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Norme

Bonjour,

je fais des mathématiques appliquées en ce moment, et je voulais savoir une petite chose.

On pose $J(\Omega)=\int_{0}^{1}{\int_{\Omega}^{}{|\nabla(\overrightarrow{u})|^2}dx}$.

$\overrightarrow{u}$ est un vecteur de $\R^3$, en fait je ne comprends pas la notation $}^{}{|\nabla(\overrightarrow{u})|^2$.

$\nabla(\overrightarrow{u})$ est une matrice, ça n'a pour moi aucun sens d'écrire $|A|^2$ sans préciser plus que ça ! Peut-être que dans le cas des mathématiques appliquées, c'est quelque chose d'universel... (on fait de la conception optimale de structures, formulation variationnelle et tout ça).

Merci d'avance !

Réponses

  • Est ce que, si $A$ est une matrice, $N(A)=N(A_1)+...+N(A_n)$ est une norme sur les matrices, $N(A_i)$ désignant une norme du vecteur $i$-ème ligne de $A$. Il me semble que oui.

    Au vu de l'énoncé, je me demande : cette norme est-elle classique dans ce genre de problèmes ?
  • Mouais, enfin, c'est une norme sur les matrices si on les voit comme des grands vecteurs, mais ça ne doit pas être une norme matricielle...
  • Bon c'est pas grave je comprends que ça ne passionne pas, merci quand même.
  • Bonjour/bonsoir.

    heuuu... alors là au pif total : c'est pas plutôt "nabla u", autrement dit l'opérateur différentiel nabla appliqué au vecteur u.
    (sous toutes réserves!!!)

    A+

    Emmanuel
  • Zantac: pour te rassurer, si, si, ça paraît dingue, mais en maths appliquées on utilise plusieurs normes, et on est censé préciser de quelle norme on parle.;)

    Sinon, dans ton cas, tu as une intégrale de 0 à 1 qui me paraît un peu étrange, faisons comme si elle n'était pas là. Si $\Omega$ est un ouvert de ${\mathbb R}^n$ et $u$ (sans flèche, même en maths appliquées, on sait reconnaître un vecteur d'un scalaire en fonction du contexte) une application de $\Omega$ dans ${\mathbb R}^m$ (dans ton cas $n=m=3$). Si $u$ est différentiable, sa différentielle en un point est une application linéaire de ${\mathbb R}^n$ dans ${\mathbb R}^m$. Sa matrice $m\times n$ dans les bases canoniques respectives est notée $\nabla u$, on l'appelle le gradient de $u$ (même si ce n'est pas une fonction à valeurs scalaires) et la formule à se rappeler est $(\nabla u)_{ij}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$. On garde la même formule pour une distribution à valeurs dans ${\mathbb R}^m$.

    Toutes les normes sur les matrices sont équivalentes, donc les fonctions que tu considères appartiennent à l'espace de Sobolev $H^1(\Omega;{\mathbb R}^m)$, quelle que soit la norme apparaissant sous l'intégrale, cad les fonctions $L^2$ à valeurs dans ${\mathbb R}^m$ dont le gradient est $L^2$ à valeurs dans les matrices $m\times n$ (je présume que $\Omega$ est borné).

    Maintenant, quelle norme sur les matrices ? A priori, impossible de le savoir sans le contexte, de quelle application on parle. Ceci dit, je parierais volontiers ici sur la norme de Frobenius $\|A\|^2={\rm tr}\,(A^TA)=\sum_{i,j}A_{ij}^2$. C'est une norme euclidienne évidemment, les matrices de la base canonique sont orthonormées. Pour les matrices carrées, c'est une norme matricielle $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$, mais pas subordonnée car $\|I\|=\sqrt n$. En plus, si tu as derrière la tête de minimiser cette intégrale, cette norme va te faire sortir du Laplacien (vectoriel) de $u$ dans l'équation d'Euler-Lagrange. Une autre norme te fera sortir d'autres opérateurs différentiels, pas forcément sympathiques à écrire, mais ce n'est pas exclu, suivant le problème que tu considères...
  • moi ça m'a tout l'air d'être une fonction scalaire toute bête et ton truc est l'intégrale du carré de la norme du gradient d'une certaine fonction que t'as pas précisé

    complètement interprété mais en fait je comprend rien à ta notation
    pourquoi cette deuxième intégrale (elle sert à rien...)
    si ce nabla n'est pas un gradient ça peut être n'importe quoi donc autant que ça en soit un
    ce vecteur u, alors là...

    bref, ton machin est pas clair et c'est normal.
    si tu pouvais filer le contexte ça aiderait pas mal

    c'est quoi ce fameux u par exemple
    pourquoi on intègre entre 0 et 1??

    le poulpe (qui veut t'aider...)
  • Bonjour,

    pour être concis: si $u=u(t,x)=\left(\begin{array}{c} u_1(t,x)\\ u_2(t,x)\\ u_3(t,x) \end{array}\right)$ est une fonction définie sur $\R_+\times \R^3$ à valeurs dans $\R^3$, on note
    $$\nabla u=(\partial_{x_i}u_j)_{1\le i,j}$$
    la famille de toutes les dérivées partielles d'ordre~1 de chaque composantes de $u$. C'est donc un éléments de $R^{9}\simeq\mathcal{M}_3(\R)$, et une norme utilisable en pratique est la norme dérivée du produit scalaire canonique sur $\R^9$. Autrement dit, on a par définition~:
    $$|\nabla u(t,x)|^2=\sum_{i,j}|\partial_{x_i}u_j(t,x)|^2$$
    Avec un tout petit peu d'habitude, on finit par écrire le plus synthétiquement possible (d'où la notation $|\nabla u|$ au lieu d'écrire $|\nabla u(t,x)|$ comme dans "ma" présentation. SI $u$ dépend de $t$ alors $J$ aussi.
    Sinon, on peut supprimer la variable $t$ partout dans ma présentation.
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