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groupe libre de type fini

Bonjour à tous

je me pose en ce moment une petite question, et mes souvenirs d'algèbre sont un peu lointains...

Pour la faire courte, je dispose de deux groupe abéliens libre de type fini, et de même rang.
On va donc dire ${\mathbb{Z}}^r$ et ${\mathbb{Z}}^r$.
J'ai un morphisme $\varphi$ de l'un dans l'autre qui est injectif.

Est-il surjectif?

Ca m'arrangerait beaucoup que oui, mais je ne sais pas trop comment faire.

Merci pour votre aide.

le poulpe

Réponses

  • On va donc dire que tu n'as pas deux groupes mais un seul :) Et un morphisme de ton groupe dans lui même.

    J'ai bien peur que la reponse soit non. Prend $r=1$ et prend l'application de $\Z$ dans lui meme définie par $x \mapsto 2x$. C'est bien un morphisme de groupe, il est injectif mais pas surjectif.
  • Implicitement, ta question est plus naturelle si on considere $\Z^r$ comme un $\Z$-module libre, et dans ce cas ce que tu veux savoir c'est si le theoreme classique qui dit qu'une appli lineaire injective entre deux espace vectoriel de meme dimension est surjective se generalise aux $\Z$-modules libres.

    Pour les espaces vectoriels, ce theoreme repose de facon cruciale sur le fait que si $u$ est un vecteur, alors pour tout $a,b$ non nuls dans le corps de base, tu peux "atteindre" le vecteur $a\cdot u$ en partant de $b\cdot u$ en multipliant par le scalaire $\frac ab$. Dans notre cas, tu ne peux pas atteindre le "vecteur" $1\cdot 1$ a partir du vecteur $2\cdot 1$ puisque tu ne peux pas multiplier par $\frac12$. le fait d'avoir un corps comme anneau de base est donc essentiel.

    Une autre maniere de dire ca : dans un $\Z$-module libre de rang $r$, une famille libre de $r$ vecteurs n'est pas forcement generatrice.
  • ok merci à tous

    en fait j'ai pensé à cette histoire de multiplication par deux juste après avoir posté mais bon... j'étais tellement convaincu que c'était vrai que j'avais pas vu ça :-(

    A bientôt

    le poulpe
  • Bonjour : :)
    Est ce que la notion de module libre de type fini $ M $, est un prolongement de la notion de groupe libre de type fini en munissant $ M $ de la loi multiplicative : "." ?
    Merci d'avance ! :)
  • Bonjour.
    Il est par contre vrai qu'un morphisme surjectif entre deux modules de type fini de même rang est bijectif.
  • J'ajoute qu'il est "presque surjectif" (je ne me souviens pas du nom), au sens que le quotient $\mathbb{Z}^r/\phi(\mathbb{Z}^r)$ est fini.
  • Pour le nom, ton "presque surjectif" me fait penser à une isogénie, mais c'est peut-être réservé à un domaine précis (les variétés abéliennes). Ton presque surjectif signifie que si on étend les scalaires à Q, ça devient surjectif, donc pourquoi pas un truc du style : génériquement surjectif (?).
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