d'où cela vient, du moins en partie...enfin c'est un autre débat
  • jandri
    jandri
    Bonjour,

    pour Guego
    il y a une petite erreur dans le fichier "Fresnel.pdf" :
    de $I_0^2=i\dfrac{\pi}4$ on déduit $I_0=\pm \dfrac{\sqrt{\pi}}2 e^{i\pi/4}$ et pas $I_0=\dfrac{\sqrt{\pi}}2 e^{\pm i\pi/4}$.

    Mais à part cela c'est très bien.
  • Guego
    Guego
    jandri : Il y a quelques temps, je me suis fait volé mon ordinateur sur lequel j'avais (entre beaucoup d'autres choses) la source tex de ce fichier. Je ne pourrais donc malheuresement pas corriger cette erreur (à moins de tout retaper). Mais c'est gentil de me la signaler malgré tout. :)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    malgré le peu d'égards de notre ami Pancarte à mon encontre

    je signale tout-de-même qu'avec les applications intégrales de la fonction Gamma

    on peut démontrer rapidement et simplement la convergence et le résultat de l'intégrale de Fresnel

    cordialement
  • pancarte0
    pancarte0
    sans rancune Jean, c'était de l'humour, un peu vaseux certes...je n'ai rien contre toi !
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir Pancarte

    merci pour ta réponse, elle est sympathique....

    amitiés
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