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inversibilité transposée

Bonjour,

Pour prouver que : si $A$ est inversible, alors la transposée de $A$ est inversible et l'inverse de la transposée de $A$ vaut la transposée de l'inverse de $A$.

En essayant de faire simple pour la rédaction de la preuve.

Il faut écrire que : $A$ est inversible, donc il existe une matrice $B$ telle que $BA=I_n$. Ce qui donne en utilisant la propriété sur la transposée du produit de 2 matrices, ${}^tA{}^tB=I_n$. En désignant par $B=A^{-1}$, la dernière égalité signifie bien que : $({}^tA)^{-1}={}^tA^{-1}$

Qu'en pensez-vous ?
Merci
Clotho

Réponses

  • Bonjour.

    Le produit de matrices n'étant pas commutatif, il serait bon de faire la même chose avec $ AB=I_n$. Et rien n'interdit de noter directement $A^{-1}$, plutôt que $B$.
    Donc partir de $ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$, et transposer.

    Cordialement.
  • oui, comme te dit Gérard, le définition de

    B est inverse de A

    c'est

    AB=BA=I
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je vais rectifier.

    Merci à vous deux

    Clotho
  • Il y a tout de même un détail qui me travaille depuis tout à l'heure.

    Est-ce que l'unicité de la matrice inversible (lorsqu'elle existe bien entendu) n'est pas suffisante pour justifier à elle-seule la validité de l'égalité avec l'identité dans l'autre sens ?

    Autrement dit, je prouve que mon résultat est vrai lorsque $A^{-1}A=I_n$, et par unicité de la matrice inversible, on a nécessairement le même résultat pour $AA^{-1}=I_n$

    Merci pour votre réponse,

    Clotho
  • Bonjour Clotho,
    Pardonne moi de jouer le pinailleur de service, mais je ne comprends pas "unicité de la matrice inversible".
    La seule propriété dont je me souvienne est "si l'inverse à gauche et l'inverse à droite existent, ils sont égaux" ce qui entraîne, pour une matrice donnée, que son inverse, si il existe, est unique.
    Cordialement.
  • Par rapport à ton sujet, je pense que tu te compliques la tâche.

    Si AB=BA=1 alors t(A)t(B) = t(BA) =t(1)=1 et t(B)t(A)=t(AB)=t(1)=1

    c'est purement symbolique (pas besoin de penser que ce sont des matrices)



    [size=x-small]Par ailleurs, sans penser que ce sont des matrices, De il existe un unique B tel que AB=1, je vois mal comment tu déduirais qu'il existe un C tel que CA=1, même si le background des matrices permet de répondre oui.

    Une surjection non injectivie a toujours plusieurs inverses à droite, donc il se trouve qu'en ce qui concerne les applications d'un ensemble E dans lui-même, muni de la composition, c'est valable aussi, mais je ne sais pas à brule pourpoint ce qu'il en est si on ne prend pas toutes les applications de E dans E, mais seulement une partie stable par o.

    Si BX=1 alors X=ABX=A et donc BA=1

    Mais un tel X existe-t-il?[/size]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Braun : merci d'avoir reformulé correctement la propriété que je souhaitais utiliser à tort pour prouver mon résultat. Cela me fait un rappel.

    Je ne me suis pas posé la bonne question.

    @cc: Oui, effectivement, c'est tout simple. Par contre, je t'avoue franchement décrocher dans ton explication à partir des surjections:S Mais ce n'est pas bloquant pour la compréhension de la réponse à ma question initiale.

    Merci à vous deux,

    Clotho
  • Il est quand même vrai que si une matrice carrée est inversible à gauche, elle est inversible aussi à droite et vice-versa, automatiquement. En effet, si $AB=I$, alors $A$ est surjective ($\forall x$, $A(Bx)=x$), donc elle est injective. De même, si $BA=I$, alors $A$ est injective (car $B(Ax)=x\neq 0$ pour tout $x\neq 0$ implique $Ax\neq0$)... C'est sans doute ce que Christophe veut dire [size=x-small]en petits caractères sur le background.[/size] Donc dans le cas de matrices carrées, il suffit de montrer l'inversibilité d'un seul côté, quoiqu'ici ça ne coûtait pas plus cher des deux côtés en même temps.
  • :)-D très honoré que remarque ait lu mes "footnotes" et oui c'est ce que je voulais dire of course (tu).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • :)-D et pourtant, ils sont petits [size=x-small]les caractères.[/size]
  • @remarque :

    Bonsoir,

    N'étant pas encore très à l'aise avec toutes ces notions, je vais certainement dire une "grosse" bêtise, mais lorsque tu mentionnes "$A$ est surjective", parles-tu de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $A$ ?

    Merci pour ta réponse,

    Cordialement,
    Clotho
  • Clothoïde,

    la réponse est oui. A définit un endomorphisme de $K^n$ par $x \mapsto Ax$.

    Cordialement.
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