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Ensemble vide un ouvert?

Bonjour,
Dans le cours d'analyse "Tout en un MP" (JF Ruaud, F.Moulin), les propositions suivantes sont faites, au sujet des ouverts d'un espace vectoriel normé E:
"- l'ensemble vide et E sont trivialement des ouverts"

Simplement pour avoir les idées claires:
- E est effectivement "trivialement" un ouvert (est un ouvert pour chacun de ses points)
- en revanche pour l'ensemble vide, ne serait-ce pas plutôt par définition? Si ce n'est pas par définition, je ne vois pas ce qui permet de l'affirmer ... il n'y a pas plus de détail dans le "tout en un" ...

Merci d'avance pour tout éclaircissement.
Michel

Réponses

  • L'ensemble vide est voisinage de chacun de ses points, puisqu'il n'en a pas. De manière générale, une assertion commençant par quelque chose du genre "$\forall x\in\varnothing$" est vraie; en quelque sorte, il n'y a rien à vérifier.

    Cordialement
  • "De manière générale, une assertion commençant par quelque chose du genre "$ \forall x\in\varnothing$" est vraie; en quelque sorte, il n'y a rien à vérifier.
    "
    Je ne suis pas d'accord. Parler d'un $x$ quel qu'il soit comme appartenant à l'ensemble vide est un non-sens : d'une certaine manière l'ensemble vide ne fait pas partie du "domaine de définition" de la relation d'appartenance.
  • Sylvain tu relances une vieille discussion sur la validité de la proposition $P \Longrightarrow Q$ quand $P$ est une proposition fausse. Non ?

    Bruno
  • Pas d'accord avec Sylvain. Les 3 propositions suivantes sont vraies, la troisième se déduisant des 2 premières.

    $\forall x \in \{0\},x=0$
    $\forall x \in \{1\},x=1$
    $\forall x \in \{0\}\cap\{1\},x=0\wedge x=1$

    Donc $\forall x \in \emptyset ,0=1$ est vrai.

    Par ailleurs, $\forall x \in E ,P(x)$ revient à dire $\forall x, x \in E \Rightarrow P(x)$.

    $x \in \emptyset = faux$ donc $x \in \emptyset \Rightarrow n'importe\;quoi$, et $\forall x \in \emptyset, n'importe\;quoi$ est vrai.
  • Pour répondre simplement à Michel54, tout comme E est trivialement un ouvert il est aussi fermé. Conlusion, $\emptyset$ est un ouvert comme complémentaire de E fermé.
  • Rares sont les topologies où les ouverts sont aussi fermés...
  • Bonsoir,

    Skilveg, je ne pense pas que Erwan dise "$E$ est ouvert donc $E$ est fermé", mais plutot "Tout comme on a montré à la main que $E$ est ouvert, on peut montrer que $E$ est fermé"...
  • Rares mais ...

    Un peu plus par .
  • Merci, pour ces réponses, même si il y a des avis divergents.
    J'aurais eu tendance à le définir par convention comme ouvert... mais considérer que c'est le complémentaire d'un fermé me va très bien !!

    Michel
  • Non, il n'y a pas "d'avis divergents" : la seule réponse t'a été apportée par Skilveg, dès son premier message.
  • D'accord avec Aleg (et l'argument "c'est le complémentaire d'un fermé ne tient pas puisque c'est comme ça qu'on définit les fermés).
  • @Bruno : oui, tout-à-fait. Pour moi "A implique B" veut dire "B découle de A". Et si un truc faux implique "le tout" (comme le dit CC) c'est qu'en fait ça n'implique rien du tout !
  • Je crois que CC aurait plutôt écrit "donc tout, c'est-à-dire le faux" suivie de deux ou trois notes de bas de page :)
  • Je suis d'accord que ce que dit skilveg est clair et directe. De plus la définition d'un fermé est donné par le fait que c'est le complémentaire d'un ouvert, oui mais c'est aussi équivalent au fait qu'il est égale à son adhérent. Existe-il des points adhérents à E qui ne sont pas dans E ?
  • Sylvain : si tu refuses que $P \Rightarrow Q$ est vraie quand $P$ est faux, alors tu dois aussi refuser la vérité de $\forall x \in\mathbb{R} (x>2 \Rightarrow x>0)$. En effet, tu n'es sûrement pas d'accord pour dire que $1 >2 \Rightarrow 1>0$, ou $-1>2 \Rightarrow -1>0$ sont vrais. Tu vas un peu te compliquer la vie mathématique ;).

