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mesure superficielle

bonsoir, j'ai souvent entendu parler de mesure superfielle d'une variété C1

pourriez vous m'en fournir une définition précise?

merci

Réponses

  • je précise que je n'ai rien trouvé d'utile à ce sujet sur wikipédia et que mes recherches google ont été infructueuses...
    que je n'ai pas le bouquin de Laudenbach où ce machin semble avoir été défini et que je vis à toulon, donc pour les bibliothèques maths c'est raté
  • Voici (de mes souvenirs, car je n'en manipule pas quotidiennement) une définition. On considère $V$ une variété, et un atlas donné par les cartes $\phi_j:U_j\to V_j$ où $U_j$ est un ouvert de $\R^n$ et $V_j\subset V$. Si $f$ est une fonction continue sur $V$ à support compact dans l'un des $V_j$, on pose
    $$\mu_V(f)=\int_{U_j}f\circ \phi_j(x)\,|\det(\mathrm{d}\phi_j(x))|\,\mathrm{d}x$$
    Si $f$ est à support dans $V_j\cap V_i$, en faisant le changement de variable $x\mapsto y$ où, par définition $\phi_j(x)=\phi_i(y)$ (changement de carte), on vérifie que cette définition est indépendante de la carte $\phi_j$ choisie. Par partition de l'unité, on définit ainsi une forme linéaire positive sur les fonctions continues à support compact (c'est-à-dire une mesure de Radon).

    Le livre de La Fontaine intitulé {\it Introduction aux variétés différentielles} (\lien{http://livres.edpsciences.org/ouvrage.php?ISBN=2-86883-455-8}) en parle nécessairement dans la mesure où, notamment, il démontre en détail la formule de Stockes.
  • Je m'aperçois que mes souvenirs sont mauvais, car on a bien du mal à voir ce que pourrait être le déterminant de $\mathrm{d}\phi(x)$ ici. Je suis sûr que toute l'idée est dans ce que je viens de dire, mais il faut retrouver les vraies formules qui permettent de donner un sens à ce qui précède...
  • ok j'ai ce bouquin, je regarderai si je trouve ça dedans

    en tout cas je vois ce que tu veux dire,

    dans le cas d'une sous-variété ça ferait un truc plus simple peut-être?
    sans parler d'atlas quoi...

    merci
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