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rendre une matrice symétrique?

Bonjour à tous,

voici un problème qui me turlupine depuis un moment, et j'aimerais avoir votre avis.

Etant donnée $A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, je considère l'ensemble de $P$ inversibles, telles que $PA$ soit symétrique.

Cet ensemble est toujours non vide, puisqu'il contient l'inverse de $A$.

Il me semble aussi que c'est une sous-variété de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.

Il contiendrait ainsi un paquet d'autres éléments.

Je pense à une application pour la résolution itérative de systèmes linéaires.

Si on préconditionne le système $Ax = b$ à gauche par ce $P$ tel que $PA$ soit symétrique,
on arrive sur le système $PAx = Pb$, avec $PA$ symétrique, ce qui permet d'utiliser un gradient conjugué.

Du coup, il faudrait un algorithme qui permet de trouver un tel $P$, qui serait une sorte de pseudo-inverse.

En fait ce serait même encore mieux si on pouvait faire en sorte que si $A$ est creuse, $PA$ le soit encore...

Merci beaucoup pour votre aide éventuelle

le poulpe

Réponses

  • Tu peux aussi prendre la transposée de A par exemple.

    A+

    Eric
  • Sinon c'est bien une sous-variété. L'ensemble des matrices $P$ telles que $PA$ est symétrique est ${\cal S}A^{-1}$ où ${\cal S}$ est le sous-espace vectoriel des matrices symétriques. Son image par la multiplication à droite par l'inverse de $A$ est donc aussi un sous-espace vectoriel. Son intersection avec l'ouvert des matrices inversibles est donc -entre autres - une sous-variété (en tout point c'est localement un espace vectoriel).
  • bien vu à vous deux...

    et merci
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