    Cordialement
  • Bonsoir

    je me suis posé la même question, en lisant Bourbaki, et puis je me suis fait une raison.
    Un peu comme le coup du produit indicé sur l'ensemble vide qui vaut 1.
    Après avoir titubé entre les flammes, on apprend ensuite que le nombre d'applications de l'ensemble vide dans l'ensemble vide est 1.

    Dans la théorie des disjoints, il y a par abus de langage un ensemble strictement inclus dans l'ensemble vide, le néant composé lui même d'éléments qui existent encore moins que ceux qui n'existent pas (comme il y a des entiers non standards plus grand que n'importe quel entier "naturellement" bâti sur l'ensemble vide).

    Dans mes rêves les portes sont toutes ou vertes ou fermées.
    S
    (39°2)
  • @Erwan : Mais comment définir l'adhérence d'une partie $A$ de $E$ si on ne sait pas que $E$ est fermé ? Par définition c'est le plus petit fermé contenant $A$, pour que ça soit une définition correct il faut savoir qu'il existe un fermé contenant $A$... On tourne en rond !
  • Je pensais que l'adhérence d'une partie A de E était définit comme l'ensemble des points adhérents de A et l'histoire du plus petit fermé en est une conséquence.

    Comme un point est adhérent à A si pour tout voisinage de x dans E il contient un point de A. Ca me paraît clair sans utilisé le fait que E est fermé, puisqu'on utilise que les voisinage, qui ne sont définis que par les ouverts.

    Y'a-t-il une erreur de raisonnement ?
  • @Zo!:

    Non, je me suis mal fait comprendre. Ce que je refuse c'est que le truc à gauche (celui à droite aussi d'ailleurs !) de la flèche d'implication soit dépourvu de sens. Dire "-1>2" est faux mais ça un sens, puisque -1 et 2 sont comparables vis-à-vis de la relation ">". Par contre si on dit "i>2" là ce n'est plus seulement faux, c'est dépourvu de sens : on compare deux choses qui ne sont pas comparables !
    De même dire "soit x tel que x appartient à E" suppose que la relation "appartient à" ait un sens, autrement dit que E ait au moins un élément.
    Considérer un élément de l'ensemble vide, c'est comme parler de $\zeta(1)$ : verboten!
  • Sylvain a écrit:
    Considérer un élément de l'ensemble vide, c'est verboten!

    En physique seulement. Sûrement pour compenser toutes les "démonstrations" sans le moindre sens qu'on s'autorise à faire.

    En maths c'est parfaitement sensé.

    Amicalement :)
  • Désolé de dire les choses comme ça, mais ta comparaison est complètement dénuée de sens. Je ne comprends pas ce blocage sur l'ensemble vide.

    Je prends un autre exemple où ta position conduit à une absurdité. Soit $S^1$ le cercle unité et $p:S^1\to \mathbb{R}$ défini par $p(x,y)=x$. Selon toi, ceci serait dépourvu de sens :
    $$\forall x\in \mathbb{R}\ \forall y\in \mathbb{R} \ (y\in p^{-1}(x)\Rightarrow |x| + |y| \geq 1)\;.$$
    En effet, il existe des valeurs de $x$ pour lesquelles $p^{-1}(x)=\emptyset$, et il est "verboten" d'écrire $y\in \emptyset$ !

    $y \in emptyset$ a bien un sens. La preuve, c'est qu'on peut affirmer que c'est faux quelque soit $y$.
  • @Erwan : OK pour la définition de l'adhérence de $A$, dans ce cas il est clair que $E$ est sa propre adhérence. Maintenant il reste à montrer que l'adhérence d'une partie est toujours un fermé.
  • @egoroff : Bah voyons ne serait-ce pas en montrant que justement c'est le plus petit fermé !! Ah là là !

    Donc la seule et unique façon de dire que E est fermé c'est de le voir comme le complémentaire de l'ensemble vide qui est ouvert ! finalement on revient au premier post.

    Bonne soirée.
  • Bonsoir,

    Vue la définition de $\bar E$ que donne Erwan, on voit que toute suite de $E$ convergente admet une limite dans $\bar E=E$, donc $E$ est fermé par le critère des suites (applicable puisqu'on est dans un espace métrique).

