ln(1+x) = ... — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

ln(1+x) = ...

Comment montrer l'égalité suivante :

Pour tout $x \in\, ] -1 , + \infty [ $, il existe $c \in\,]0,1[$ tel que :\quad $\ln(1+x) = x - \dfrac{x²}{2(1+cx)²}$

Voilà ...
J'ai essayé avec Taylor, Taylor avec reste de Lagrange, accroissements finis, mais je n'y suis pas arrivé ... Puis ce $c$ qui appartient à $]0,1[$ ça me perturbe, si encore il appartenait à $]1, x [$ ...
Pouvez vous m' aider ?
Je vous remercie !

[Taylor et Lagrange te remercient pour leurs majuscules. AD]

Réponses

  • Fixe x dans ]-1,+$\infty$[

    ln(1+x) = x - (x²)/(2(1+cx)²) peut s'écrire comme une équation du second degré en c.

    Il suffit alors de montrer que cette équation a une racine dans ]0,1[, ce qui doit être faisable, vu qu'on peut calculer les racines explicitement.
  • bonjour

    ça doit marcher avec taylor lagrange appliqué à la fonction ln en 1
    comme ln est C2 on peut ecrire pour tout x>-1
    ln (1+x) = ln 1 + x ln'1+x²/2 ln''(1+c(x) x)

    avec c(x) un réel appartenant a ]0,1[ ainsi la valeur 1+c(x)x parcourt
    le segment ]1 x[

    comme ln' x=1/x et ln"x =-1/x² on obtient le resultat demandé après
    transformation de l'egalité
  • ah oui, tu as raison, je te remercie.
    La méthode de l' équation marche aussi, mais c juste une vérification,elle ne permet pas de trouver le résultat, alors que la tienne le permet.
    Je te remercie !
  • Il y a du Rolle là-dessous...
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