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dual d'un produit

Bonjour à tous

j'ai une question vraiment bête, mais je n'arrive pas trop à savoir quoi dire...

je considère $E$ un espace vectoriel de dimension finie

est-ce que $(E\times E)'$ est canoniquement isomorphe à $E'\times E'$?

Il y a clairement un isomorphisme, puisqu'ils ont même dimension ($2*\mathrm{dim} E$), mais je voudrais un isomorphisme sans base ni produit scalaire sur $E$...

Je n'arrive pas non plus à googliser de bon résultat là dessus.


merci pour votre aide

Réponses

  • Salut,

    En fait c'est souvent une meilleure idée de voir le dual d'un produit comme la somme directe des duaux : $(E \times F)' \simeq E' \oplus F'$, même si pour un nombre fini d'espaces c'est la même chose. Si $h=e'+f' \in H=E' \oplus F'$, tu peux définir une forme linéaire $\varphi(h)$ sur $G=E \times F$ par la formule $\varphi(h)(e,f)=e'(e)+f'(f)$. Tu pourrais essayer de montrer que l'application $\varphi$ ainsi définie va bien de $H$ dans $G'$, et qu'elle est bien linéaire et bijective.
  • Salut,

    Il suffit de considérer les deux projections canoniques $\pi_i:E\times E\to E$.

    L'isomorphisme est alors donnée par $f\mapsto (f\circ \pi_1, f\circ \pi_2)$.
  • impeccable merci beaucoup à tous deux!
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