    Si on se place hors d'un espace métrique, dans un espace topologique général, alors $E$ et $\emptyset$ sont fermés par définition de ce qu'est une topologie.
  • "Selon toi, ceci serait dépourvu de sens :

    $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R}\ \forall y\in \mathbb{R} \ (y\in p^{-1}(x)\Rightarrow \vert x\vert + \vert y\vert \geq 1)\;.$"

    ça n'a de sens que si "$y\in\ p^{-1}(x)$" en a un : comment peut-on attribuer des propriétés à des objets qui n'existent pas ? Sinon on peut aussi bien dire que 1/0 est irrationnel !
    Mais bon, on ne va pas se chamailler pendant 107 ans : je ne suis pas logicien et ne souhaite pas le devenir. L'ensemble vide ne saurait m'empêcher de continuer à aimer passionnément la théorie des nombres...;)
  • OK BadWolf mais à condition de montrer que l'adhérence d'une partie de $E$ est un fermé, "from first principles" et {\it surtout} sans utiliser le fait que $\emptyset$ est ouvert. Pareil pour ton critère séquentiel si tu veux l'utiliser. Bref plus ça va plus on utilise des trucs évolués pour montrer le truc simple : $\emptyset$ est ouvert, on marche un peu sur la tête.

    Sylvain : Il faut se détacher du sens intuitif et comprendre que ces écritures ont un sens conventionnel même s'il paraît absurde !
  • Bonjour.

    Bien évidemment, les mathématiques auraient pu se passer de ces preuves formelles. Mais qui veut transformer tous les théorèmes du genre "l'intersection de deux ouverts est un ouvert" en théorèmes du genre "l'intersection de deux ouverts est un ouvert sauf s'ils n'ont pas d'élément commun"?
    C'est comme l'introduction du 0, "qui n'est pas un nombre" (au sens comptage, car s'il n'y a rien à compter, il n'y a pas de comptage). Qui est prêt à se passer de zéro ?

    Cordialement.

    NB : Pour Euclide, 1 n'est pas un nombre, puisque c'est l'unité, la base qui permet de fabriquer les nombres.
  • Bonjour,
    Désolé d'avoir lancé cette polémique.

    Ma question initiale était en fait de savoir si la proposition "l'ensemble vide est un ouvert" est un axiome ou une proposition.
    En relisant mes cours, la définition d'un fermé est "complémentaire d'un ouvert" aussi vouloir justifier la proposition par "complémentaire d'un fermé", c'est un peu tourner en rond sauf si on arrive à démontrer autrement que E est fermé, c'est peut-être chercher midi à 14 H.
    D'un autre côté la proposition de Skilweg me chatouillait un peu au début parce je venais de revoir le cours sur les séries dans le lequel on précise que l'écriture de la somme avec le symbole +∞ sur la somme ne doit être utilisé qu'avoir démontré la convergence: mais je pense avoir confondu "avoir un sens" et "être vrai" donc finalement pourquoi pas?

    Je me pose probablement trop de questions qui ne m'aideront sûrement pas pour le CAPES ...
    Je retourne donc me battre avec les espaces vectoriels normés ...
    Amicalement
    Michel
  • Bonjour Michel,

    Soit $(E,O)$ un espace topologique. Donc toute réunion d'ensembles de $O$ est un ensemble de $O$. Par suite, et c'est ça qui est important, la réunion de la partie vide de $O$, à savoir $\emptyset$, appartient à $O$. Enfin, selon la métamathématique Bourbakiste, $\forall x\in\varnothing$ est un théorème de toute théorie mathématique plus forte que la théorie des ensembles.

    Avec tout mon respect,

    Thierry
  • Bonjour tout le monde,

    Rectification : Enfin, selon la métamathématique Bourbakiste, la relation "tout ensemble $x$ n'appartient pas à $\varnothing$" [i.e $(\forall x) (x\notin \emptyset)$] est un théorème de toute théorie mathématique plus forte que la théorie des ensembles.

    Je devais être vraiment malade hier.

    Avec tout mon respect,

    Thierry
  • Bonjour,

    Dans la même veine, proposé dans ce pdf de Poitiers..

    Exercice 3.20: Is the empty set a compact set ?

    Amicalement.
  • Hello,

    What's the answer ? Yes ? Why ?

    On Wiki is written: "le compact anglophone est un quasi-compact francophone.

    Dans un evn de dimension finie, closed and borned=bounded ==> compact, donc yes in this case....

    Thank's for your intervention: empty set is not my friend.

    [Otherwise : empty set is connex=connected ? convex ? ]

    Sincerely.

    [Merci Toto pour ces corrections]
  • Quelques réctifications:
    On dit connected au lieu de connex et bounded au lieu de borned.
  • On Wiki is written: "le compact anglophone est un quasi-compact francophone.

