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Convergence en probabilités

Bonjour, j'ai un petit problème que je n'arrive pas à résoudre. Soit $(\Omega ,F)$ un espace mesurable et P et Q deux probabilités sur $(\Omega ,F)$ qui sont équivalentes . Soit $(X_i)$,une suite de variables aléatoires sur $(\Omega ,F)$. Je voudrais montrer que $X_i\to X$ (où X est une v.a. sur le même espace) en probabilité pour P si et seulement si $X_i\to X$ en probabilité sous Q. Le problème est que je n'y arrive pas. D'où ma question: ce résultat est il faut ? Et sinon auriez vous une piste ? Je vous remercie d'avance.

Réponses

  • Un résultat utile (si j'ai bien suivi). Je me place sur un espace de probabilité $(\Omega,{\cal F},P)$. Je prend $f$ une variable aléatoire intégrable (ici elle sera positive et d'intégrale $1$, ce sera la densité de $Q$ par rapport à $P$). Alors :
    $$
    \sup_{A : P(A) \le \epsilon} \int_A f dP \to 0
    $$
    quand $\epsilon$ tend vers $0$. Pour le montrer tu remarques que, pour tout $M>0$, on a :
    $$
    \int_A f dP \le MP(A) + \int f1_{f>M}.
    $$
    Si tu veux aller plus loin dans ces histoires, tu peux regarder du côté de l'uniforme intégrabilité.
  • Si tu me donnes les définitions de "converge en proba" et de "probabilités équivalentes" je pourrai peut-être essayer?
  • Bonjour,

    Peut être peux tu utiliser le fait que : une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X$ si et seulement si de toute suite croissante d'entier $(n')$ on peut extraire une sous-suite $(n'_k)$ telle que la convergence soit presque sûre.

    Cordialement,
    bd.
  • Un poil plus élémentaire encore.

    Je prend $P$ et $Q$ deux mesures de probabilités. Je suppose $Q \ll P$ (au sens : $P(A)=0$ entraine $Q(A)=0$). Alors : pour tout $\epsilon>0$ il existe $\delta>0$ tel que $P(A)\le \delta$ entraine $Q(A)\le \epsilon$.

    On le prouve par contraposition. Si la conclusion est niée, alors je peux trouver $\epsilon>0$ et une suite d'évènement $A_n$ tels que : $P(A_n) \le 2^{-n}$ et $Q(A_n) \ge \epsilon$. On considère alors $A=\limsup A_n$. On a $P(A)=0$ mais $Q(A) \ge \epsilon$ et donc $Q(A)$ non nul.
  • Soit $f=dQ/dP$ et $A_n=\{|X_n-X|\geq \epsilon\}.$ Alors par Schwarz $$Q(A_n)=\int f 1_{A_n}dP\leq (\int f ^2dP\int 1^2_{A_n}dP)^{1/2}=(\int f ^2dP)^{1/2}\sqrt{P(A_n)}\rightarrow_{n\rightarrow \infty} 0.$$
  • Et une preuve de plus dans le cas $L^2$. On peut jouer à l'adapter au cas $L^p$, $p>1$ si on veut.
  • De mon point de vue, la preuve de Gérard Letac est la plus naturelle. Comme $f$ est dans $L^1(P)$, la preuve de Gérard donne tout avec un argument de troncature.
  • Si on en vient à tronquer je préfère la première preuve que j'ai proposé. Mais sinon je préfère la deuxième. Comme quoi, les goûts en maths... :)
  • Merci \`a Aléa et Plop de leur indulgence pour ma distraction. Je reprends:
    Soit $f=dQ/dP$ et $A_n=\{|X_n-X|\geq \epsilon\}.$ Pour $\eta>0$ soit $K_{\eta}>0$ tel que $P(f\geq K_{\eta})\leq \eta.$ Alors $$Q(A_n)=\int f 1_{A_n}dP\leq P(f\geq K_{\eta})+K_{\eta}P(A_n)\rightarrow_{n\rightarrow \infty} P(f\geq K_{\eta}).$$ Donc $\limsup Q(A_n)\leq \eta$ pour tout $\eta$ et donc $\lim Q(A_n)=0.$
  • Il me semble qu'il faut plutôt prendre $K_{\eta}$ tel que $\int f \mathbf 1_{f>K_{\eta}} dP \le \eta$.
    C'est en tout cas la première preuve que j'ai proposée (enfin, esquissée, je ne sais pas si c'est très lisible du coup).
  • Tu as raison bien sur.
  • Ben oui, mais la preuve d'il y a 10 mois, elle me chiffonne un peu: pourquoi $f1_{A_n}$ tendrait ps vers $0$ ?
    Par contre on peut montrer que de toute suite $Q(A_{n_k})$, on peut extraire une sous-suite qui tend vers $0$, car la convergence en proba entraîne la cv ps d'une sous-suite, et ça roule.
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