    Ah mais non, absolument pas ! Cela n'a rien de général chez nous aut' francophones. Par exemple, pour moi un compact, c'est un compact et parmi les compacts, il y en a qui sont des compacts séparés. La propriété importante, c'est la propriété de recouvrement $\Leftrightarrow$ existence d'une valeur d'adhérence de tout filtre $\Leftrightarrow$ convergence de tout ultrafiltre. L'aspect Hausdorff est une cerise sur le gâteau qui entraîne quelques propriétés supplémentaires, comme un fermé d'un compact séparé est compact.
  • olala, je vois que Sylvain a des soucis d'acceptation que $A\to B$ veut dire ($non(A)$ ou $B$) et que $non(A)$ veut dire $A\to tout$

    il m'arrive, par didactique maladroite pour le forum de dire "le faux" à la place de "tout" pour que les gens comprennent, mais au fond, je devrais "me forcer" à dire "tout"

    à Sylvain:

    Si $A\to tout$ alors $A\to B$ (je pense que tu es d'accord ça vient juste du fait que $tout\to B$ )

    La définition de l'ensemble vide est que c'est l'ensemble des $x$ tels que "tout" arrive à $x$. (Formellement: $\emptyset :=\{x \ / \ tout \}$ )

    Donc, par exemple, si $x\in \emptyset $ alors la conjecture de Riemann est vraie, mais pas que ça, si $x\in \emptyset $ alors$2>3$, etc, etc.

    Tu te gourres si tu crois qu'il y a un problème. La seule chose que tu peux rejeter (que je n'ai pas justifiée) c'est la définition rouge

    $non(A)$ n'est pas non plus une notion première: ça veut juste dire $A\to tout$

    C'est de là que viennent par exemple "les contraposées": supposes que tu as $A\to B$. Alors si $B\to tout$, et bien $A\to tout$, tout simplement à cause de l'enchainement: A--->B--->tout

    Suppose maintenant: (non(A) ou B)

    si c'est non(A) qui est vrai, alors comme $A\to tout$ (c'est le sens de non(A) ) on a en particulier $A\to B$

    si c'est B qui est vrai, alors $A\to B$ (acceptes-tu l'axiome $B\to (A\to B)$?)

    **Conclusion: si (non(A) ou B) alors $A\to B$

    Pour prouver la réciproque, tu peux utiliser l'axiome général (rst par l'absurde) $(non(non(X))) \to X$

    Suppose $A\to B$ (1): si non[nonA ou B] alors [nonA ou B]--->tout (2), alors en particulier $(nonA)\to tout$, donc non(nonA), donc A, donc B (à cause de (1) ), donc [nonA ou B] et avec (2), on obtient tout.

    Donc sous l'hypothèse $A\to B$, on vient de prouver non(non[nonA ou B]) et finalement [(nonA) ou B]

    ***Conclusion si $A\to B$ alors (nonA ou B)

    De ** et ***, il découle qu'il y a équivalence entre $A\to B$ et nonA ou B


    ça peut peut-être t'aider à comprendre que si $x\in emptyset $ alors tu es le plus beau du monde car cette affirmation équivaut à:

    ($x\notin \emptyset $ ou tu es le plus beau du monde),

    qui n'est qu'un affaiblissement de juste affirmer $x\notin \emptyset$


    Qu'est-ce qui reste? Bin je ne t'ai pas justifié le raisonnement par l'absurde, c'est tout, mais c'est un axiome et surtout n'a que peu à voir (il n'est utilisé ici que pour prouver que $A\to B$ implique nonA ou B; alors que le sens qui te gênait est l'autre: faire découler de nonA ou B l'implication $A\to B$)

    Peut-être as-tu envie de "contester" la définition $non(A):=A\to tout$


    Dans ce cas, interroge-toi sur ta perception du "non". Je pense que $(A\to tout)\to nonA$ ne te pose pas de problème? (5)

    Donc seul l'autre sens peut éventuellement t'en poser:

    Je ne sais trop comment te tourner les choses (après tout les axiomes sont "par définition" indémontrables et c'est toujours un exo un peu tendancieux) bon je "boucle" en réutilisant la contraposée (qui je pense te convient très bien):

    En "décontraposant" (contesteras-tu cet axiome?), et en supposant nonA; $A\to tout$ découle de $non(tout)\to nonA$, qui est vrai si on a supposé nonA. En supposant nonA, on a déduit $A\to tout$, donc on a bien $(nonA)\to (A\to tout)$ (6) et finalement:

    équivalence entre $non(A)$ et $A\to tout$ grace à (5) et (6).


    Pour l'initiateur du fil: c'est bizarre, ce n'est pas $\emptyset$ qui pose problème: c'est un théorème et non pas une supposition qu'il est ouvert, vu que $\forall x$, si $x\in \emptyset$ alors l'ensemble vide est voisinage de $x$ (grace à la def rouge en début de post)

    Par contre, pour affirmer que $E$ est ouvert (l'espace entier), il y a des trucs à supposer en ce qui concerne les voisnages, et, franchement, il est supposé de manière franche que $E$ est un voisinage de tout point, basta.

    Ca n'est pas innocent, les gens éprouvent le besoin de compléter d'ailleurs (par exemple, ne sont pas très contents que $\Q$ soit un voisinage de $3$ et n'aiment pas bcp les topologies induites..)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Puisque ce fil semble manifester que certains ont des soucis avec les def de la topologie (ils les trouvent un peu gratuites?), je redonne une "bonne" (officielle??? :D + ;) à gérard..) approche:

    le but de la topologie est de munir les espaces d'une notion de proximité. L'histoire a retenu les définitions suivantes:

    1) Pour chaque point $x$, il y a un ensemble $V(x)$ de voisinages (qui contiennent tous $x$), dont l'ensemble entier $E$ fait toujours partie (c'est mis dans la définition)

    2) $V(x)$ est stable par intersections finies et surensembles (ce qui parait être le minimum vital pour parler de proximité)

    3) subtilité: si $G$ est un voisinage d'un point $x$, alors l'ensemble $T$ des points $y\in G$ tels que $G$ est un voisinage de $y$ est lui-même un voisinage de $x$. Ceci est un "pur axiome", (qui parait totalement "normal" d'être demandé à une "notion de proximité"...? Voir fin) Mais c'est une sorte de "commutativité" de la proximité.

    4) un ouvert est par définition un ensemble $U$ tel que $\forall x\in U: U\in V(x)$

    5) un fermé est par définition un ensemble $F$ tel que $E-F$ est un ouvert

    Il en découle déductivement que:



    T6) toute réunion d'ouverts est un ouvert

    T6bis) une intersection finie d'ouverts est ouverte

    T7) toute intersection de fermés est fermée

    T7bis) une réunion finie de fermés est fermée

    T8) $\emptyset$ est ouvert (il est voisinage de tous ses points )

    T9) $E$ est fermé (comme complémentaire de $\emptyset$ )

    Les ouverts et les fermés, ça fait joli, mais le mieux est de penser aux voisinages pour comprendre la subtilité suivante. Les théorèmes T6 à T9 n'utilisent pas l'exigence (3) de la définition

    Il n'est pas trivial qu'un voisinage de $a$ contient un ouvert contenant $a$! Enfin ce n'est pas méchant, mais faut quand-même penser à considérer, pour $W\in V(a)$ l'ensemble $U$ des $y\in W$ tels que $W\in V(y)$. Bien sûr, $a$ est dans $U$ mais pourquoi $U$ serait-il voisinage de tous ses points (ce qu'affirme (3))?

    Là, l'ANS aide à comprendre la motivation de (3): si x est superproche de b, élément standard de $U$, alors $x\in W$ (car $\in $ à tous les voisinages std de $b$, et par définition, $W$ est un voisinage de $b$, puisque $b\in U$. MAIS: je ne peux écrire: "donc $x\in U$"). Continuons "comme si" on pouvait l'écrire (ce qu'autorise la propriété (3)), mais avec maintenant l'avantage qu'on "comprend" pourquoi (3) est "nécessaire" pour donner un sens correct à la notion de proximité: un x superproche de b, tel que W soit un voisinage de b, mais tel que W n'en soit pas un de x, hum, hum..

    Alors "ANSment" pour tout $x$, ou bien il existe un voisinage std $Z$ de $b$ qui ne contient pas $x$ ou bien $x\in U$.

    Ce qui se traduit par l'existence d'un ensemble fini standard $F$ de voisinages de $b$ dont l'intersection est incluse dans $U$. Conclusion: $U$ est bien voisinage de tous ses points.


    Or à priori, (sans (3), ou même avec (3)), $W$ n'est pas égal à $U$, il peut ne le contenir que strictement. Ca fait donc une impression de tour de passe-passe... de prouver ainsi que $U$ est un ouvert..

    La traduction classique de cette difficulté (sans (3)) est: prenons la réunion $R$ des ouverts inclus dans $W$. C'est "évidemment" un ouvert. Qui dit que $a$ lui appartient? (à la rigueur, même, qui dit que $R$ est non vide?), si on ne suppose pas (3)?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • En fait (3) est "l'inégalité triangulaire" de la topologie: si W est un voisinage de a, on veut que pour sortir de W en partant de a, il faille "aller loin". Les x "très près" de a ne doivent donc pas, quand on part d'eux, permettre de sortir de W, sans aller loin d'eux (ils sont "près" de a) et donc, W doit aussi être un voisinage de ces x.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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